1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 的一个基础解系为（A）(0 ，1，0，2) T（B） (0，1，0，2) T，(0，12，0，1) T（C） (1，0，1，0) T，(2，0，2，0) T（D）(0 ，1，0，2) T，(1，0，1，0) T2 当 A( )时，(0，1， 1)和(1，0，2)构成齐次方程组 AX0 的基础解系（A）(2，1，1) （B）（C）（D）3 A ，r(A)2，则( )是 A*X0 的基础解系（A）(1 ，1，0) T，(0，0，1) T（B） (1，1，0) T（C） (1，1，0
2、) T，(2 ，2，0) T（D）(2 ，2，0) T，(3，3，6) T4 线性方程组 的通解司以表不为（A）(1 ，1，0，0) Tc(0，1，1，0) T，c 任意（B） (0，1，1，1) Tc 1(0，2，2，0) Tc 2(0，1，1，0) T，c 1，c 2 任意（C） (1，2，1，0) Tc 1(1，2，1，1) Tc 2(0，1，1，0) T，c 1，c 2 任意（D）(1 ，1，0，0) Tc 1(1，2，1，0) Tc 2(0， 1，1，0) T，c 1，c 2 任意5 设 1， 2 是非齐次方程组 AX 的两个不同的解， 1， 2 为它的导出组 AX0的一个基础解系，
3、则它的通解为( )（A）k 11k 22( 1 2)2（B） k11k 2(1 2)( 1 2)2（C） k11k 2(1 2)( 1 2)2（D）k 11k 2(1 2)( 1 2)26 设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 AX 的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 AX 的通解为( )（A）( 2 3)2k 1(2 1)（B） (2 3)2k 2(2 1)（C） (2 3)2k 1(3 1)k 2(2 1)（D）( 2 3)2k 1(3 1)k 2(2 1)7 设线性方程组 AX 有 3 个不同的解 1， 2， 3，r(A)n2，n 是未知数个数，
4、则( )正确（A）对任何数 c1，c 2，c 3，c 11c 22c 33 都是 AX 的解；（B） 213 2 3 是导出组 AX0 的解；（C） 1， 2， 3 线性相关；（D） 1 2， 2 3 是 AX0 的基础解系二、填空题8 设 A 为三阶非零矩阵，B ，且 AB0，则 A0 的通解是_9 设 A ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*0 的通解是_10 已知 1， 2， t 都是非齐次线性方程组 Ab 的解，如果c11c 22c tt 仍是 Ab 的解，则 c1c 2 c t_11 已知方程组 的通解是(1，2，1，0)T k(1，2， 1，1) T，则 a_12 已知 1(3，2
5、，0) T， 2(1，0，2) T 是方程组的两个解，则此方程组的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 已知 4 阶矩阵 A( 1， 2， 3， 4)，其中 2， 3， 4 线性无关，1 22 3又设 1 2 3 4，求 AX 的通解14 已知 3 阶矩阵 A 的第一行为(a，b，c) ，a，b，c 不全为 0，矩阵 B，并且 AB0，求齐次线性方程组 AX0 的通解15 设( )和()是两个四元齐次线性方程组， ()为 ()有一个基础解系(0 ，1，1，0) T，(1，2，2，1) T求()和()的全部公共解16 设( )和()都是 3 元非齐次线性方程组， ()有
6、通解1c 11c 22， 1(1，0 ，1)， 1(1 ，1，0)， 2(1，2，1)；()有通解2c， 2(0 ，1，2)，(1，1，2)求() 和( )的公共解17 设( )和()是两个四元齐次线性方程组， ()的系数矩阵为 A()的一个基础解系为 1(2，1，a2，1)T， 2 (1， 2，4，a 8) T (1) 求()的一个基础解系； (2) 口为什么值时()和()有公共非零解 ?此时求出全部公共非零解18 已知齐次方程组() 解都满足方程1 2 30，求 a 和方程组的通解19 已知两个线性方程组同解，求 m，n，t20 已知齐次方程组同解，求a，b，c21 设齐次方程组() 有一
7、个基础解系(b 11，b 12，b 12n)T， 2(b 21，b 22，b 22n)T， ， n(b n1，b n2，b n2n)T 证明 A 的行向量组是齐次方程组()的通解22 构造齐次方程组，使得 1(1，1，0，1) T， 2(0，2，1，1) T 构成它的基础解系23 设 1， 2， ， s， 1， 2， t 线性无关，其中 1， 2， s 是齐次方程组 AX0 的基础解系证明 A1，A 2，A t 线性无关24 设 1， 2， 3 为 3 个 n 维向量，已知 n 元齐次方程组 AX0 的每个解都可以用1， 2， 3 线性表示，并且 r(A)n3，证明 1， 2， 3 为 AX0
8、 的一个基础解系25 n 元非齐次线性方程组 AX 如果有解，则解集合的秩为nr(A)126 设 A( 1， 2， 3， 4)是 34 矩阵，r(a)3证c1 2， 3， 4，c 2 1， 3， 4，c 3 1， 2， 4，c 4 1， 2， 3 (c 1，c 2，c 3， c4)T证明 构成 AX0 的基础解系27 设 AX 有解， 是 ATY0 的一个解，证明 T028 设 1(1 ， 20) T， 2(1，a 2，3a) T， 3(1，b2，a2b)T， (1，3，3) T试讨论当 a，b 为何值时， (1) 不能用 1， 2， 3 线性表示；(2) 能用 1， 2， 3 唯一地线性表示
9、，求表示式； (3) 能用 1， 2， 3 线性表示，且表示式不唯一，求表示式的一般形式29 已知平面上三条直线的方程为 l 1a2by3c 0， l 2b2cy 3a0， l3c2ay3b0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 abc030 设 a，b 取什么值时存在矩阵 X，满足AXCXB? 求满足 AXCX=B 的矩阵 X 的一般形式31 设 (1)求方程组 AX0 的一个基础解系 (2)a，b，c 为什么数时 AXB 有解? (3)此时求满足 AXB 的通解考研数学二（线性方程组）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案
10、】 D【试题解析】 用基础解系的条件来衡量 4 个选项先看包含解的个数 因为n4，系数矩阵为 其秩为 2，所以基础解系应该包含 2 个解排除选项 A 再看无关性 选项 C 中的 2 个向量相关，不是基础解系，也排除 选项B 和选项 D 都是两个无关的向量，就看它们是不是解了 (0，1，0，2) T 在这两个选项里都出现，一定是解只要看(0，12，0，1) T 或(1，0，1，0) T(其中一个就可以)如检查(1 ，0，1，0) T 是解，说明选项 D 正确或者检查出(0，1 2，0，1) T 不是解，排除选项 B【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组3 【正确答案
11、】 A【试题解析】 用排除法由于 ATX0 的基础解系应该包含 n12 个解，选项B 可排除 当 a0 时，(1，1，0) T，(2，2，0) T 相关，选项 C 排除 当a2，b3 时 (2，2，a) T，(3，3，b) T 相关，选项 D 排除 于是选 A【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【试题解析】 先看导出组的基础解系 方程组的未知数个数 n4，系数矩阵的秩为 2，所以导出组的基础解系应该包含 2 个解选项 A 中只一个，可排除 选项 B 中用(0，2，2，0) T，(0，1，1，0) T 为导出组的基础解系，但是它们是相关的，也可排除 选项 C 和 D 都有(1，2，1，0
12、) T，但是选项 C 用它作为特解，而选项 D 用它为导出组的基础解系的成员， 两者必有一个不对只要检查(1，2，1，0) T，确定是原方程组的解，不是导出组的解，排除 D项【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 C【试题解析】 选项 B 和 D 都用( 2 3)2 为特解，但是 (2 3)2 不是原方程组解，因此选项 B 和 D 都排除 选项 A 和 C 的区别在于导出组 AX0 的基础解系上，选项 A 只用一个向量，而选项 C 用了两个：( 3 1)，( 2 1)由于1， 2， 3 线性无关，可推出( 3 1)，( 2 1)无关，并且它们都是
13、AX0 的解则 AX0 的解集合的秩不小于 2，从而排除选项 A【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 B【试题解析】 A i，因此 A(213 2 3)230，即 213 2 3 是AX0 的解，选项 B 正确 c 11c 22c 33 都是 AX 的解 c1c 2c 31，选项 A 缺少此条件 当 r(A)n 2 时，AX0 的基础解系包含两个解，此时AX 存在 3 个线性无关的解，因此不能断定 1， 2， 3 线性相关选项 C 不成立 1 2， 2 3 都是 AX0 的解，但从条件得不出它们线性无关，因此选项D 不成立【知识模块】 线性方程组二、填空题8 【正确答案】 c 1(1，4，
14、 3)Tc 2(2，3，1) T，c 1，c 2 任意【试题解析】 由 AB0 得 r(A)r(B)3 显然 r(B)2，r(A)0，因而 r(A)1，nr(A)2又 AB0 说明 B 的每个到向量都是 AX0 的解，取它的 1，3两列作为基础解系，得 AX0 的通解 c1(1，4，3) Tc 2(2，3，1) T，c 1，c 2 任意【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 k 1(1，4，7) Tk 2(2，5，8) T【试题解析】 因为秩 r(A)2，所以行列式A0，并且 r(A*)1 那么A*AAE0，所以 A 的列向量是 A*0 的解 又因 r(A*)1，故 A*X0的通解是 k1(
15、1，4，7) Tk 2(2，5，8) T【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 1【试题解析】 因为 i 是 Ab 的解，所以，A ib 若 c11c 22c tt 是Ab 的解，则 A(c11c 22c tt)c 1A1c 2A2c tAt (c 1c 2 c t)bb 故 c1c 2c t1【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 3【试题解析】 因(1，2，1，0) T 是 Ab 的解，则将其代入第 2 个方程可求出b1因(1，2，1，1) T 是 A0 的解，则将其代入第 1 个方程可求出 a3【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 (3，2，0) Tk(1，1，1) T【试
16、题解析】 由于矩阵 A 中有 2 阶子式不为 0，故秩 r(A)2 又 1 2 是 A0的非零解，知 r(A)3 故必有 r(A)2于是 nr(A)1 所以方程组通解是：(3， 2，0) Tk(1，1，1) T【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 AX 用向量方程形式写出为 11 22 33 44 ，其导出组为 11 22 33 440条件 1 2 3 4 说明(1，1，1，1) T 是AX 的一个特解 12 2 3 说明(1，2，1，0) T 是导出组的一个非零解又从 2， 3， 4 线性无关和 12 2 3得到 r(a)3，从而导出组
17、的基础解系只含4r(a)1 个解，从而 (1，2，1，0) T 为基础解系AX 通解为(1，1，1，1)T c(1，2，1，0) T，c 可取任意数【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 由于 AB0，r(A)r(B)3 ，并且 B 的 3 个列向量都是 AX0 的解 (1)若 k9，则 r(B)2，r(A)1，AX0 的基础解系应该包含两个解(1 ，2，3) T 和(3，6，k) T 都是解，并且它们线性无关，从而构成基础解系，通解为： c 1(1，2，3) Tc 2(3，6，k) T，其中 c1，c 2 任意 (2) 如果 k9，则 r(B)1，r(A)1 或 2 r(A)2，则 AX
18、0 的基础解系应该包含一个解，(1，2， 3)T 构成基础解系通解为： c(1，2，3) T，其中 c 任意 r(A)1，则AX0 的基础解系包含两个解，而此时 B 的 3 个列向量两两相关，不能用其中的两个构成基础解系 由 r(A)1，A 的行向量组的秩为 1，第一个行阳量(a，b，c)(0!)构成最大无关组，因此第二，三个行向量都是(a，b，c)的倍数，从而 AX0和方程 a1b 2c 30 同解由于(1，23) T 是解，有 a2b3c 0，则 a，b不都为 0(否则(a，b，c 都为 0)，于是(b，a，0) T 也是 a1b 2c 30 的一个非零解，它和(1，2，3) T 线性无关
19、，一起构成基础解系，通解为：c 1(1，2，3)T c2(b，a，0) T，其中 c1，c 2 任意【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 () ，由此可决定 c1 与 c2 应该满足的条件 具体计算过程：将c11c 22(c 2，c 12c 2，c 12c 2，c 2)T，代入()，得到解出 c1c 20即当 c1c 20 时 c11c 22 也是()的解于是() 和()的公共解为： c(1 2)，其中 C 可取任意常数【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 公共解必须是()的解，有 2c 的形式，它又是()的解，从而存在 c1，c 2 使得 2c 1c 11c 22， 于是 2c
20、1 可用 1， 2 线性表示，即 r(1， 2， 2c 1)r( 1， 2)2 得到 c12 ，从而()和()有一个公共解 22(12，32，3)【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 (1)把() 的系数矩阵用初等行变换化为简单阶梯形矩阵得到()的同解方程组对自由未知量 3， 4 赋值，得 ()的基础解系1 (5，3， 1，0) T， 3(3，2，0，1) T (2)()的通解为c11c 22(2c 1c 2，c 12c 2，(a2)c 14c 2，c 1(a8)c 2)T将它代入() ，求出为使 c11c 22 也是( )的解(从而是()和( )的公共解)，c 1，c 2 应满足的条件
21、为： 于是当 a10 时，必须 c1c 20，即此时公共解只有零解 当 a10 时，对任何 c1，c 2，c 11c 22 都是公共解从而()，()有公共非零解此时它们的公共非零解也就是()的非零解：c11c 22，c 1，c 1 不全为 0【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 求出()的解，代入 1 2 30，决定 a 用矩阵消元法，设系数矩阵为 A， AB 当a0 时，()和方程 1 2 40 同解，以 2， 3， 4 为自由未知量求出一个基础解系 1( 1，1，0，0) T， 2(0，0，1，O) T， 3(1，0，0，1) T 其中1， 2 都不是 1 2 30，的解，因此 a0
22、 不合要求 当 a0 时，继续对 B 进行初等行变换 以 4 为自由未知量，得基础解系 (a1，a， ，1) T代入 1 2 30， (a1)(a) 0， 求得 a12即当 a12 时， 适合 1 2 30，从而()的解都满足 1 2 30当 a12 时， 不满足 1 2 30 得a12 为所求此时，方程组的通解为 c(12，12，1，1) T，c 可取任何常数【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 m，n，t 分别在方程组()的各方程中，()的系数及常数项中无参数，可先求出() 的个解(要求 2 的值不为 0!请读者思考为什么这样要求)，代入()的方程，可分别求出 m，n，t 求() 的
23、一个特解得(2， 4，5，0) T 是()的一个解将它代入()的方程：得到 m2，n4，t6【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 由题意得，这两个方程组同解，则它们的联立方程组也和它们同解，系数矩阵的秩也为 2由此可直接通过计算联立方程组系数矩阵的秩来求a，b，c 于是 a20 ，c b1 0，cb 210则 a 2，b，c 有两组解b0，c1；b1，c2可是 b0，c1 时右边方程组系数矩阵的秩为1，因此两个方程组不会同解，这组解应该舍去得：a2，b1，c 2【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 分别记 A 和 B 为()和()的系数矩阵 ()的未知量有 2n 个，它的基础解系含
24、有 n 个解，则 r(A)n，即 A 的行向量组 1， 2， n 线性无关 由于 1， n 都是 ()的解，有 ABT(A 1，A 2，A n)0，转置得BAT0，即 BiT0，i 1，n于是， 1， 2， n 是( )的 n 个线性无关的解又因为 r(B)n，( ) 也有 2n 个未知量，2nr(B)n所以 1， 2， n是()的一个基础解系从而() 的通解为 c 11c 22c nn，c 1，c 2，c n 可取任意数【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 B 求得 BX0 的基础解系：(1，1，2，0) T 和(3，1，0，2) T记 A 则AX0 满足要求【知识模块】 线性方程组2
25、3 【正确答案】 设 c1A1c 2A2c tAt0则 A(c11c 22c tt)0 即c11c 22c tt 是 AX0 的一个解于是它可以用 1， 2， s 线性表示：c11c 22c ttt 11t 22tt ss， 再由1， 2， s， 1， 2， ， s 线性无关，得所有系数都为 0【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 因为 r(A)n3，所以 AX0 的基础解系包含 3 个解设1， 2， 3 是 AX0 的一个基础解系，则条件说明 1， 2， 3 可以用 1， 2， 3 线性表示于是有下面的关于秩的关系式： 3r( 1， 2， 3)r(1， 2， 3； 1， 2， 3)r(
26、 1， 2， 3)3， 从而 r(1， 2， 3)r( 1， 2， 3； 1， 2， 3)r( 1， 2， 3)， 这说明 1， 2， 3 和 1， 2， 3 等价，从而 1， 2， 3 也都是 AX0 的解；又 r(1， 2， 3)3，即 1， 2， 3 线性无关，因此是 AX0 的一个基础解系【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 (1)设 为 ()的一个解， 1， 2， 3 为导出组的基础解系，则 不能用 1， 2， s 线性表示，因此 ， 1， 2， s 线性无关， 1， 2， s 是()的 s1 个解，并且它们等价于， 1， 2， s于是 r( ， 1， 2， s)r( ， 1，
27、 2， s)s1， 因此 ， 1， 2， s 是()的s1 个线性无关的解 (2)AX 的任何 s2 个解都可用 ， 1， 2， s 这 s1 向量线性表示，因此一定线性相关【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 因为 r(a)3，n4，所以 AX0 的基础解系由一个非零解构成 由于 r(a)3，A 有 3 阶非零子式，从而 c1，c 2，c 3，c 4 不全为 0，即 0下面只须再证明 是 AX0 的解于是对第一行展开，得 acacacac0( 1，2，3) 即 满足每个方程是 AX0 的一个非零解【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 记 是 AX 的一个解，即 A 则 T TAT
28、0【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 记 A( 1， 2， 3)，则问题化归线性方程组 AX 解的情形的讨论及求解问题了(1)a0(b 任意 )时 方程组AX 无解， 不能用 1， 2， 3 线性表示 (2)当 a0，ab 时，r(A B)r(A)3，方程组 AX 唯一解，即 可用 1， 2， 3 唯一表不AX 的解为 ，于是 (3)当 ab0 时 r(AB)r(A)2，AX 有无穷多解，即 可用 1， 2， 3 线性表示，且表示式不唯一 AX 有特解 ，而(0，1，1) T 构成 AX0 的基础解系，AX 的通解为 c(0，1，1) T，c 任意， 即 2c 3，c 任意【知识模块】
29、 线性方程组29 【正确答案】 l 1，l 2，l 3 交于一点即方程组 有唯一解，即系数矩阵的秩增广矩阵的秩2 记 则方程组系数矩阵的秩r(A)，增广矩阵的秩 r(B)，于是 l1，l 2，l 3 交于一点，则 r(A)r(B)2 必要性 由于 r(B)2，则B 0计算出 B(abc)(a2 b2c 2 abacbc) (abc)(a b) 2(bc) 2(ca) 2 a ，b，c 不会都相等(否则 r(A)1)，即(ab) 2(bc) 2(ca) 20得 abc0 充分性 当 abc0 时，B0，于是 r(A)r(B)2只用再证 r(A)2，就可得到 r(A)r(B) 2 用反证法若 r(
30、A)2，则 A 的两个列向量线性相关不妨设第 2列是第 1 列的 倍，则 ba，cb，ac于是 3aa ， 3bb， 3cc，由于a，b，c 不能都为 0，得 31，即 1，于是 abc再由 abc 0，得abc0，这与直线方程中未知数的系数不全为 0 矛盾【知识模块】 线性方程组30 【正确答案】 X 一定是 2 阶矩阵 设 XAXXAB 即 1， 2， 3， 4 是线性方程组：得 a3， b2 把 a3，b2 代入右边的矩阵，并继续作行变换化得简单阶梯形矩阵 解得通解为(3，2，0，0)T c1(1，1，1，0) Tc 2(1，0，0，1) T，c 1，c 2 任意 则满足 AXCX B 的矩阵X 的一般形式为【知识模块】 线性方程组31 【正确答案】 对 AXB 的增广矩阵(AB)作初等行变换化阶梯形矩阵：得到 AX0 的同解方程组： 求得基础解系：(2， 1，1，0) T，(1，0，0，1) T (2)AXB 有解 r(AB)r(A) 2，得a6，b 3，c 3 (3)用矩阵消元法求它们的特解：于是(32，32，0，0)T， (32， 32，0，0) T，(0 ，1，0，0) T 依次是这 3 个方程组的特解AXB的通解为： 其中c1，c 2，c 3，c 4，c 5，c 6 任意 或者表示为： 其中 H 为任意 23 矩阵【知识模块】 线性方程组
