1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是 ( ) （A）r(A)=s（B） r(A)=m（C） r(B)=s（D）r(B)=n2 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解1， 2，则下列命题正确的是( )（A）AX=b 的通解为 k11+k22（B） 1+2 为 AX=b 的解（C）方程组 AX=0 的通解为 k(1-2)（D）AX=b 的通解为 k11+k22+ (1+2)3
2、 设有方程组 AX=0 与 BX=0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题：(1)若 AX=0 的解都是 BX：0 的解，则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B)，则 AX=0 的解都是 BX=0 的解(3)若 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B)(4)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解以上命题正确的是( ) （A）(1)(2)（B） (1)(3)（C） (2)(4)（D）(3)(4)4 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（B）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX
3、=0 只有零解（C）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（D）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解5 设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）r(A)=m（B） r(A)=n（C） A 为可逆矩阵（D）r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示二、填空题6 设 A= ，且存在三阶非零矩阵 B，使得 AB=O，则a=_，b=_7 设 为非零向量，A= ， 为方程组 AX=0 的解，则a=_，方程组的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设向量组 1， 2， n-1 为 n 维线性无关的列向量组
4、，且与非零向量 1， 2 正交证明： 1， 2 线性相关9 设齐次线性方程组 ，其中 ab0，n2讨论 a，b 取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解10 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B= 且AB=O，求方程组 AX=0 的通解11 a，b 取何值时，方程组 有解?12 A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解12 设( ) ， 1， 2， 3， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 1= ，r(B)=2 13 求方程组() 的基础解系；14 求方程组(
5、)BX=0 的基础解系；15 ( )与()是否有公共的非零解 ?若有公共解求出其公共解15 设( )16 求() ，()的基础解系；17 求() ，()的公共解18 () ，问 a，b，c 取何值时，()，() 为同解方程组?19 证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 ()是同解方程组20 设( )写出()的通解并说明理由21 设 A 是 ms 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 BX=0 与ABX=0 是同解方程组21 设 A，B，C ，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n22 证明：23 设 1， 2， r 与 1， 2， s 分别为方程组
6、AX=0 与 BX=0 的基础解系，证明：考 1， 2， r， 1， 2， s 线性无关24 设 A 为 n 阶矩阵，A 110证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A*b=025 证明：r(AB)minr(A) ，r(B)26 证明：r(A)=r(A TA)27 设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)= =rn证明：方程组 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是 n-r+1 个28 讨论方程组 的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b 为常数29 设 A= ，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B有解?有解时求出全部解考
7、研数学二（线性方程组）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 设 r(A)=s，显然方程组 BX=0 的解一定为方程组 ABX=0 的解，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=s，所以方程组 AY=0 只有零解，故 BX=0，即方程组BX=0 与方程组 ABX=0 同解，选(A) 【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 C【试题解析】 因为非齐次线性方程组 AX=b 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为A*O，所以 r(A)=n-1， 2-1 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，选(C) 【知识模块】 线性
8、方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 若方程组 AX=0 的解都是方程组 BX=0 的解，则 n-r(A)n-r(B)，从而 r(A)r(B)，(1) 为正确的命题；显然 (2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4) 是错误的，选(B)【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 A【试题解析】 AB 为 m 阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且，r(AB)minr(A)，r(B) ，所以 r(AB)m，于是方程组 ABX=0 有非零解，选(A) 【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 AX=b 有解的充分必要条
9、件是 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示，在方程组 AX=b 有解的情形下其有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n，故选(D)【知识模块】 线性方程组二、填空题6 【正确答案】 2，1【试题解析】 A ，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又BO，于是 r(B)1，故 r(A)2，从而 a=2，b=1【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 3,k(-3 ，1，2) T【试题解析】 AX=0 有非零解，所以A=0，解得 a=3，于是 A=方程组 AX=0 的通解为 k(-3，1，2) T【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 令 A
10、= ，因为 1， 2， n-1 与 1， 2 正交，所以A1=0，A 2=0，即 1， 2 为方程组 AX=0 的两个非零解，因为 r(A)=n-1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以 1， 2 线性相关【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 D= =a+(n-1)b(a-b)n-1(1)当 ab，a(1-n)b 时，方程组只有零解；(2)当 a=b 时，方程组的同解方程组为 x1+x2+xn=0，其通解为X=k1(-1，1， 0，0) T+k2(-1，0，1，0) T+kn-1(-1，0，0，1)T(k1，k 2， ，k n-1 为任意常数)；(3)令 A= ，
11、当 a=(1-n)b 时，r(A)=n-1，显然(1，1，1) T 为方程组的一个解，故方程组的通解为k(1，1 ，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 由 AB=O 得 r(A)+r(b)3 且 r(A)1(1)当 K9 时，因为 r(B)=2，所以 r(A)=1，方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 k1 (k1，k 2 为任意常数)；(2)当 k=9时，r(B)=1， 1r(A)2，当 r(A)=2 时，方程组 AX=0 的通解为 C (C 为任意常数)；当 r(A)=1 时，A 的任意两
12、行都成比例，不妨设 a0，由 A(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 (1)a1时r(A)=(2)a=1，b-1 时， r(A) ，因此方程组无解；(3)a=1，b=-1 时，通解为 X=k1(1，-2，1，0) T+k2(1，-2 ，0，1) T+(-1，1，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 方程组 =0 的解即为方程组 AX=0 与 BX=0 的公共解因为 =0 有非零解，故方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 方程组()的基础解系
13、为 1=【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 因为 r(B)=2，所以方程组()的基础解系含有两个线性无关的解向量， 4-1= 为方程组() 的基础解系.【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 方程组()的通解为 k11+k22=-k2=k2，取 k2=k，则方程组()与方程组()的公共解为 k(-1，1，1，1) T(其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 A 1=A2=【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 方法一 ()，() 公共解即为 X=0 的解，方法二()的通解 k1故()，()的公共解为 (-k，k，2k ，k) T
14、=k(-1，1，2，1) T(k 为任意常数)方法三( )的通解为 k11+k22=()， ()的公共解为 (k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 方法一把()的通解代入 ()，得方法二 因为()，()同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，()的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关，1 可由 1， 2， 3 唯一线性表出， 1=-21+2+3 a=-1， 2 可由 1， 2， 3 唯一线性表出， 2=1+2-3 b=-2， 3 可由 1， 2， 3 肪唯一线性表出， 3=31+2+3c=4【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 令 A=方程组( )可写为 AX=b
15、，方程组 ()、()可分别写为 ATY=0 及 Y=0若方程组()有解，则 r(A)=r(A： b)，从而 r(AT)= ，又因为( )的解一定为()的解，所以( )与()同解；反之，若 ()与()同解，则 r(AT)= ，从而 r(A)=r(A： b)，故方程组()有解【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 令 A= ，则()可写为 AX=0，令 B=则()可写为 BY=0，因为 1， 2， n 为()的基础解系，因此 r(A)=n， 1， 2， n 线性无关， A1=A2=A n=0 A(1， 2， n)=O1T， 2T， nT 为 BY=0 的一组解，而 r(B)=n， 1T， 2T
16、， nT 线性无关，因此 1T， 2T， nT 为 BY=0 的一个基础解系，通解为 (k1，k 2kn 为任意常数)【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 首先，方程组 BX=0 的解一定是方程组 ABX=0 的解令 r(B)=r且 1， 2， n-r 是方程组 BX=0 的基础解系，现设方程组 ABX=0 有一个解 0不是方程组 BX=0 的解，即 B00，显然 1， 2， n-r， 0 线性无关，若1， 2， n-r， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k 2，k n-r，k 0，使得k11+k22+kn-rn-r+k00=0，着 k0=0，则 k11+k22+kn-rn-r
17、=0，因为1， 2， n-r 线性无关，所以 k1=k2=kn-r=0，从而 1， 2， n-r， 0 线性无关，所以 k00，故 0 可由 1， 2， n-r 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B0=0，矛盾，所以 1， 2， n-r， 0 线性无关，且为方程组 ABX=0 的解，从而 n-r(AB)n-r+1，r(AB)r-1，这与 r(B)=r(AB)矛盾，故方程组 BX=0 与 ABX=0同解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 因为 n=r(CA+DB)=【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 因为 只有零解，从而方程组AX=0 与 BX=0
18、没有非零的公共解，故 1， 2， r 与 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)n，从而A=0， 于是 A*b=A*AX=AX=0 反之，设 A*b=0，因为 b0，所以方程组 A*X=0 有非零解，从而 r(A*)n，又 A110，所以 r(A*)=1，且 r(A)=n-1 因为r(A*)=1，所以方程组 A*X=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的解向量，而A*A=0，所以 A 的列向量组 1， 2， n 为方程组 A*X=0 的一组解向量 由A110得 2， n 线性无关，所以 2， n 是方程组
19、A*X=0 的基础解系 因为 A*b=0，所以 b 可由 2， n 线性表示，也可由 1， 2， n 线性表示，故 r(A)= =n-1n，即方程组 AX=b 有无穷多个解【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 令 r(B)=r，BX=0 的基础解系含有 n-r 个线性无关的解向量，因为BX=0 的解一定是 ABX=0 的解，所以 ABX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即 n-r(AB)n-r(B)，r(AB)r(B)； 又因为 r(AB)T=r(AB)=r(BTAT)r(AT)=r(A)， 所以 r(AB)minr(A
20、)，r(B)【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 只需证明 AX=0 与 ATAX=0 为同解方程组即可若 AX0=0，则ATAX0=0反之，若 ATAX0=0，则 X0TATAX0=0 AX0=0，所以 AX=0 与 ATAX=0 为同解方程组，从而 r(A)=r(ATA)【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 因为 r(A)=rn，所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有 n-r个线性无关的解向量，设为 1， 2， n-r 设 0 为方程组 AX=b 的一个特解， 令 0=0， 1=1+0， 2=2 +0， n-r=n-r+0，显然 0， 1， 2， n-r 为方程组 AX=
21、b 的一组解 令 k00+k11+kn-rn-r=0，即 (k 0+k1+kn-r)0+k11+k22+kn-rn-r=0， 上式两边左乘 A 得(k 0+k1+kn-r)n=0， 因为 b 为非零列向量，所以 k0+k1+kn-r=0，于是 k 11+k22+kn-rn-r=0， 注意到1， 2， n-r 线性无关，所以 k1=k2=kn-r=0， 故 0， 1， 2， n-r 线性无关，即方程组 AX=b 存在由 n-r+1 个线性无关的解向量构成的向量组设1， 2， n-r+2 为方程组 AX=b 的一组线性无关解， 令 1=2-1， 2=3-1， n-r+1=n-r+2-1，根据定义，
22、易证 1， 2， n-r+1 线性无关，又1， 2， ， n-r1 为齐次线性方程组 AX=0 的一组解，即方程组 AX=0 含有 n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以 AX=b 的任意 n-r+2 个解向量都是线性相关的，所以AX=b 的线性无关的解向量的个数最多为 n-r+1 个【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 D= =-(a+1)(b+2)(1)当 a-1，b-2 时，因为D0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当 a=-1，b-2时， 当 b-1 时，方程组无解 当 b=-1 时，(3)当 a-1，b=-2 时，方程组的通解为 X=k (k 为任意常数)当 a1 时，显然 r(A)=2=3，方程组无解【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 令 X=(X1，X 2，X 3)，B=( 1， 2， 3)，方程组 AX=B 等价于则 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(A：B)，由 r(A)=r(A：B)得 a=1， b=2，c=2，此时(A：B) AX1=1 的通解为X1=k1 AX2=2 的通解为X2=k2 AX3=3 的通解为 X3=k3则 X=(X1，X 2，X 3)= ，其中 k1，k 2，k 3 为任意常数【知识模块】 线性方程组
