1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 要使 都是线性方程组 AX0 的解，只要系数矩阵 A 为（A）（B）（C）（D）2 设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 ，则自由变量不能取成（A） 4， 5（B） 2， 3（C） 2， 4（D） 1， 33 设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（A）如 mn，则 Ab 有无穷多解（B）如 A0 只有零解，则 Ab 有唯一解（C）如 A 有 n 阶子式不为零，则 A0 只有零解（D）Ab 有唯一解的充要条件是 r(A)n4 非齐次线性方程组 Ab 中未知量的个数为
2、 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则正确命题是（A）rm 时，方程组 Ab 有解（B） rn 时，方程组 Ab 有唯一解（C） mn 时，方程组 Ab 有唯一解（D）rn 时，方程组 Ab 有无穷多解5 已知 1， 2， 3， 4 是齐次方程组 A0 的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是（A） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1（B） 1， 2， 3 4， 3 4（C） 1， 2， 3， 4 的一个等价向量组（D） 1， 2， 3， 4 的一个等秩的向量组6 设 A 是 54 矩阵，A( 1， 2， 3， 4)，若 1(1 ，1，2，1)T， 2 (0，1 ，0，1) T
3、是 A0 的基础解系则 A 的列向量组的极大线性无关组可以是（A） 1， 3（B） 2， 4（C） 2， 3（D） 1， 27 AX0 和 BX0 都是 n 元方程组，下列断言正确的是( )（A）AX0 和 BX0 同解 r(A)r(B) （B） AX0 的解都是 BX0 的解 r(A)r(B)（C） AX0 的解都是 BX0 的解 r(A)r(B)（D）r(A)r(B) AX0 的解都是 BX0 的解8 设 A 是 mn 矩阵，r(A)r则方程组 AX（A）在 rm 时有解（B）在 mn 时有唯一解（C）在 rn 时有无穷多解（D）f二、填空题9 已知方程组 有无穷多解，则 a_10 已知方
4、程组 总有解，则 应满足_11 四元方程组 的一个基础解系是_12 四元方程组 Ab 的三个解是 1， 2， 3，其中 1(1 ，1，1，1)T， 2 3(2，3，4，5) T，如 r(A)3，则方程组 Ab 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求齐次方程组 的基础解系14 求线性方程组 的通解，并求满足条件 12 22 的所有解15 当 a，b 取何值时，方程组 有唯一解，无解，有无穷多解? 当方程组有解时，求其解16 设线性方程组 已知(1， 1，1，1) T 是该方程组的一个解，求方程组所有的解17 已知 a，b ，c 不全为零，证明方程组 只有零解18 设
5、 A 是 n 阶矩阵，证明方程组 Ab 对任何 b 都有解的充分必要条件是A019 证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系20 已知(1 ，0，2) T，(1，4，b) T 构成齐次线性方程组 的一个基础解系，求 a，b， s，t21 求此齐次方程组的一个基础解系和通解22 讨论 p，t 为何值时，方程组 无解?有解?有解时写出全部解23 已知线性方程组 AX 存在两个不同的解求 ，a求 AX 的通解24 设 计算行列式 A实数 a 为什么值时方程组 AX 有无穷多解?在此时求通解25 已知齐次方程组为 其中ai0 (1)讨论 a1，a 2， ，a n 和 b 满足何种关系时方程组
6、有非零解； (2)在方程组有非零解时，写出一个基础解系26 设 n1，n 元齐次方程组 AX0 的系数矩阵为 A(1)讨论 a 为什么数时 AX0 有非零解? (2)在有非零解时求通解27 已知线性方程组 有解(1， 1，1，1) T (1) 用导出组的基础解系表示通解； (2)写出 2 3 的全部解28 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解 (1)证明此方程组的系数矩阵 A 的秩为 2 (2)求 a，b 的值和方程组的通解29 已知 (0，1，0) T 是方程组 的解，求通解30 设线性方程组为 (1)讨论 a1，a 2，a 3，a 4 取值对解的情况的影响 (2)设 a1a 3k，
7、a 2a 4k(k0)，并且(1，1，1) T 和(1，1， 1)T 都是解，求此方程组的通解31 设非齐次方程组 AX 有解 1， 2， 3，其中 1(1，2，3，4)T， 2 3(0，1，2，3) T，r(a)3求通解考研数学二（线性方程组）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 A已有 2 个线性无关的解，故 nr(A)2，即 r(A)1所以选项 B、D 的秩不符合题目要求 1 不是选项 C 中方程的解，因而 1 不是选项 C的解用排除法应选 A【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】
8、 自由未知量选择的原则是：其他未知量可用它们唯一确定如果选择 4， 5，对应齐次方程组写作 显见把 4， 5当作参数时， 1， 2， 3 不是唯一确定的 因此 4， 5 不能唯一确定 1， 2， 3，它们不能取为自由变量故选 A【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 B【试题解析】 向量组(A) 线性相关，选项 A 不正确 1， 2， 3， 4， 1 2，与1， 2， 3， 4 等价但前者线性相关，故选项 C 不正确 等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故选项 D 不正确 因此本题选
9、 B【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 C【试题解析】 由 A0，知 1 22 3 40 由 A20，知 2 40 因为 nr(A)2，故必有 r(A)2所以可排除选项 D 由知， 2， 4 线性相关故应排除选项 B 把代入得 12 30，即 1， 3 线性相关，排除选项 A 如果 2， 3 线性相关，则 r(1， 2， 3， 4)r( 2 3， 2， 3， 2)r( 2， 3)1 与 r(A) 2 相矛盾所以选 C【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 C【试题解析】 AX0 和 BX0 同解 r(A)r(B) ，但 r(A)r(B) 推不出 AX0和 BX0 同解，排除 A 项 A
10、X0 的解都是 BX0 的解，则 AX0 的解集合0 的解集合，于是 n r(A)nr(B)，即 r(A)r(B)选项 C 对，选项 B 不对 nr(A)nr(B)推不出 AX0 的解集合 BX0 的解集合，选项 D 不对【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组二、填空题9 【正确答案】 5【试题解析】 对增广矩阵作初等行变换，有当 a5 时，r(A)r( )3，方程组有无穷多解【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 1 且 【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 (0，0，1，0) T，(1，1，0，1) T【试题解析】 n r(A) 4 22取 3， 4
11、 为自由变量： 令 31， 40 得20， 10；令 30， 41 得 21， 11，所以基础解系是(0，0，1，0)T，(1，1，0，1) T【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 (1，1，1，1) Tk(0，1，2，3) T【试题解析】 由( 2 3)2 1( 2 1)( 3 1)(2，3，4，5)T2(1，1，1，1) T(0，1，2，3) T，知(0，1，2，3) T 是 A0 的解 又秩 r(A)3，nr(A)1，所以 Ab 的通解是(1，1，1，1) Tk(0，1，【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 对系数矩阵作初等变
12、换，有当 a1 时，r(A)3，取自由变量 4 得 41， 30， 26， 15基础解系是(5， 6，0，1) T 当 a1 时，r(A) 2取自由变量 1， 4，则由 31， 40得 22， 11， 30， 41 得 26， 15， 知基础解系是(1，2，1，0)T， (5，6， 0，1) T【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有方程组的解：令 30， 40 得 21， 12即 (2，1，0，0) T 导出组的解： 令 31 ， 40 得 23， 11即 1(1，3，1，0) T； 令 30， 41 得20， 11即 2(1，0，0，1) T 因此方程组的通解
13、是：(2，1，0，0)T k1(1，3， 1，0) Tk 2(1，0，0，1) T 而其中满足 12 22 的解，即(2k 1k 2)2(1 3k1)2 那么 2k 1k 213k 1 或 2k 1k 2(13k 1)， 即 k212k 1或 k234k 1 所以(1，1，0，1) Tk(3，3，1，2) T 和(1，1，0，3)T k(3，3， 1，4) T 为满足 12 22 的所有解【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有()当 a0，且 b3 时，方程组有唯一解 ()当 a0 时， b 方程组均无解 () 当 a0，b3 时，方程组有无穷多解( ，1，0)
14、 Tk(0，3，2) T【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 将(1，1，1，1) T 代入方程组得 现在方程组已有了一个解，只用再求导出组的基础解系对系数矩阵作初等行变换，有()当 时，A 因 r(A)24，所以方程组有无穷多解 (1， 1，1，1) Tk 1(1，3，1，0) Tk 2(1，2，0，2) T ()当 时，A 因 r(a)3 4，所以方程组有无穷多解(1， 1，1，1) Tk(2，1，1，2) T【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 因为系数行列式所以齐次方程组只有零解【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 必要性对矩阵 A 按列分块 A( 1， 2， n)，
15、则 b，Ab 有解 1， 2， n 可表示任何 n 维向量 b 1， 2， n 可表示 e1(1，0，0，0) T，e 2(0 ，1，0，0) T， ，e n(0，0，0，1) T (1， 2， n)r(e1，e 2，e e)n r(A)n 所以A0 充分性由克莱姆法则，行列式A0 时方程组必有唯一解，故 b，A b 总有解【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 设 A0 的基础解系是 1， 2， ， t 若 1， 2， s 线性无关， 1， 2， s 与 1， 2， t 等价 由于 j(j1，2，s)可以由1， 2， t 线性表示，而 i(i1，t)是 A0 的解，所以j(j1，2， ，
16、s)是 A 0 的解 因为 1， 2， t 线性无关，秩r(1， 2， t)t，又 1， 2， t 与 1， 2， s 等价，所以r(1， 2， s)r( 1， 2， t)t又因 1， 2， s 线性无关，故 st 因此 1， 2， t 是 A0 的基础解系【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 此齐次线性方程组的基础解系包含 2 个解，未知数有 3 个，则系数矩阵 的秩为 1，立刻得到 s2 ，t 1于是方程组为把(1，a，2) T，(1，4，6) T 代入，得 a2，b1【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 用初等行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵则系数矩阵的秩为 2，小于未知数个数
17、 5，此齐次方程组有非零解 进一步把阶梯形矩阵化简单阶梯形矩阵：选定自由未知量2， 4， 5，用它们表示出待定未知量，得到同解方程组：对自由未知量赋值，决定基础解系 一般做法为让自由未知量轮流地取值 1(其他未知量取值 0)，这样得到的一组解为基础解系，如本题的一个基础解系为： 1(23，1，0，0，0)T， 2 (1 3，0，0，1 ，0) T， 3(29，0，13，0，1) T， 写出通解c11c 22c 33，其中 c1，c 2，c 3 可取任意数【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵于是，当 t2 时，有 r(A) r(A) ，此时方程组无解
18、当 t2 时(p 任意)，r(A) r(A)34，此时有无穷多解 当 t2，P 8 时，得同解方程组 令 3 40，得一特解 (1，1，0，0) T 导出组有同解方程组 对 3， 4 赋值得基础解系 (4，2，1，0)T， (1，2 ，0，1) T此时全部解为 (1，1，0，0) Tc 1(4，2，1，0)T c2(1，2，0，1) T，其中 c1，c 2 可取任何数 当 t2，P8 时，得同解方程组 令 40，得一特解( 1，1，0，0) T 导出组有同解方程组 令 41，得基础解系(1， 2，0，1) T此时全部解为(1， 1，0，0) Tc(1， 2，0，1) T，其中 c 可取任何数【
19、知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 AX 存在两个不同的解(即有无穷多个解) (A) r(A)3用矩阵消元法：则1a 10，而 10(否则第二个方程为 01，无解)得1，a2 (B) 得 AX 的同解方程组 求出通解(32，12，0)T c(1，0，1) T，c 可取任意数【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 把增广矩阵用第 3 类初等行变换化阶梯形A B1a 4 AXB 有无穷多解的条件是 1a 4aa 20，即 a1 此时(B)求出通解(0， 1，0，0) Tc(1，1 ，1，1) T，c 为任意常数【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 (1)用矩阵消元法设系数矩阵为 A
20、，A 第 1 至(n1)行各减去第n 行： 如果 b0，则 r(A)1，此时有非零解 当 b0 时，继续对 B 作初等行变换：1 至 n1 行都除以 b，再把第i 行的a i 倍加到第 n 行上(1in1)，则当 b ai 时，r(A)n1，此时也有非零解 如果 b0 且 b ai，则 r(A)n，此时只有零解 (2)在 b0 时求 AX0 的基础解系：此时 AX0 与方程a11a 22a 33a nn0，同解由于 ai0，a 1，a 2，a n 不全为 0 不妨设 an0，规定 1(a n，0，0，a 1)T， 2 (0，a n，0，a 2)T， n-1(0， ，0，a n，a n-1)T，
21、 则 1， 2， n-1 是 n1 个线性无关的解，构成AX0 的基础解系 在 b ai 时， C 则AX0 与 CX0 同解，向量(1，1，1) T 构成基础解系【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 (1)用矩阵消元法，把第 n 行除以 n 移到第一行，其他行往下顺移，再第 i 行减第一行的 i 倍(i1)a0 时 r(A)1，有非零解 下面设 a0，对右边的矩阵继续进行行变换：把第 2至 n 各行都除以 a，然后把第 1 行减下面各行后换到最下面，得于是当 an(n1)2 时r(A)n1，有非零解 (2)n0 时 AX0 与 1 2 n同解，通解为 c1(11，0，0) Tc 2(1
22、，0，2，0) Tc n-1(1，0，0，1)T， ci，任意 a(n1)2 时，通解为 c(1，2，3，n) T，c 任意【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 (1，1，1，1) T 代入方程组，可得到 ，但是不能求得它们的值 (1)此方程组已有了特解(1，1，1，1) T，只用再求出导出组的基础解系就可写出通解对系数矩阵作初等行变换： AB 如果210，则 B (1，3，1，0) T 和(1 2，1，0，1) T 为导出组的基础解系，通解为 (1，1，1，1)T c1(1，3，1，0) Tc 2(12，1，0，1) T，c 1，c 2 任意 如果 210，则用 21 除 B 的第三行
23、：(1， 12，12，1) T 为导出组的基础解系，通解为 (1，1，1，1)T c(1，12，12，1) T，c 任意 (2)当 210 时，通解的213c 1c 2， 31c 1，由于 2 3，则有 13c 1c 21c 1，从而c224c 1，因此满足 2 3 的通解为(2，1，1，3) Tc 1(3，1，1，4) T 当210 时，1c 2 1c2，得 c2，此时解为 (1，0，0，1) T【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 (1)设 1， 2， 3 是 AX 的 3 个线性无关的解，则，2 1， 3 1 是 AX0 的 2 个线性无关的解于是 AX0 的解集合的秩不小于2，即
24、 4r(A)2 ，r(A)2， 又因为 A 的行向量是两两线性无关的，所以 r(A)2 两个不等式说明了 r(A) 2 (2)(A )由 r(A)2，得出 a 2，b3 代入后继续作初等行变换化简单阶梯形矩阵：得同解方程组 求出一个特解(2 ，3，0，0) T 和 AX0 的基础解系(2，1，1，0) T，(4，5，0，1)T得到方程组的通解： (2，3，0，0) Tc 1(2，1，1，0) Tc 2(4，5，0，1)T， c1， c2 任意【知识模块】 线性方程组29 【正确答案】 把 (0，1，0) T 代入方程组可求得 b1，d3，但是 a 和 c 不能确定于是要对它们的取值对解的影响进
25、行讨论 记系数矩阵为 A看 r(A)，一定有 r(A)2(因为 1，2 两行无关) A则当 ac3时 r(A)3，则方程组唯一解 则当 ac3 时 r(A)2，有方程组有无穷多解，并且它的导出组有同解方程组 求得(1，1，1) T 构成基础解系方程组的通解为：(0，1，0) Tc(1，1，1) T，c 任意【知识模块】 线性方程组30 【正确答案】 (1)增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式，其值等于 (a 2a 1)(a3a 1)(a4a 1)(a3a 2)(a4a 2)(a4a 3) 于是，当a1，a 2，a 3，a 4 两两不同时，增广矩阵的行列式不为 0，秩为 4，而系数矩阵的秩为3因此
26、，方程组无解 如果 a1，a 2，a 3，a 4 不是两两不同，则相同参数对应一样的方程于是只要看有几个不同，就只留下几个方程 如果有 3 个不同，不妨设 a1，a 2，a 3 两两不同，a 4 等于其中之一，则可去掉第 4 个方程，得原方程组的同解方程组 它的系数矩阵是范德蒙行列式，值等于(a2 a1)(a3a 1)(a3a 2)0，因此方程组唯一解 如果不同的少于有 3 个，则只用留下 2 个或 1 个方程，此时方程组无穷多解 (2)此时第 3，4 两个方程分别就是第 1，2 方程，可抛弃，得 (1，1，1) T 和(1，1， 1)T 都是解，它们的差(2，0，2) T 是导出组的一个非零解本题未知数个数为 3，而系数矩阵 的秩为 2(注意 k0)于是(2，0，2) T 构成导出组的基础解系，通解为： (1，1，1) Tc(2，0，2) T，c 可取任意常数【知识模块】 线性方程组31 【正确答案】 1 是 AX 的一个特解，只用再找 AX0 的基础解系从解是4 维向量知，AX 的未知数个数 n4r(A)3，于是，它的 AX0 的基础解系由 1 个非零解构成 由解的性质，2 1( 2 3)(2，3，4，5) T 是 AX0 的解于是，AX 的通解为 (1，2，3，4) Tc(2，3，4，5) T，c 可取任何常数【知识模块】 线性方程组
