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[考研类试卷]考研数学二(行列式)模拟试卷10及答案与解析.doc

1、考研数学二(行列式)模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 =( )(A)22。(B) 23。(C) 24。(D)25。2 设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a,则 D=( )(A)0。(B) a2。(C)一 a2。(D)na 2。3 设 f(x)= ,则 f(x)=0 的根的个数为( )(A)0。(B) 1。(C) 2。(D)3。4 1, 2, 3, 1, 2 均为四维列向量,A=( 1, 2, 3, 1),B=( 3, 1, 2, 2),且A=1,B =2,则A+B=( )(A)9。(B) 6。(C) 3。(D)1。

2、5 设 n 阶矩阵 A=(1, 2, n),B=( n, 1, n1 ),若A=1,则A B=( )(A)0。(B) 2。(C) 1+(一 1)n1 。(D)1+(一 1)n。6 设 A 为三阶矩阵,A= ,则4A 一(3A *)1 =( )(A) 。(B) 3。(C) 6。(D)9。二、填空题7 计算行列式 =_。8 在 xOy 平面上,平面曲线方程 y= ,则平面曲线与 x 轴的交点坐标是_。9 设行列式 D= ,则第四行元素余子式之和的值为 _。10 设 A=(1, 2, 3,),B=( 2, 3, 1,), A=a,B=b,则A+B=_。11 设 A,B 是三阶矩阵,满足 AB=AB,

3、其中 B= ,则A+E=_。12 设 A 为奇数阶矩阵,且 AAT=ATA=E。若A0,则AE=_。13 已知 A 为三阶方阵,A 2 一 A 一 2E=O,且 0A 5,则A+2E=_。14 已知 A,B 为三阶相似矩阵, 1=1, 2=2 为 A 的两个特征值,行列式B =2 ,则行列式 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 Dn= 。16 计算行列式 Dn= 。17 证明: =anxn+an1 xn1 +a1x+a0。18 计算 n 阶行列式 ,其中 。19 计算 Dn= ,其中 n 2。考研数学二(行列式)模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选

4、项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 第一行加到第二行,然后第二行加到第三行,最后第三行再加到第四行,得到上对角线行列式 ,故该行列式值为 24。【知识模块】 行列式2 【正确答案】 A【试题解析】 按这一列展开,D=a 1jA1j+a2jA2j+a2njA2nj=aA1j+aA2j+aA2nj,并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a,n 个为一 a,从而行列式的值为零,所以应选 A。【知识模块】 行列式3 【正确答案】 C【试题解析】 按行列式展开得 f(x)=5( 一 4x),所以有 f(x)=5(x2 一 4)=0,因此根的个数为 2。【知识模块】

5、行列式4 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵加法公式,得 A+B=(1+3, 2+1, 3+2, 1+2),结合行列式的性质有 A+B = 1+3, 2+1, 3+2, 1+2 =2( 1+2+3),2+1, 3+2, 1+2 =2 1+2+3, 2+1, 3+2, 1+2 =2 1+2+3,一3,一 1, 1+2 =2 2,一 3,一 1, 1+2 =2 1, 2, 3, 1+2 =2(A+B )=6。【知识模块】 行列式5 【正确答案】 A【试题解析】 对于行列式A 一 B,将第 2n 列都加到第一列上,即 A 一B= 1 一 n, 2 一 1, n 一 n1 =0, 2 一 1, n

6、一 n1 =0。【知识模块】 行列式6 【正确答案】 D【试题解析】 4A 一(3A *)1 =4A 一(3AA 1 )1 = 4AA= 3A=9 。【知识模块】 行列式二、填空题7 【正确答案】 (a 1c2a2c1)(b1d2b2d1)【试题解析】 根据行列式按行(列)展开法则,按照第一行展开,=a1c2(b1d2b2d1)一 a2c1(b1d2b2d1)=(a1c2a2c1)(b1d2b2d1)。【知识模块】 行列式8 【正确答案】 (2,0) ,(3,0)【试题解析】 曲线 y= 与 x 轴(即 y=0)的交点为方程组的解,行列式 为范德蒙德行列式,即有 y=(32)(x 一 2)(x

7、 一 3)=0,解得 x=2 或 3,故曲线与 x 轴的交点坐标为(2, 0),(3,0)。【知识模块】 行列式9 【正确答案】 0【试题解析】 第四行余子式之和 M41+M42+M43+M44=一 A41+A42 一 A43+A44=0。【知识模块】 行列式10 【正确答案】 2(a+b)【试题解析】 由题意 A+B=( 1+2, 2+3, 3+1,+) , 即有 A+B= 1+2, 2+3, 3+1,+。 将该行列式的第一列的一 1 倍加到第二列得 A+B = 1+2, 3 一 1, 3+1,+ 。 再将新的行列式的第二列加到第三列可得 A+B = 1+2, 3 一 1,2 3,+ =2

8、1+2,一1, 3,+ =一 2 1+2, 1, 3,+ =一 2 2, 1, 3,+ =一2( 2, 1, 3,+ 2, 1, 3,), 其中 2, 1, 3,=一A= 一a, 2, 1, 3,=一 B=一 b, 故A+B=2(a b)。【知识模块】 行列式11 【正确答案】 【试题解析】 由题设,AB=AB,则(A+E)(EB)=E,因此A+E =。【知识模块】 行列式12 【正确答案】 0【试题解析】 AE=AAA T=A(EA T)=A E 一AT =AE A。 由 AAT=ATA=E,可知 A 2=1,因为A0,所以A=1,即AE =E 一 A。 又 A 为奇数阶矩阵,所以 EA=

9、一(A E)=一AE=一EA,故AE=0。【知识模块】 行列式13 【正确答案】 4【试题解析】 设 A 的特征值 i 对应的特征向量是 xi(xi0,i=1,2,3),则Axi=xi。 由 A2 一 A 一 2E=O 可知,特征向量 xi 满足(A 2 一 A 一 2E)xi=0,从而有i2 一 i 一 2=0,解得 i=一 1 或 i=2。再根据A =123 及 0A 5 可得,1=2=一 1, 3=2。 由 Axi=xi 可得(A+2E)x i=(i+2)xi,即 A+2E 的特征值i(i=1,2,3)满足 i=i+2,所以 1=2=1, 3=4,故A+2E=114=4。【知识模块】 行

10、列式14 【正确答案】 【试题解析】 设 3 为 A 的另一特征值。由 A 与 B 相似知,A = B =2 ,且123=A =2,则有 3=1,从而 A,B 有相同的特征值 1=1, 2=2, 3=1。于是有A+E=( 1+1)(2+1)(3+1)=12,(A+E) 1 = ,(2B)*= 22B* =43B *=4 3B 2=256。故=A+E 1 (2B) *= 。【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 把第二行的一 1 倍分别加至其余各行,再把第一行的 2 倍加至第二行,得 Dn= =一 2(n 一 2)!。【知识模块】 行列式16 【

11、正确答案】 利用行列式的性质,得 Dn=nDn1 +an =nDn1 +an=nDn1 +(n 一 1)!a n2。同理可得 Dn1 =(n 一 1)Dn2 +(n 一2)!a n1 2,所以 Dn=n(n 一 1)Dn2 +(n 一 2)!a n1 2+(n 一 1)!a n2=n(n 一 1)Dn2 +,依次递推可得【知识模块】 行列式17 【正确答案】 本题可利用递推法证明。记 Dn= ,则左边=xD n+(一 1)n2 a0 =xDn+(一 1)2n2 a0=xDn+a0。显然 D1=an,根据上面的结论有左边=xD n+a0=x(xDn1 +a1)+a0=x2Dn1 +xa1+a0=

12、xnD1+an1 xn1 +a1x+a0=anxn+an1 xn1 +a1x+a0=右边,所以,命题成立。【知识模块】 行列式18 【正确答案】 令 Dn= ,则将该行列式按第一行展开得 Dn=(+)Dn1 一 ,再将上式中后面的 n 一 1 阶行列式按照第一列展开得 Dn=(+)Dn1 一 Dn2 ,则 Dn 一Dn1 =(Dn1 一 Dn2 )=2(Dn2 一 Dn3 )= n2 (D2 一 D1)=n2 (2+2)一(+)=n,即 Dn 一 Dn1 =n, (1)类似地,有 Dn 一 Dn1 =n, (2)(1) 一(2)可得( 一 )Dn=n1 一 n1 ,所以 Dn= 。【知识模块】 行列式19 【正确答案】 把第 1 行的(一 x)倍分别加到第 2,3,n 行,得 Dn=。当 x0 时,再把第 j(j=2,3,n)列的 倍加到第 1 列,D n 化成了上三角行列式 Dn= =(一 1)n1 (n一 1)xn2 。当 x=0 时,显然有 Dn=0,所以当 n2 时,总有 Dn=(一 1)n1 (n 一 1)xn2 。【知识模块】 行列式

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