1、考研数学二（行列式）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 =( )（A）22。（B） 23。（C） 24。（D）25。2 设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（A）0。（B） a2。（C）一 a2。（D）na 2。3 设 f(x)= ，则 f(x)=0 的根的个数为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。4 1， 2， 3， 1， 2 均为四维列向量，A=( 1， 2， 3， 1)，B=( 3， 1， 2， 2)，且A=1，B =2，则A+B=( )（A）9。（B） 6。（C） 3。（D）1。
2、5 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)，B=( n， 1， n1 )，若A=1，则A B=( )（A）0。（B） 2。（C） 1+(一 1)n1 。（D）1+(一 1)n。6 设 A 为三阶矩阵，A= ，则4A 一(3A *)1 =( )（A） 。（B） 3。（C） 6。（D）9。二、填空题7 计算行列式 =_。8 在 xOy 平面上，平面曲线方程 y= ，则平面曲线与 x 轴的交点坐标是_。9 设行列式 D= ，则第四行元素余子式之和的值为 _。10 设 A=(1， 2， 3，)，B=( 2， 3， 1，)， A=a，B=b，则A+B=_。11 设 A，B 是三阶矩阵，满足 AB=AB，
3、其中 B= ，则A+E=_。12 设 A 为奇数阶矩阵，且 AAT=ATA=E。若A0，则AE=_。13 已知 A 为三阶方阵，A 2 一 A 一 2E=O，且 0A 5，则A+2E=_。14 已知 A，B 为三阶相似矩阵， 1=1， 2=2 为 A 的两个特征值，行列式B =2 ，则行列式 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 Dn= 。16 计算行列式 Dn= 。17 证明： =anxn+an1 xn1 +a1x+a0。18 计算 n 阶行列式 ，其中 。19 计算 Dn= ，其中 n 2。考研数学二（行列式）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选
4、项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 第一行加到第二行，然后第二行加到第三行，最后第三行再加到第四行，得到上对角线行列式 ，故该行列式值为 24。【知识模块】 行列式2 【正确答案】 A【试题解析】 按这一列展开，D=a 1jA1j+a2jA2j+a2njA2nj=aA1j+aA2j+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为一 a，从而行列式的值为零，所以应选 A。【知识模块】 行列式3 【正确答案】 C【试题解析】 按行列式展开得 f(x)=5( 一 4x)，所以有 f(x)=5(x2 一 4)=0，因此根的个数为 2。【知识模块】
5、行列式4 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵加法公式，得 A+B=(1+3， 2+1， 3+2， 1+2)，结合行列式的性质有 A+B = 1+3， 2+1， 3+2， 1+2 =2( 1+2+3)，2+1， 3+2， 1+2 =2 1+2+3， 2+1， 3+2， 1+2 =2 1+2+3，一3，一 1， 1+2 =2 2，一 3，一 1， 1+2 =2 1， 2， 3， 1+2 =2(A+B )=6。【知识模块】 行列式5 【正确答案】 A【试题解析】 对于行列式A 一 B，将第 2n 列都加到第一列上，即 A 一B= 1 一 n， 2 一 1， n 一 n1 =0， 2 一 1， n
6、一 n1 =0。【知识模块】 行列式6 【正确答案】 D【试题解析】 4A 一(3A *)1 =4A 一(3AA 1 )1 = 4AA= 3A=9 。【知识模块】 行列式二、填空题7 【正确答案】 (a 1c2a2c1)(b1d2b2d1)【试题解析】 根据行列式按行(列)展开法则，按照第一行展开，=a1c2(b1d2b2d1)一 a2c1(b1d2b2d1)=(a1c2a2c1)(b1d2b2d1)。【知识模块】 行列式8 【正确答案】 (2，0) ，(3，0)【试题解析】 曲线 y= 与 x 轴(即 y=0)的交点为方程组的解，行列式 为范德蒙德行列式，即有 y=(32)(x 一 2)(x
7、 一 3)=0，解得 x=2 或 3，故曲线与 x 轴的交点坐标为(2， 0)，(3，0)。【知识模块】 行列式9 【正确答案】 0【试题解析】 第四行余子式之和 M41+M42+M43+M44=一 A41+A42 一 A43+A44=0。【知识模块】 行列式10 【正确答案】 2(a+b)【试题解析】 由题意 A+B=( 1+2， 2+3， 3+1，+) ， 即有 A+B= 1+2， 2+3， 3+1，+。 将该行列式的第一列的一 1 倍加到第二列得 A+B = 1+2， 3 一 1， 3+1，+ 。 再将新的行列式的第二列加到第三列可得 A+B = 1+2， 3 一 1，2 3，+ =2
8、1+2，一1， 3，+ =一 2 1+2， 1， 3，+ =一 2 2， 1， 3，+ =一2( 2， 1， 3，+ 2， 1， 3，)， 其中 2， 1， 3，=一A= 一a， 2， 1， 3，=一 B=一 b， 故A+B=2(a b)。【知识模块】 行列式11 【正确答案】 【试题解析】 由题设，AB=AB，则(A+E)(EB)=E，因此A+E =。【知识模块】 行列式12 【正确答案】 0【试题解析】 AE=AAA T=A(EA T)=A E 一AT =AE A。 由 AAT=ATA=E，可知 A 2=1，因为A0，所以A=1，即AE =E 一 A。 又 A 为奇数阶矩阵，所以 EA=
9、一(A E)=一AE=一EA，故AE=0。【知识模块】 行列式13 【正确答案】 4【试题解析】 设 A 的特征值 i 对应的特征向量是 xi(xi0，i=1，2，3)，则Axi=xi。 由 A2 一 A 一 2E=O 可知，特征向量 xi 满足(A 2 一 A 一 2E)xi=0，从而有i2 一 i 一 2=0，解得 i=一 1 或 i=2。再根据A =123 及 0A 5 可得，1=2=一 1， 3=2。 由 Axi=xi 可得(A+2E)x i=(i+2)xi，即 A+2E 的特征值i(i=1，2，3)满足 i=i+2，所以 1=2=1， 3=4，故A+2E=114=4。【知识模块】 行
10、列式14 【正确答案】 【试题解析】 设 3 为 A 的另一特征值。由 A 与 B 相似知，A = B =2 ，且123=A =2，则有 3=1，从而 A，B 有相同的特征值 1=1， 2=2， 3=1。于是有A+E=( 1+1)(2+1)(3+1)=12，(A+E) 1 = ，(2B)*= 22B* =43B *=4 3B 2=256。故=A+E 1 (2B) *= 。【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 把第二行的一 1 倍分别加至其余各行，再把第一行的 2 倍加至第二行，得 Dn= =一 2(n 一 2)！。【知识模块】 行列式16 【
11、正确答案】 利用行列式的性质，得 Dn=nDn1 +an =nDn1 +an=nDn1 +(n 一 1)！a n2。同理可得 Dn1 =(n 一 1)Dn2 +(n 一2)！a n1 2，所以 Dn=n(n 一 1)Dn2 +(n 一 2)！a n1 2+(n 一 1)！a n2=n(n 一 1)Dn2 +，依次递推可得【知识模块】 行列式17 【正确答案】 本题可利用递推法证明。记 Dn= ，则左边=xD n+(一 1)n2 a0 =xDn+(一 1)2n2 a0=xDn+a0。显然 D1=an，根据上面的结论有左边=xD n+a0=x(xDn1 +a1)+a0=x2Dn1 +xa1+a0=
12、xnD1+an1 xn1 +a1x+a0=anxn+an1 xn1 +a1x+a0=右边，所以，命题成立。【知识模块】 行列式18 【正确答案】 令 Dn= ，则将该行列式按第一行展开得 Dn=(+)Dn1 一 ，再将上式中后面的 n 一 1 阶行列式按照第一列展开得 Dn=(+)Dn1 一 Dn2 ，则 Dn 一Dn1 =(Dn1 一 Dn2 )=2(Dn2 一 Dn3 )= n2 (D2 一 D1)=n2 (2+2)一(+)=n，即 Dn 一 Dn1 =n， (1)类似地，有 Dn 一 Dn1 =n， (2)(1) 一(2)可得( 一 )Dn=n1 一 n1 ，所以 Dn= 。【知识模块】 行列式19 【正确答案】 把第 1 行的(一 x)倍分别加到第 2，3，n 行，得 Dn=。当 x0 时，再把第 j(j=2，3，n)列的 倍加到第 1 列，D n 化成了上三角行列式 Dn= =(一 1)n1 (n一 1)xn2 。当 x=0 时，显然有 Dn=0，所以当 n2 时，总有 Dn=(一 1)n1 (n 一 1)xn2 。【知识模块】 行列式
