1、考研数学二（行列式）-试卷 2 及答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.=( ) （分数：2.00）A.22B.23C.24D.253.四阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 一 b 1 b 2 b 3 b 4 。B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4 。C.(a 1 a 2 一 b 1 b 2 )(a 3 a 4 一 b 3 b 4 )。D.(a 2 a 3 一 b 2 b 3 )(a 1 a 4
2、 一 b 1 b 4 )。4.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（分数：2.00）A.0。B.a 2 。C.一 a 2 。D.na 2 。5.设 （分数：2.00）A.m。B.一 8m。C.2m。D.一 2m。6.设 （分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。7.设 1 , 2 , 3 ， 3 ， 2 均为四维列向量，且A= 1 , 2 , 3 ， 1 =m，B= 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 3 ， 2 ， 1 ，( 1 + 2 )=( )（分数：2.00）A.m+n。B.mn。C.一(m+n)。D.n 一 m。8. 1 , 2 , 3
3、， 1 ， 2 均为四维列向量，A=( 1 , 2 , 3 ， 2 )，B=( 3 , 1 , 2 ， 2 )，且A=1，B=2，则A+B=( )（分数：2.00）A.9。B.6。C.3。D.1。9.设 A=( 1 , 2 , 3 )是三阶矩阵，则A=( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 。B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 。C. 1 +2 2 ， 3 ， 1 + 2 。D. 1 ， 2 + 3 ， 1 + 2 。10.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( n ， 1 ， n-1 )，若A=1，则AB=( )（分数：2.00
4、）A.0。B.2。C.1+(一 1) n+1 。D.1+(一 1) n 。11.设矩阵 （分数：2.00）A.一 6。B.6。C.D.12.设 A 为三阶矩阵， （分数：2.00）A.。B.3。C.6。D.9。二、填空题(总题数：16，分数：32.00)13.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_14.计算行列式 （分数：2.00）填空项 1:_15.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_16.在 xOy 平面上，平面曲线方程 （分数：2.00）填空项 1:_17.设三阶行列式 D 3 的第二行元素分别为 1、一 2、3，对应的代数余子式分别为一 3、2、1，则 D 3 = 1。（分数：2
5、.00）填空项 1:_18.设行列式 （分数：2.00）填空项 1:_19.已知三阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 A=( 1 , 2 , 3 ，)，B=( 2 ， 3 ， 1 ，)，A=a，B=b，则A+B= 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.设 A=( 1 , 2 , 3 )是三阶矩阵，且A=4。若 B=( 1 一 3 2 +2 3 ， 2 一 2 3 ，2 2 + 3 )，则B= 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.设 A，B 是三阶矩阵，满足 AB=A 一 B，其中 （分数：2.00）填空项 1:_23.设 （分数：2.00）填空项 1:_24.设 A
6、为奇数阶矩阵，且 AA T =A T A=E。若A0，则A 一 E= 1。（分数：2.00）填空项 1:_25.已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的三阶矩阵，则 （分数：2.00）填空项 1:_26.已知 A 为三阶方阵，A 2 一 A 一 2E=0，且 0A5，则A+2E= 1。（分数：2.00）填空项 1:_27.设三阶方阵 A 与 B 相似，且2E+A=0.已知 1 =1， 2 =一 1 是方阵 B 的两个特征值，则A+2AB= 1。（分数：2.00）填空项 1:_28.已知 A，B 为三阶相似矩阵， 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，行列式B=2，则行列式 （分数：2.0
7、0）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)29.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_30.计算行列式 （分数：2.00）_31. （分数：2.00）_32.计算行列式 （分数：2.00）_33.计算行列式 （分数：2.00）_34.计算： （分数：2.00）_35.证明： （分数：2.00）_36.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）_37.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_38.计算 （分数：2.00）_39.计算 （分数：2.00）_40.设矩阵 （分数：2.00）_考研数学二（行列式）-试卷 2 答案解析(总分：80.00，做题时间：
8、90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.=( ) （分数：2.00）A.22B.23C.24 D.25解析：解析：第一行加到第二行，然后第二行加到第三行，最后第三行再加到第四行，得到上对角线行列式3.四阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 一 b 1 b 2 b 3 b 4 。B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4 。C.(a 1 a 2 一 b 1 b 2 )(a 3 a 4 一 b 3 b 4 )。D.(a 2 a 3 一 b
9、2 b 3 )(a 1 a 4 一 b 1 b 4 )。 解析：解析：根据行列式的按后行(列)展开法则，将此行列式第二、三行(列)展开，得4.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（分数：2.00）A.0。 B.a 2 。C.一 a 2 。D.na 2 。解析：解析：按这一列展开，D=a 1j A 1j +a 2j A 2j +a 2nj A 2nj =aA 1j +aA 2j +aA 2nj ，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为一 a，从而行列式的值为零。所以应选 A。5.设 （分数：2.00）A.m。B.一 8m。C.2m。D.一
10、2m。 解析：解析：将行列式A的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以 2 就可以得到行列式B。由行列式的性质知B=一 2A=一 2m。6.设 （分数：2.00）A.0。B.1。C.2。 D.3。解析：解析：按行列式展开得 7.设 1 , 2 , 3 ， 3 ， 2 均为四维列向量，且A= 1 , 2 , 3 ， 1 =m，B= 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 3 ， 2 ， 1 ，( 1 + 2 )=( )（分数：2.00）A.m+n。B.mn。C.一(m+n)。D.n 一 m。 解析：解析：由行列式运算法则 3 ， 2 ， 1 ，( 1 + 2 )= 3 ， 2 ，
11、1 ， 1 + 3 ， 2 ， 1 ， 2 ，且 3 ， 2 ， 1 ， 2 =一 1 , 2 , 3 ， 2 = 1 ， 2 ， 2 ， 3 =B=n，故可得 3 ， 2 ， 1 ，( 1 + 2 )=一A+B=一 m+n。8. 1 , 2 , 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，A=( 1 , 2 , 3 ， 2 )，B=( 3 , 1 , 2 ， 2 )，且A=1，B=2，则A+B=( )（分数：2.00）A.9。B.6。 C.3。D.1。解析：解析：由矩阵加法公式，得 A+=( 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 )，结合行列式的性质有 A+B= 1 + 3 ，
12、 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 =2( 1 + 2 + 3 )， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 =2 1 + 2 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 =2 1 + 2 + 3 ，一 3 ，一 1 ， 1 + 2 =2 1 + 2 + 3 ，一 3 ，一 1 ， 1 + 2 =2 2 一 3 ，一 1 ， 1 + 2 =2 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 =2 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 =2(A+B)=6。9.设 A=( 1 , 2 , 3 )是三阶矩阵，则A=( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1
13、。B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 。C. 1 +2 2 ， 3 ， 1 + 2 。 D. 1 ， 2 + 3 ， 1 + 2 。解析：解析： 1 +2 2 ， 3 ， 1 + 2 = 1 , 2 , 3 10.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( n ， 1 ， n-1 )，若A=1，则AB=( )（分数：2.00）A.0。 B.2。C.1+(一 1) n+1 。D.1+(一 1) n 。解析：解析：对于行列式A 一 B，将第 2n 列都加到第一列上，即A 一 B= 1 一 n ， 2 一 1 ， n 一 n-1 =0， 2 一 1 ， n 一 n-1 =0
14、。11.设矩阵 （分数：2.00）A.一 6。B.6。C. D.解析：解析：化简矩阵方程，构造 B+E，用因式分解法，则有 A(B+E)+(B+E)=一 E，即(A+E)(B+E)=一 E，两边取行列式，由行列式乘法公式得A+E.B+E=1，又12.设 A 为三阶矩阵， （分数：2.00）A.。B.3。C.6。D.9。 解析：解析：4A 一(3A * ) 一 1 =4A 一(3AA 一 1 ) 一 1 =4AA=3A=9。二、填空题(总题数：16，分数：32.00)13.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2(x 3 +y 3 )）解析：解析：将后两列加到第一列
15、上14.计算行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(a 1 c 2 一 a 2 c 1 )(b 1 d 2 b 2 d 1 )）解析：解析：根据行列式按行(列)展开法则，按照第一行展开， 15.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：120）解析：解析：将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子 10，然后将第四行逐行换至第二行，即16.在 xOy 平面上，平面曲线方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2，0)，(3，0)）解析：解析：曲线 的解，行列式 为范德蒙德行列式，即有17.设三阶行列式 D 3
16、的第二行元素分别为 1、一 2、3，对应的代数余子式分别为一 3、2、1，则 D 3 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D 3 =a 21 A 21 +a 22 A 22 +a 23 A 23 =1(一 3)+(一 2)2+31=一 4。18.设行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：第四行余子式之和19.已知三阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：结合行列式的性质：行列式中某一
17、行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即20.设 A=( 1 , 2 , 3 ，)，B=( 2 ， 3 ， 1 ，)，A=a，B=b，则A+B= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(a+b)）解析：解析：由题意 A+B=( 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 ，+)，即有A+B= 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 ，+。将该行列式的第一列的一 1 倍加到第二列得 A+B= 1 + 2 ， 3 一 1 ， 3 + 1 ，+。 再将新的行列式的第二列加到第三列可得 A+B= 1 + 2 ， 3 一 1 ，2 3 ，+ =2 1 + 2 ，
18、一 1 ， 3 ，+ =一 2 1 + 2 ， 1 ， 3 ，+ =一 2 2 ， 1 ， 3 ，+ =一 2( 2 ， 1 ， 3 ，+ 2 ， 1 ， 3 ，)，其中 2 ， 1 ， 3 ，=一A=一a， 2 ， 1 ， 3 ，=一B=一 b，故A+B=2(a+b)。21.设 A=( 1 , 2 , 3 )是三阶矩阵，且A=4。若 B=( 1 一 3 2 +2 3 ， 2 一 2 3 ，2 2 + 3 )，则B= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：20）解析：解析：利用行列式的性质B= 1 一 3 2 +2 3 ， 2 一 2 1 ，5 3 =5 1 一3 2 +
19、2 3 ， 2 2 3 ， 3 =5 1 一 3 2 ， 2 ， 3 =5 1 ， 2 ， 3 =5A=20。22.设 A，B 是三阶矩阵，满足 AB=A 一 B，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，AB=AB，则(A+E)(E 一 B)=E，因此23.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 AB+B+A+2E=O 可知 A(B+E)+B+E=一 E，也即(A+E)(B+E)=一 E。取行列式可得A+EB+E=E=1，由于 故24.设 A 为奇数阶矩阵，且 AA T =A T A=E。若A0，则A 一 E
20、= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：A 一 E=AAA T =A(E 一 A T )=A.EA T =A.EA。由 AA T =A T A=E，可知A 2 =1，因为A0，所以A=1，即AE=EA。又 A 为奇数阶矩阵，所以EA=一(AE)=一AE=一EA，故AE=0。25.已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的三阶矩阵，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据行列式按行(列)展开法则，得26.已知 A 为三阶方阵，A 2 一 A 一 2E=0，且 0A5，则A+2E= 1。（分数：2.00）填空项 1:_
21、（正确答案：正确答案：4）解析：解析：设 A 的特征值 i 对应的特征向量是 x i (x i 0，i=1，2，3)，则 Ax i =x i 。由 A 2 一 A 一 2E=D 可知，特征向量 x i 满足(A 2 一 A 一 2E)x i =0，从而有 i 2 一 i 一 2=0，解得 i =一 1 或 i =2。再根据A 1 2 3 =及 0A5 可得， 1 = 2 =一 1， 3 =2。由 Ax i =Ax i 可得(A+2E)x i =( i +2)x i ，即 A+2E 的特征值 i (i=1，2，3)满足 i = i +2，所以 1 = 2 =1， 3 =4，故A+2E=114=4
22、。27.设三阶方阵 A 与 B 相似，且2E+A=0.已知 1 =1， 2 =一 1 是方阵 B 的两个特征值，则A+2AB= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：由2E+A=0，可得一 2EA=0，即 =一 2 是 A 的一个特征值。因 A 与 B 相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知， 1 =1， 2 =一 1 也是 A 的特征值，所以 A、B 的特征值均为 1 =1， 2 =一 1， 3 =一 2，则 E+2B 的三个特征值分别为 3，一 1，一 3。从而可得A= 1 2 3 =2，E+2B=3(一 1)(一 3)=9，故A+2AB=A(E+2
23、B)=A. E+2B=18。28.已知 A，B 为三阶相似矩阵， 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，行列式B=2，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 3 ，为 A 的另一特征值。由 A 与 B 相似知，A=B=2，且 1 2 3 =A=2，则有 3 =1，从而 A，B 有相同的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =1。于是有 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)29.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：30.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把第一行的一 1 倍分别加至其
24、余各行，然后将第 2 一 n 列依次加至第一列，得)解析：31. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把第二行的一 1 倍分别加至其余各行，再把第一行的 2 倍加至第二行，得 )解析：32.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把第一行的一 1 倍分别加至其余各行得 )解析：33.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用行列式的性质，得 )解析：34.计算： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该行列式只有两条对角线上元素不为 0，可以按其中一行展开，找出递推关系式。将以上两个行列式分别按最后一行展开，得 =a n d n D 2n-2 b n c
25、 n D 2n-2 。 由此得递推公式 D 2n =(a n d n 一 b n c n )D 2n-2 。按递推公式逐层代入得 )解析：35.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可利用递推法证明。 )解析：36.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，则将该行列式按第一行展开得 再将上式中后面的 n 一 1 阶行列式按照第一列展开得 D n =(+)D n-1 一 D n-2 ,则 D n 一 D n-1 =(D n-1 一 D n-2 )= 2 (D n-2 一 D n-3
26、 )= n-2 (D 2 一 D 1 ) = n-2 ( 2 + 3 )一 (+) = n ； 即 D n 一D n-1 = n ， (1) 类似地，有 D n 一 D n-1 = n ， (2) (1) 一(2) 可得( 一 )D n = n+1 一 n+1 ，所以 )解析：38.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 )解析：39.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把第 1 行的(一 x)倍分别加到第 2，3，n 行，得 当 x0 时，再把第j(j=2，3，n)列的 倍加到第 1 列，D n 化成了上三角行列式 )解析：40.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵方程中出现了矩阵 A 的伴随矩阵 A * 与 A 一 1 ，故考虑先将等式化简。由于 A * A=AE=2E，A 一 1 A=E， 故在等式 ABA * =EBA 一 1 两边同时右乘 A，可得 2AB=AB，则有(2A+E)B=A。 以上等式两边取行列式得 2A+EB=A=2， 易求得2A+E=55，因此 )解析：
