1、考研数学二（行列式）-试卷 1 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 1 , 2 ， 1 ， 2 ， 都是 3 维列向量，且行列式 1 ， 1 ，= 1 ， 2 ，= 2 ， 1 ，= 2 ， 2 ，=3，那么一 2， 1 + 2 ， 1 +2 2 =( )（分数：2.00）A.一 18B.一 36C.64D.一 963.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（分数：2.00）A.0B.a 2 C.一 a 2D.
2、na 2 4.设 A 是 3 阶矩阵，其中 a 11 0，A ij =a ij ，i=1，2，3，j=1，2，3，则2A T =( )（分数：2.00）A.0B.2C.4D.85.4 阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 一 b 1 b 2 b 3 b 4 B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4 C.(a 1 a 2 一 b 1 b 2 )(a 3 a 4 一 b 3 b 4 )D.(a 2 a 3 一 b 2 b 3 )(a 1 a 4 一 b 1 b 4 )6.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（分数：2.00）A.
3、当 mn，必有行列式AB0B.当 mn，必有行列式AB=0C.当 nm，必有行列式AB0D.当 nm，必有行列式AB=07.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m， 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 4 阶行列式 1 ， 2 ， 3 ， 1 +7. 2 等于( )（分数：2.00）A.m+nB.一(m+n)C.nmD.m 一 n8.设 （分数：2.00）A.mB.一 8mC.2mD.一 2m9. 1 , 2 , 3 ， 1 ， 2 均为 4 维列向量，A=( 1 , 2 , 3 ， 1 )，B=( 3 ， 1 ， 2
4、， 2 )，且A=1，B=2，则A+B=( )（分数：2.00）A.9B.6C.3D.110.设矩阵 是满秩的，则直线 （分数：2.00）A.相交于一点B.重合C.平行但不重合D.异面二、填空题(总题数：14，分数：28.00)11.设 3 阶行列式 D，的第 2 行元素分别为 1、一 2、3，对应的代数余子式分别为一 3、2、1，则 D 3 = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.如果 （分数：2.00）填空项 1:_13.如果 （分数：2.00）填空项 1:_14.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 3 阶行列式 （分数：2.0
5、0）填空项 1:_17.四阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_19.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_20.已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的 3 阶矩阵，则 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 （分数：2.00）填空项 1:_22.方程 （分数：2.00）填空项 1:_23.在 xOy 平面上，平面曲线方程 （分数：2.00）填空项 1:_24.设 A 为 3 阶矩阵， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：5，分数：10.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_
6、26.设 （分数：2.00）_27.证明 （分数：2.00）_28.计算： （分数：2.00）_29.设 A 是 n 阶可逆矩阵，且 A 与 A 一 1 的元素都是整数，证明：A=1（分数：2.00）_考研数学二（行列式）-试卷 1 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 1 , 2 ， 1 ， 2 ， 都是 3 维列向量，且行列式 1 ， 1 ，= 1 ， 2 ，= 2 ， 1 ，= 2 ， 2 ，=3，那么一 2， 1 + 2 ， 1 +2
7、 2 =( )（分数：2.00）A.一 18B.一 36 C.64D.一 96解析：解析：本题考查行列式的性质利用性质 1 ， 2 ， 1 + 2 = 1 ， 2 ， 1 + 1 ， 2 ， 2 和k 1 ， 2 ， 3 =k 1 , 2 , 3 则有一 2， 1 + 2 ， 1 +2 2 =一 2， 1 ， 1 +2 2 +一 2， 2 ， 1 +2 2 =一2， 1 ， 1 +一 2， 1 ,2 2 +一 2， 2 ， 1 +一 2， 2 ，2 2 =一 2 1 ， 1 ，一 4 1 ， 2 ，一 2 2 ， 1 ，一 4 2 ， 2 ，=(一 2424)3=一 123=一 36所以应选
8、B3.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（分数：2.00）A.0 B.a 2 C.一 a 2D.na 2 解析：解析：按这一列展开，D=a 1j A 1j +a 1j A 1j +a 2nj A 2nj =aA 1j +aA 2j +aA 2nj ，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为一 a，从而行列式的值为零所以应选 A4.设 A 是 3 阶矩阵，其中 a 11 0，A ij =a ij ，i=1，2，3，j=1，2，3，则2A T =( )（分数：2.00）A.0B.2C.4D.8 解析：解析：2A 33 T =2 3 A T =
9、8A，且由已知 5.4 阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 一 b 1 b 2 b 3 b 4 B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4 C.(a 1 a 2 一 b 1 b 2 )(a 3 a 4 一 b 3 b 4 )D.(a 2 a 3 一 b 2 b 3 )(a 1 a 4 一 b 1 b 4 ) 解析：解析：根据行列式的按 k 行(列)展开法则，将此行列式第 2、3 行(列)展开，得6.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn，必有行列式AB0B.当 mn，必有行列式AB=0 C.当 n
10、m，必有行列式AB0D.当 nm，必有行列式AB=0解析：解析：因为 AB 是 m 阶方阵，且 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n，所以当 mn 时，必有 r(AB)m，从而AB=0，所以应选 B7.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m， 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 4 阶行列式 1 ， 2 ， 3 ， 1 +7. 2 等于( )（分数：2.00）A.m+nB.一(m+n)C.nm D.m 一 n解析：解析：由行列式的性质：互换两行(列)，行列式变号，得 3 ， 2 ， 1 ，( 1 + 2 )=
11、3 ， 2 ， 1 ， 1 + 3 ， 2 ， 1 ， 2 =一 1 , 2 , 3 ， 1 + 1 ， 2 ， 2 ， 3 =nm所以应选 C8.设 （分数：2.00）A.mB.一 8mC.2mD.一 2m 解析：解析：将行列式A的第一列加到第二列上，再将二、三列互换，之后第一列乘以 2 就可以得到行列式B由行列式的性质知B=一 2A=一 2m9. 1 , 2 , 3 ， 1 ， 2 均为 4 维列向量，A=( 1 , 2 , 3 ， 1 )，B=( 3 ， 1 ， 2 ， 2 )，且A=1，B=2，则A+B=( )（分数：2.00）A.9B.6 C.3D.1解析：解析：由矩阵加法公式，得
12、A+B= 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 ，结合行列式的性质有A+B= 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 =2( 1 + 2 + 3 )， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 =2 1 + 2 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 =2 1 + 2 + 3 ，一 3 ，一 1 ， 1 + 1 =2 2 ，一 3 ，一 1 ， 1 + 2 =2 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 =2(A+B)=610.设矩阵 是满秩的，则直线 （分数：2.00）A.相交于一点 B.重合C.平行但不重合D.异面解析：解析：记 s 1
13、 =(a 1 a 2 ，b 1 一 b 2 ，c 1 c 2 )，s 2 =(a 2 a 3 ，b 2 一 b 3 ，c 2 一 c 3 )，由矩阵 A 满秩的性质，可知 可见 s 1 与 s 2 必不平行，故选项 B、C 错误取 L 1 上的点 M 1 (a 1 ，b 1 ，c 1 )与 L 2 上的点 M 3 (a 3 ，b 3 ，c 3 )，因为两直线异面的充要条件是混合积(s 1 s 2 ).M 1 M 3 0而此处 二、填空题(总题数：14，分数：28.00)11.设 3 阶行列式 D，的第 2 行元素分别为 1、一 2、3，对应的代数余子式分别为一 3、2、1，则 D 3 = 1（
14、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：根据行列式的求解方法，行列式的值等于它的任一行(列)的元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D 3 =a 21 A 21 +a 22 A 22 +A 23 A 23 =1(一 3)+(一 2)2+31=一 412.如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：根据代数余子式的定义可知 ，因此可得 c=1所以13.如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：采用矩阵相乘的方法，14.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2(x
15、3 +y 3 )）解析：解析：将后两列加到第一列上15.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：140）解析：解析：因为 A 是一个对称矩阵，所以 因此 16.已知 3 阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：结合行列式的性质：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外17.四阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 15）解析：解析：利用行列式的性质：把行列式某一行(列)的各元素乘以同一数后，然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变；上(下)三角形行列式的运算，对已知行列式作变换
16、，则18.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2(n 一 2)!）解析：解析：运用行列式的性质把第 2 行所有元素乘以一 1 加到其他各行所对应的元素上，再将第 1 行所有元素乘以 2 加到第 2 行相应的元素上，可得19.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：120）解析：解析：利用行列式的性质和范德蒙德公式，将行列式第四行加到第一行上后，就可以提出公因子10，然后将第四行逐行换至第二行，即20.已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的 3 阶矩阵，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根
17、据行列式按行(列)展开法则，得21.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6x 2）解析：解析：22.方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 , 2 , 3 ，一( 1 + 2 + 3 )）解析：解析：由观察可知，x 1 = 1 时，1、2 行对应元素相等，A=0；x 2 = 2 时，2、3 行对应元素相等，A=0；x 3 = 3 时，3、4 行对应元素相等，A=0又由行列式的每行元素和为 x+a 1 +a 2 +a 3 ，将 2、3、4 列各元素加到第 l 列相应元素上去，且提取公因式，得 23.在 xOy 平面上，平面曲线方程 （分数：2.
18、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2，0)，(3，0)）解析：解析：曲线 与 x 轴(即 y=0)的交点为方程组 的解，行列式 为范德蒙德行列式，即有24.设 A 为 3 阶矩阵， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 16）解析：解析：由于 ，则 A 可逆根据逆矩阵和伴随矩阵的性质，得三、解答题(总题数：5，分数：10.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：消元法 )解析：27.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可利用递推法证明 )解析：28.计算： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该行列式只有两条对角线上有元素，其余均为 0，可以按照其中一行展开，找出递推关系式 )解析：29.设 A 是 n 阶可逆矩阵，且 A 与 A 一 1 的元素都是整数，证明：A=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 AA 一 1 =E，则AA 一 1 =1因为 A 的元素都是整数，所以A必是整数,同理可得，A 一 1 亦必是整数又由于两个整数A和A 一 1 相乘为 1，故A和A 一 1 只能同时取值为1)解析：
