1、考研数学三（行列式）-试卷 1 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 （分数：2.00）A.30mB.-15mC.6mD.-6m3.设 A 是 n 阶矩阵，则A * A= （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) * =（分数：2.00）A.2 n A * B.2 n-1 A * C.D.5.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b，若 C= （分数：2.00）A.-3abB.3mabC.(-1)
2、mn 3 m abD.(-1) (m+1)n 3 m ab6.x=-2 是 （分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件二、填空题(总题数：12，分数：24.00)7.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则4A -1 -E= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.A 是 3 阶矩阵，且 A-E，A-2E，2A+E 均不可逆，则A= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.已知 A 与 B 相似，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_10.已知 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 D= （分数：2.
3、00）填空项 1:_12.已知 D= （分数：2.00）填空项 1:_13.设齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_14.若 （分数：2.00）填空项 1:_15.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 ， 1 ， 2 ， 3 都是 4 维列向量，且A=， 1 ， 2 ， 3 =4，B=，2 1 ，3 2 ， 3 =21，则A+B= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知 D n = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：
4、2.00）_20.设 A 是 n 阶反对称矩阵，若 A 可逆，则 n 必是偶数（分数：2.00）_21.设 A 2 =A，AE(单位矩阵)，证明：A=0（分数：2.00）_22.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nlm 矩阵，若 mn，证明：AB=0（分数：2.00）_23.已知 A 是 2n+1 阶正交矩阵，即 AA T =A T A=E，证明：E-A 2 =0（分数：2.00）_24.设 A= （分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶矩阵，如对任何 n 维向量 b 方程组 Ax=b 总有解，证明方程组 A * x=b 必有唯一解（分数：2.00）_26.已知 是 n 维列向量，且 T =
5、1，设 A=E- T ，证明：A=0（分数：2.00）_27.设 A 是 n 阶矩阵，证明存在非 0 的 n 阶矩阵 B 使 AB=0 的充分必要条件是A=0（分数：2.00）_28.设 A 是 n 阶可逆矩阵，且 A 与 A -1 的元素都是整数，证明：A=1（分数：2.00）_考研数学三（行列式）-试卷 1 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 （分数：2.00）A.30mB.-15mC.6mD.-6m 解析：解析：3.设 A 是 n 阶矩阵
6、，则A * A= （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为A * 是一个数，由kA=k n A及A * =A n-1 有 A * A=A * n A=(A n-1 ) n A= 4.设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) * =（分数：2.00）A.2 n A * B.2 n-1 A * C. D.解析：解析：(2A) * =2A n-1 =(2 n A) n-1 =2 n(n-1) A n-1 =2 n(n-1) A * 或利用(kA) * =k n-1 A * ，那么 (2A) * =2 n-1 A * =(2 n-1 ) n A * = 5.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶
7、矩阵，且A=a，B=b，若 C= （分数：2.00）A.-3abB.3mabC.(-1) mn 3 m abD.(-1) (m+1)n 3 m ab 解析：解析：用拉普拉斯展开式有 C= 6.x=-2 是 （分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件解析：解析：对于范德蒙行列式 D=二、填空题(总题数：12，分数：24.00)7.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则4A -1 -E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：由已知条件，A -1 的特征值为 8.A 是 3
8、 阶矩阵，且 A-E，A-2E，2A+E 均不可逆，则A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：因为 A-E，A-2E，2A+E 不可逆，则有 A-E=A-2E=2A+E=0 由E-A=0 知 是矩阵 A 的特征值，所以 1，2， 是 A 的 3 个特征值据(114)得 A=1.2.9.已知 A 与 B 相似，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：由于 A-B，故存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B，那么 P -1 (A+kE)P=P -1 AP+P -1 (kE)P=B+kE 所以 A+kEB+kE从
9、而A+kE=B+kE 于是 A-E=B-E= 10.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12，15，18）解析：解析：11.已知 D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，-1(二重根)）解析：解析：将第 3 列加至第 1 列，得12.已知 D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1-a，a+4，a-3）解析：解析：将第 3 行的-1 倍加至第 1 行，有 13.设齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a1 且 a-4）解析：解析：n 个方程 n 个未知数的齐次方程组 Ax=0 只有零解
10、A0而14.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：按代数余子式定义15.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：利用公式“r(AB)r(B)及 A0，则 r(A)1”，易见本题中 r(a)=1，所以A=0或作矩阵乘法 A=16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-4）解析：解析：用kA=k n A及A -1 = 17.设 ， 1 ， 2 ， 3 都是 4 维列向量，且A=， 1 ， 2 ， 3 =4，B=，2 1 ，3 2 ， 3 =21，则A+B= 1（分数：2.00）填空项 1:
11、_ （正确答案：正确答案：180）解析：解析：因 A+B=(+，3 1 ，4 2 ，2 3 )，故 A+B=+，3 1 ，4 2 ，2 3 =24， 1 ， 2 ， 3 +24， 1 ， 2 ， 3 =24A+4B=18018.已知 D n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：三、解答题(总题数：10，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设 A 是 n 阶反对称矩阵，若 A 可逆，则 n 必是偶数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是反对称矩阵，即 A T =-A，那么A=
12、A T =-A=(-1) n A 如果 n 是奇数，必有A=-A，即A=0，与 A 可逆相矛盾，所以 n 必是偶数)解析：21.设 A 2 =A，AE(单位矩阵)，证明：A=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如A0，则 A 可逆，那么 A=A -1 A 2 =A -1 A=E与已知条件 AE 矛盾)解析：22.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nlm 矩阵，若 mn，证明：AB=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于齐次线性方程组：()ABx=0， ()Bx=0，由于()的解必是()的解，而当 mn 时，方程组()必有非零解因此，方程组()必有非零解，所以，系数行列式AB=0
13、)解析：23.已知 A 是 2n+1 阶正交矩阵，即 AA T =A T A=E，证明：E-A 2 =0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由行列式乘法公式(110)，得A 2 =A.A T =AA T =E=1 ()如A=1，那么 E-A=AA T -A=A(A T -E T )=A.A-E=-(E-A) =(-1) 2n+1 E-A=-E-A， 从而E-A=0 ()如A=-1，那么可由 E+A=AA T +A=A(A T +E T )=A.A+E=-E+A， 得到E+A=0又因E-A 2 =(E-A)(E+A)=E-A.E+A， 所以不论A是+1 或-1，总有E-A 2 =0)解析：
14、24.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1，0，0，0) T)解析：解析：因为A是范德蒙行列式，由 a i a j 知 由克莱姆法则知方程组 A T x=B 有唯一解对于 25.设 A 是 n 阶矩阵，如对任何 n 维向量 b 方程组 Ax=b 总有解，证明方程组 A * x=b 必有唯一解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=( 1 ， 2 ， n )，因为对任一个 n 维向量 b，方程组 x 1 1 +x 2 2 +x n n =b 总有解，那么 1 ， 2 ， n 可以表示任一个 n 维向量因此， 1 ， 2 ， n 可以表示 n 维单位向量 1 =(1，
15、0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， n =(0，0，0，1) T 从而向量组 1 ， 2 ， n 与 1 ， 2 ， n 等价，所以秩 r( 1 ， 2 ， n )=n，即有A0于是A * =A n-1 0由克莱姆法则可知 A * x=b 有唯一解)解析：26.已知 是 n 维列向量，且 T =1，设 A=E- T ，证明：A=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A=(E- T )=- T =-( T )=-0， 所以 是齐次方程组 Ax=0 的非 0 解故A=0 注意， 是 n1 矩阵，因而 T 是 n 阶矩阵，而 T 是11 矩阵是一个数两者不要混淆)解析
16、：27.设 A 是 n 阶矩阵，证明存在非 0 的 n 阶矩阵 B 使 AB=0 的充分必要条件是A=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性对零矩阵及矩阵 B 按列分块，设 B=( 1 ， 2 ， n )，那么 AB=A( 1 ， 2 ， n )=(A 1 ，A 2 ，A n )=(0，0，0)=0 于是 A i =0(j=1，2，n)，即 j 是齐次方程组 Ax=0 的解 由 B0，知 Ax=0 有非 0 解故A=0 充分性因为A=0，所以齐次线性方程组 Ax=0 有非 0 解设 是 Ax=0 的一个非零解，那么，令B=(，0，0，0)，则 B0而 AB=0)解析：28.设 A 是 n 阶可逆矩阵，且 A 与 A -1 的元素都是整数，证明：A=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AA -1 =E，有AA -1 =1因为 A 的元素都是整数，按行列式定义A是不同行不同列元素乘积的代数和，所以A必是整数同理由 A -1 的元素都是整数而知A -1 必是整数因为两个整数A和A -1 相乘为 1，所以A与A -1 只能取值为1)解析：
