1、考研数学三（行列式）-试卷 2 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.方程 f(x)= （分数：2.00）A.1B.2C.3D.43.设 A 为 n 阶矩阵，对矩阵 A 作若干次初等变换得到矩阵 B，那么必有（分数：2.00）A.A=BB.如A=0，则B=0C.ABD.如A0，则B04.设 A 是 n 阶矩阵，且A=0，则（分数：2.00）A.A 中必有两行元素对应成比例B.A 中任一行向量是其余各行向量的线性组合C.A 中必有一列向量可由其余的列向量线性
2、表出D.方程组 Ax=b 必有无穷多解二、填空题(总题数：8，分数：16.00)5.行列式 D= （分数：2.00）填空项 1:_6.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_7.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_8.已知 1 ， 2 ， 3 ， 都是 4 维列向量，且 1 ， 2 ， 3 ，=a，+， 3 ， 2 ， 1 =b，则2， 1 ， 2 ， 3 = 1.（分数：2.00）填空项 1:_9.已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的 3 阶矩阵，则 D= （分数：2.00）填空项 1:_10.已知 A 为 3 阶矩阵，且A=2，那么(2A) -1 -A
3、* = 1.（分数：2.00）填空项 1:_11.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 1 ， 2 ， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +4 3 ， 1 +3 2 +9 3 )，如果A=1，那么B= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.计算行列式的值： （分数：2.00）_15.设 A= （分数：2.00）_16.计算 （分数：2.00）_17.已知 A= （分数：2.00）_18
4、.已知A= （分数：2.00）_19.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A=2，B=-3，求()2A * B -1 ； ()2A * B T （分数：2.00）_20.已知 a 23 a 31 a ij a 64 a 56 a 15 是 6 阶行列式中的一项，试确定 i，j 的值及此项所带符号（分数：2.00）_21.已知 f(x)= （分数：2.00）_22.计算行列式 D= （分数：2.00）_23.计算行列式 D 4 = （分数：2.00）_24.计算行列式 D n = （分数：2.00）_25.计算行列式A= （分数：2.00）_26.计算行列式A= （分数：2.00）_27.证明 D=
5、（分数：2.00）_28.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）_考研数学三（行列式）-试卷 2 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.方程 f(x)= （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：问方程 f(x)=0 有几个根，也就是问 f(x)是 x 的几次多项式为此应先对 f(x)作恒等变形将第 1 列的-1 倍分别加至第 2，3，4 列得 再将第 2 列加至第 4 列，行列式的右上角为 O可用拉普拉斯展开式(16)，即3.设 A
6、为 n 阶矩阵，对矩阵 A 作若干次初等变换得到矩阵 B，那么必有（分数：2.00）A.A=BB.如A=0，则B=0 C.ABD.如A0，则B0解析：解析：经初等变换矩阵的秩不变由 故(B)正确 若 A= ，可知(A)、(D)均不正确 若 A=4.设 A 是 n 阶矩阵，且A=0，则（分数：2.00）A.A 中必有两行元素对应成比例B.A 中任一行向量是其余各行向量的线性组合C.A 中必有一列向量可由其余的列向量线性表出 D.方程组 Ax=b 必有无穷多解解析：解析：(A)是充分条件例如 A= ，虽任两行元素都不成比例，但A=0；(D)方程组可能无解例如二、填空题(总题数：8，分数：16.00
7、)5.行列式 D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：从第 1 行开始，依次把每行加至下一行，得6.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2.(n-2)!）解析：解析：把第 2 行的-1 倍分别加至其余各行，再把第 1 行的 2 倍加至第 2 行，得7.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：2A=2 n A对于行列式A，先把每行都加至第一行并提取公因数 n-1，然后再把第一行的-1 倍分别加至其它各行，由(15)有 8.已知 1 ， 2 ， 3 ， 都是 4
8、维列向量，且 1 ， 2 ， 3 ，=a，+， 3 ， 2 ， 1 =b，则2， 1 ， 2 ， 3 = 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(a-b)）解析：解析：+， 3 ， 2 ， 1 中第一列是两个数的和，用性质 3 可将其拆成两个行列式之和，再利用对换，提公因式等行列式性质作恒等变形，就有 +， 3 ， 2 ， 1 =， 3 ， 2 ， 1 +， 3 ， 2 ， 1 =b， ， 1 ， 2 ， 1 = 1 ， 2 ， 1 ，=a，又， 1 ， 2 ， 1 =-， 1 ， 2 ， 3 ， 于是 2， 1 ， 2 ， 3 =2(a-b).9.已知 A，B，C 都
9、是行列式值为 2 的 3 阶矩阵，则 D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由公式(16)，(19)，(112)等，有10.已知 A 为 3 阶矩阵，且A=2，那么(2A) -1 -A * = 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于(2A) -1 = ，又 A * =AA -1 ，则 11.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于A= =3，又 AA * =A * A=AE，则对矩阵方程右乘 A 得 3AB-6B=A，即 3(A-2E)B=A 两端取行列式有3(A
10、-2E)B=A=3，即 27A-2EB=3 因为 A-2E= 12.设 1 ， 2 ， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +4 3 ， 1 +3 2 +9 3 )，如果A=1，那么B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：利用行列式的性质恒等变形有 B= 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +4 3 ， 1 +3 2 +9 3 = 1 + 2 + 3 ， 2 +3 3 ， 2 +5 3 (先 3 列-2 列，再 2 列-1 列) = 1 + 2 + 1 ， 2 +3 3 ，2 3
11、 (3 列-2 列) =2 1 + 2 + 3 ， 2 +3 3 ， 3 (3 列提公因式 2) =2 1 + 2 + 3 ， 2 ， 3 (2 列+3 列的-3 倍) =2 1 ， 2 ， 3 =2A=2三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.计算行列式的值： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把第 1 行的-4 倍，-7 倍分别加至第 2 行及第 3 行，即有 )解
12、析：17.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先把第 2 列加至第 3 列，再把第 3 行的-1 倍加至第 2 行，然后按第 3 列展开，即)解析：18.已知A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()虽然我们可以先分别算出每一个代数余子式，然后再求和，但这往往是烦琐的对于代数余子式的性质应会灵活运用如能观察到在本题中 a 11 =1，a 21 =-1，a 31 =1，a 41 =-1，那么就知 A 12 -A 22 +A 32 -A 42 =a 11 A 12 +a 21 A 22 +a 31 A 32 +a 41 A 42 =0 ()由于 A ij 与 a ij
13、无关，现在可构造一个新的行列式(将行列式A中第 4 行元素置换成代数余子式 A 4j2 的系数)，即 由于A，B仅第 4 行元素不同，因此新、旧这两个行列式的代数余子式 A 41 ，A 42 ，A 43 ，A 44 是完全一样的，而对B按第 4 行展开，就有 B=1.A 41 +1.A 42 +1.A 43 +1.A 44 =A 41 +A 42 +A 43 +A 44 可见，要解()只需算出行列式B的值为此 )解析：19.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A=2，B=-3，求()2A * B -1 ； ()2A * B T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()2A * B 2-1 =2
14、 n A * .B -1 =2 n A n-1 . B -1 = ()2A * B T =2A * n .B T =(2 n A n-1 ) n B= )解析：20.已知 a 23 a 31 a ij a 64 a 56 a 15 是 6 阶行列式中的一项，试确定 i，j 的值及此项所带符号（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和因此，行指标 2，3，i，6，5，1 应取自 1 至 6 的排列，故 i=4同理可知 3，1，j，4，6，5 中 j=2 关于此项所带的符号，可有两种思路： (1)将该项按行的自然顺序排列，有 a 23 a 31 a
15、 42 a 64 a 56 a 15 =a 15 a 23 a 31 a 42 a 56 a 64 后者列的逆序数为 r(5，3，1，2，6，4)=4+2+0+0+1=7，所以该项应带负号 (2)直接计算行的逆序数与列的逆序数，有 (2，3，4，6，5，1)+(3，1，2，4，6，5)=6+3=9 亦知此项应带负号)解析：21.已知 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(0)= 又知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，故 )解析：解析：按行列式定义易知 f(x)是 x 的多项式，显然 f(x)连续且可导根据罗尔定理，我们只需证明 f(0)=f(1)22.
16、计算行列式 D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：第 i 行提出 a i ，再把第 i 行的-1 倍加至第 1 行(i=2，3，4)，得 )解析：23.计算行列式 D 4 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把各列均加至第 1 列，并按第 1 列展开，得到递推公式 )解析：24.计算行列式 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按第 n 行展开，有 )解析：25.计算行列式A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先互换第 2，3 两行，再对调第 2，3 两列，就可用拉普拉斯展开式(16)，即 )解析：26.计算行列式A= （分数：2.00）_正确答案
17、：(正确答案：由于 AA T =(a 2 +b 2 +c 2 +dv)E，故用行列式乘法公式(110)，得 A 2 =A.A T =AA 2 =(a 2 +b 2 +c 2 +d 2 ) 4 因A中，a 4 系数是+1，所以A=(a 2 +b 2 +c 2 +d 2 ) 2 )解析：27.证明 D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造范德蒙行列式 一方面，对行列式 D 1 按第 4 列展开，有 D 1 =1.A 14 +yA 24 +y 2 A 34 +y 3 A 34 ， 而 y 2 的系数是 另一方面，对行列式 D 1 用公式(113)，有 在这里，易见 y 2 的系数是 )解
18、析：解析：本题的行列式与范德蒙行列式很接近，它缺少的是字母的平方项，可以用加边的方法构成一个 4 阶的范德蒙行列式，然后分析这两个行列式之间的联系，进而可推导出所需要的结论28.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(用数学归纳法) 记 D n =A= 当 n=1 时，D 1 =2n，命题 D n =(n+1)a n 正确 当 n=2 时，D 2 = =3a 2 ，命题 D n =(n+1)a n 正确 设 nk 时，命题 D n =(n+1) n 正确，对 D k 按第一列展开得 =2aD k-1 -a 2 D k-2 ， 按归纳假设 D k-1 =ka k-1 ，D k-2 =(k-1)a k-2 ，从而 D k =2a(ka k-1 )-a 2 (k-1)a k-2 =(k+1)a k 所以 )解析：
