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[考研类试卷]考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编5及答案与解析.doc

1、考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 若曲线 y=x2+ ax+b 和 2y=一 1+xy3 在点(1,一 1)处相切,其中 a,b 是常数,则(A)a=0 ,b=一 2(B) a=1,b=一 3(C) a=一 3,b=1(D)a= 一 1,b=一 12 设函数 f(x)在(一,+)内有定义,x 00 是函数 f(x)的极大点,则(A)x 0 必是 f(x)的驻点(B)一 x0 必是一 f(一 x)的极小点(C)一 x0 必是一 f(x)的极小点(D)对一切 x 都有 f(x)f (x0)3 曲线 y=(A)没

2、有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线也有铅直渐近线4 当 x0 时,x 一 sinx 是 x2 的(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但非等价无穷小5 设 f(x)= 则在点 x=1 处函数 f(x)(A)不连续(B)连续,但不可导(C)可导,但导数不连续(D)可导,且导数连续6 设常数 k0,函数 f(x)=lnx 一 +k 在(0,+)内零点个数为(A)3(B) 2(C) 1(D)07 若 f(x)=一 f(一 x),在(0,+) 内 f(x)0,f“(x) 0,则 f(x)在(一,0)内(A)f(x)0,f“(x)0(B) f(x)0

3、,f“(x)0(C) f(x)0,f“(x)0(D)f(x)0,f“(x)08 设 =2,则(A)a=1 ,b =(B) a=0,b=一 2(C) a=0,b=(D)a=1 ,b=一 29 设 f(x)= 则 f(x)在 x=1 处的(A)左、右导数都存在(B)左导数存在,但右导数不存在(C)左导数不存在,但右导数存在(D)左、右导数都不存在10 设 y=f(x)是满足微分方程 y“+y一 esinx=0 的解,且 f(x0)=0,则 f(x)在(A)x 0 某邻域内单调增加(B) x0 某邻域内单调减少(C) x0 处取得极小值(D)x 0 处取得极大值11 曲线 的渐近线有(A)1 条(B

4、) 2 条(C) 3 条(D)4 条二、填空题12 设 y=ln(l+3 一 x),则 dy=_13 曲线 y= 的上凸区间是=_ 14 设 ,其中 f 可导,且 f(0)0,则 |t=0=_15 函数 y=x+2cosx 在区间0 , 上的最大值为_16 =_17 函数 y=y(x)由方程 sin(x2+y2)+ex 一 xy 2=0 所确定,则 =_18 设函数 y=y(x)由参数方程 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 20 21 利用导数证明:当 x1 时,有不等式22 如图 2,1 所示,A 和 D 分别是曲线 y=ex 和 y=e 一 2x 上的点,AB 和

5、 DC 均垂直于 x 轴,且|AB|:|DC|=2:1 ,|AB|1求点 B 和 C 的横坐标,使梯形 ABCD 的面积最大23 24 设函数 y=y(x)由方程 y 一 xe y=1 所确定,求 |t=0 的值25 已知 f“(x)0,f(0)=0 ,试证:对任意的两正数 x1 和 x2,恒有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)成立26 设 y=sinf(x2),其中 f 具有二阶导数,求27 作半径为 r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高 h 为何值时,其体积 V 最小,并求出该最小值28 设 x0,常数 ae ,证明: (a+x)aa a+x29 设 y=f(x+y),其中 f 具有

6、二阶导数,且其一阶导数不等于 1,求30 设当 x0 时,方程 kx+ =1 有且仅有一个解,求 k 的取值范围31 设 y= (1)求函数的增减区间及极值; (2)求函数图形的凹凸区间及拐点;(3)求其渐近线;(4) 作出其图形考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于曲线 y=x2+ ax+b 和 2y=一 1+xy3 在点(1 ,一 1)处相切,则在点(1,一 1)处两曲线切线斜率相等,且两曲线同时过点(1,一 1) y=2x+ay| x=1=2+a 2y=y3+ 3xy2 y

7、,y| x=1=1 则 2+a=1,a=一 1 又 一 1=1+a+b=1一 1+b=b,b= 一 1 所以应选(D) 2 【正确答案】 B【试题解析】 排除法f(x)=一|x 一 x0|,显然 f(x)在 x0 取极大值,但 f(x0)不存在,则 x0 不是 f(x)的驻点,从而(A) 不对又一 f(x) =|xx0|,显然一 f(x)只有唯一极小值点 x=x0,又 x00 则 x0一 x 0,从而一 x0 不是一 f(x)的极小值,则(C) 也不对(D)是明显不对,由于极值是一个局部性质,不能保证对一切 x 有 f(x)f(x0),而只能保证在 x0 某邻域内有 f(x)f(x0),所以应

8、选(B)直接法由于 f(x)在 x0 取极大值,则 0,当 x0 一 xx 0+8 时,f(x 0)f(x),前面两不等式两边同乘一 1得,即当一 x0 一 一 x一 x0+8 时,一 f(x 0)一 f(x)也就是,当一 x0 一 一x一 x0+ 时,一 f一(一 x0)一 f一(一 x)即一 f(一 x)在 x0 取极小值3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 =1,则原曲线有水平渐近线 y=1,又=,则原曲线有垂直渐近线 x=0,所以应选 (D)4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 则当 x0 时,x 一 sinx,是 x2 的高阶无穷小5 【正确答案】 A【试题解析】 即不存在,则

9、f(x)在 x=1 处不连续6 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=lnx 一 +k 可知,f(x)= 令 f(x)=0 得 x=e,且当x(0,e)时,f(x)0,则 f(x)严格单调增;而当 x(e,+)时,f(x)0,则 f(x)严格单调减,又 f(e)=k0,而=一,则 f(x)在(0,e)和(e,+) 分别有唯一零点,故 f(x)=lnx 一 +k 在(0,+)内零点个数为 27 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)=一 f(一 x)知 f(一 x)=一 f(x),即 f(x)的图形关于原点对称,从而由在(0 ,+)内 f(x)0,f“(x)0 可知,在(一,0)内 f

10、(x)0,f“(x)0,因此应选(C)8 【正确答案】 A【试题解析】 由上式右端可知 a=1,否则原式极限为无穷9 【正确答案】 B【试题解析】 则 f(x)在 x=1 不右连续,从而 f+(1)不存在,又 x3 在 x=1 可导,而 x1 时 f (x)= x3,则 f 一 (1)存在,故应选(B)10 【正确答案】 C【试题解析】 由于 y=f(x)满足方程 y“+y一 esinx=0,则 f“(x)+f(x)一 esinx=0 令 x=x0,得 f“(x0)+f(x0) 一 =0 即 f(x 0)= 0 又 f(x0)=0 则 f(x)在 x0 处取极小值11 【正确答案】 B【试题解

11、析】 由 可知原曲线有水平渐近线y= 又 则原曲线有垂直渐近线 x=0,虽然原题中当 x=1,x= 一 2 时分母为零,但 都不是,则原曲线的渐近线有两条二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 (2x2 一 1)令 y“=0得 x= 时,y“0,则曲线 y= 上凸14 【正确答案】 3【试题解析】 15 【正确答案】 【试题解析】 y=1 一 2sinx,令 y=0 得 x= y“=一 2cosx, 0,则 y=x+2cosx 在 x= 取得极大值,又在 (0, )上极值点唯一,则该极大值为最大值,最大值为16 【正确答案】 0【试题解析】 17 【正确答

12、案】 【试题解析】 等式 sin(x2+ y2) +ey 一 xy 2=0 两边对 x 求导得 2cos(x2+ y2)(x+ yy)+e2一 y2 一 2xyy=0 则 18 【正确答案】 (6t+5)(t+1)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 事实上要证(1+x)ln(1+x)xlnx 是很容易的,由于 lnx 单调增,则ln(1+x)lnx,又 1+xx,故(1+x)ln(1+x)xlnx22 【正确答案】 设 B 和 C 的横坐标分别为 x1 和 x,则 ex1=2e 一 2x 得 x1=ln2

13、一 2xBC=x 一 x1 一 3x 一 ln2 (x0)梯形 ABCD 的面积(3 一 6x+21n2)e 一 2x 令 S=0,得且当 x 时,S0;当 x 时,S0,所以 S 在 x= 取极大值,又驻点唯一,故 x= 是最大值点,当 x= 一 1 时,梯形 ABCD 的面积最大23 【正确答案】 24 【正确答案】 方程 y 一 xey=1 两边对 x 求导得 y 一 ey 一 xe yy=0,由原式知 x=0时,y=1 ,将 x=0,y=1 代入得 y| x=0=e,等式 y一 ey 一 xe yy =0 两边对 x 求导得 y“一 e yy 一 e yy 一 x(e yy)=0 将

14、x=0,y=1 ,y(0)=e 代入上式得 y“(0)=2e225 【正确答案】 不妨设 x1x2,由拉格朗日中值定理可知 f(x 1)一 f(0)=f(c 1)x1 (0c 1x 1) f(x1+x2)一 f(x2)=f(c2)x1 (x2c 2x 1+x2) 又 f“(x)0,则 f(x)单调减少,故 f(c2)f(c 1),而 x10 则 f(x 1+x2) 一 f(x 2)f(x 1)一 f(0) 又 f(0)=0,则 f(x 1+x2)f(x 1)+f(x2) 令 F(x)=f(x+x2) 一 f(x) 则 F(x)=f(x+ x2) 一 f(x)=x 2f“()0 (xx+x 2)

15、 所以 F(x)单调减少,从而 F(x1)F(0) 即 f(x 1+x2)一 f(x1)f(x2) 一 f(0)=f(x2) 故 f(x 1+x2)f(x1)+f(x2)26 【正确答案】 =cosf(x2) f (x2)2x=2xf(x 2) cosf(x2) =2f(x2)cosf(x2)+4x2f“(x2)cosf(x2)一 4x2f(x2)2sinf(x2)27 【正确答案】 设圆锥底面圆半径为 R,如图 26 所示SC=h,OC=OD=r,BC=R令 V(h)=0 得 h=4r,h=0 舍去由于圆锥的最小体积一定存在,且 h=4r 是 V(h)在(2r,+)内的唯一驻点,所以当 h=

16、 4r 时 V 取最小值28 【正确答案】 由于 y=lnx 为单调增函数,所以欲证(a+x) aa a+x,只需证 aln(a+x)(a+x)lna令 f(x)=(a+x)lna 一 aln(a+x)f(x)=lna 一 ,由于 ae,则 lna1,又 x0,则 1 故 f(x)0,所以函数 f(x)在 0,+)上单调增加,而 f(0)=0所以 f(x)0(0x+)即 aln(a+x)(a+x)lna, (a+x) aa a+x29 【正确答案】 等式 y= f(x+y)两边对 x 求导,得30 【正确答案】 设 f(x)=kx+ 1)当 k0 时,f(x)0,故 f(x)递减,又 当 k0

17、 时,当 k0 时,原方程在(0,+)内有且仅有一个解2)当 k0 时,令 f(x)=0,得 x= 且为极小值点,又f“(x)0,则 f(x)单增,而 =0,则在 上 f(x)0,f(x)单调减,在 上 f(x)0,f(x)单调增,又 f(x)=+, f(x)=+,所以当且仅当 =0 时,原方程有且仅有一个解即时,原方程有且仅有一个解由上式解得 k=而当 k 时,原方程或无解,或有两个解综上所述,当 k=或 k0 时,方程有且仅有一个解31 【正确答案】 定义域(一,0)(0,+)y=1 一 ,令 y=0 得驻点 x=2,不可导点 x=0,在(一,0)和(2 ,+)上 y0,则函数单调增,在 (0,2)上 y0,函数单调减,在 x=2 取得极小值 y=3y= 0,则在区间 (一 ,0)和(0 ,+) 上都是凹的,无拐点,又 =+,则有垂直渐近线 x=0则有斜渐近线 y=x令 y=0 得 x= 函数图形见图 27 所示

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