1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若曲线 y=x2+ ax+b 和 2y=一 1+xy3 在点(1，一 1)处相切，其中 a，b 是常数，则（A）a=0 ，b=一 2（B） a=1，b=一 3（C） a=一 3，b=1（D）a= 一 1，b=一 12 设函数 f(x)在(一，+)内有定义，x 00 是函数 f(x)的极大点，则（A）x 0 必是 f(x)的驻点（B）一 x0 必是一 f(一 x)的极小点（C）一 x0 必是一 f(x)的极小点（D）对一切 x 都有 f(x)f (x0)3 曲线 y=（A）没
2、有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线也有铅直渐近线4 当 x0 时，x 一 sinx 是 x2 的（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小5 设 f(x)= 则在点 x=1 处函数 f(x)（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导数不连续（D）可导，且导数连续6 设常数 k0，函数 f(x)=lnx 一 +k 在(0，+)内零点个数为（A）3（B） 2（C） 1（D）07 若 f(x)=一 f(一 x)，在(0，+) 内 f(x)0，f“(x) 0，则 f(x)在(一，0)内（A）f(x)0，f“(x)0（B） f(x)0
3、，f“(x)0（C） f(x)0，f“(x)0（D）f(x)0，f“(x)08 设 =2，则（A）a=1 ，b =（B） a=0，b=一 2（C） a=0，b=（D）a=1 ，b=一 29 设 f(x)= 则 f(x)在 x=1 处的（A）左、右导数都存在（B）左导数存在，但右导数不存在（C）左导数不存在，但右导数存在（D）左、右导数都不存在10 设 y=f(x)是满足微分方程 y“+y一 esinx=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在（A）x 0 某邻域内单调增加（B） x0 某邻域内单调减少（C） x0 处取得极小值（D）x 0 处取得极大值11 曲线 的渐近线有（A）1 条（B
4、） 2 条（C） 3 条（D）4 条二、填空题12 设 y=ln(l+3 一 x)，则 dy=_13 曲线 y= 的上凸区间是=_ 14 设 ，其中 f 可导，且 f(0)0，则 |t=0=_15 函数 y=x+2cosx 在区间0 ， 上的最大值为_16 =_17 函数 y=y(x)由方程 sin(x2+y2)+ex 一 xy 2=0 所确定，则 =_18 设函数 y=y(x)由参数方程 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 20 21 利用导数证明：当 x1 时，有不等式22 如图 2，1 所示，A 和 D 分别是曲线 y=ex 和 y=e 一 2x 上的点，AB 和
5、 DC 均垂直于 x 轴，且|AB|:|DC|=2:1 ，|AB|1求点 B 和 C 的横坐标，使梯形 ABCD 的面积最大23 24 设函数 y=y(x)由方程 y 一 xe y=1 所确定，求 |t=0 的值25 已知 f“(x)0，f(0)=0 ，试证：对任意的两正数 x1 和 x2，恒有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)成立26 设 y=sinf(x2)，其中 f 具有二阶导数，求27 作半径为 r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高 h 为何值时，其体积 V 最小，并求出该最小值28 设 x0，常数 ae ，证明： (a+x)aa a+x29 设 y=f(x+y)，其中 f 具有
6、二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求30 设当 x0 时，方程 kx+ =1 有且仅有一个解，求 k 的取值范围31 设 y= (1)求函数的增减区间及极值； (2)求函数图形的凹凸区间及拐点；(3)求其渐近线；(4) 作出其图形考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于曲线 y=x2+ ax+b 和 2y=一 1+xy3 在点(1 ，一 1)处相切，则在点(1，一 1)处两曲线切线斜率相等，且两曲线同时过点(1，一 1) y=2x+ay| x=1=2+a 2y=y3+ 3xy2 y
7、，y| x=1=1 则 2+a=1，a=一 1 又 一 1=1+a+b=1一 1+b=b，b= 一 1 所以应选(D) 2 【正确答案】 B【试题解析】 排除法f(x)=一|x 一 x0|，显然 f(x)在 x0 取极大值，但 f(x0)不存在，则 x0 不是 f(x)的驻点，从而(A) 不对又一 f(x) =|xx0|，显然一 f(x)只有唯一极小值点 x=x0，又 x00 则 x0一 x 0，从而一 x0 不是一 f(x)的极小值，则(C) 也不对(D)是明显不对，由于极值是一个局部性质，不能保证对一切 x 有 f(x)f(x0)，而只能保证在 x0 某邻域内有 f(x)f(x0)，所以应
8、选(B)直接法由于 f(x)在 x0 取极大值，则 0，当 x0 一 xx 0+8 时，f(x 0)f(x)，前面两不等式两边同乘一 1得，即当一 x0 一 一 x一 x0+8 时，一 f(x 0)一 f(x)也就是，当一 x0 一 一x一 x0+ 时，一 f一(一 x0)一 f一(一 x)即一 f(一 x)在 x0 取极小值3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 =1，则原曲线有水平渐近线 y=1，又=，则原曲线有垂直渐近线 x=0，所以应选 (D)4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 则当 x0 时，x 一 sinx，是 x2 的高阶无穷小5 【正确答案】 A【试题解析】 即不存在，则
9、f(x)在 x=1 处不连续6 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=lnx 一 +k 可知，f(x)= 令 f(x)=0 得 x=e，且当x(0，e)时，f(x)0，则 f(x)严格单调增；而当 x(e，+)时，f(x)0，则 f(x)严格单调减，又 f(e)=k0，而=一，则 f(x)在(0，e)和(e，+) 分别有唯一零点，故 f(x)=lnx 一 +k 在(0，+)内零点个数为 27 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)=一 f(一 x)知 f(一 x)=一 f(x)，即 f(x)的图形关于原点对称，从而由在(0 ，+)内 f(x)0，f“(x)0 可知，在(一，0)内 f
10、(x)0，f“(x)0，因此应选(C)8 【正确答案】 A【试题解析】 由上式右端可知 a=1，否则原式极限为无穷9 【正确答案】 B【试题解析】 则 f(x)在 x=1 不右连续，从而 f+(1)不存在，又 x3 在 x=1 可导，而 x1 时 f (x)= x3，则 f 一 (1)存在，故应选(B)10 【正确答案】 C【试题解析】 由于 y=f(x)满足方程 y“+y一 esinx=0，则 f“(x)+f(x)一 esinx=0 令 x=x0，得 f“(x0)+f(x0) 一 =0 即 f(x 0)= 0 又 f(x0)=0 则 f(x)在 x0 处取极小值11 【正确答案】 B【试题解
11、析】 由 可知原曲线有水平渐近线y= 又 则原曲线有垂直渐近线 x=0，虽然原题中当 x=1，x= 一 2 时分母为零，但 都不是，则原曲线的渐近线有两条二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 (2x2 一 1)令 y“=0得 x= 时，y“0，则曲线 y= 上凸14 【正确答案】 3【试题解析】 15 【正确答案】 【试题解析】 y=1 一 2sinx，令 y=0 得 x= y“=一 2cosx， 0，则 y=x+2cosx 在 x= 取得极大值，又在 (0， )上极值点唯一，则该极大值为最大值，最大值为16 【正确答案】 0【试题解析】 17 【正确答
12、案】 【试题解析】 等式 sin(x2+ y2) +ey 一 xy 2=0 两边对 x 求导得 2cos(x2+ y2)(x+ yy)+e2一 y2 一 2xyy=0 则 18 【正确答案】 (6t+5)(t+1)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 事实上要证(1+x)ln(1+x)xlnx 是很容易的，由于 lnx 单调增，则ln(1+x)lnx，又 1+xx，故(1+x)ln(1+x)xlnx22 【正确答案】 设 B 和 C 的横坐标分别为 x1 和 x，则 ex1=2e 一 2x 得 x1=ln2
13、一 2xBC=x 一 x1 一 3x 一 ln2 (x0)梯形 ABCD 的面积(3 一 6x+21n2)e 一 2x 令 S=0，得且当 x 时，S0；当 x 时，S0，所以 S 在 x= 取极大值，又驻点唯一，故 x= 是最大值点，当 x= 一 1 时，梯形 ABCD 的面积最大23 【正确答案】 24 【正确答案】 方程 y 一 xey=1 两边对 x 求导得 y 一 ey 一 xe yy=0，由原式知 x=0时，y=1 ，将 x=0，y=1 代入得 y| x=0=e，等式 y一 ey 一 xe yy =0 两边对 x 求导得 y“一 e yy 一 e yy 一 x(e yy)=0 将
14、x=0，y=1 ，y(0)=e 代入上式得 y“(0)=2e225 【正确答案】 不妨设 x1x2，由拉格朗日中值定理可知 f(x 1)一 f(0)=f(c 1)x1 (0c 1x 1) f(x1+x2)一 f(x2)=f(c2)x1 (x2c 2x 1+x2) 又 f“(x)0，则 f(x)单调减少，故 f(c2)f(c 1)，而 x10 则 f(x 1+x2) 一 f(x 2)f(x 1)一 f(0) 又 f(0)=0，则 f(x 1+x2)f(x 1)+f(x2) 令 F(x)=f(x+x2) 一 f(x) 则 F(x)=f(x+ x2) 一 f(x)=x 2f“()0 (xx+x 2)
15、 所以 F(x)单调减少，从而 F(x1)F(0) 即 f(x 1+x2)一 f(x1)f(x2) 一 f(0)=f(x2) 故 f(x 1+x2)f(x1)+f(x2)26 【正确答案】 =cosf(x2) f (x2)2x=2xf(x 2) cosf(x2) =2f(x2)cosf(x2)+4x2f“(x2)cosf(x2)一 4x2f(x2)2sinf(x2)27 【正确答案】 设圆锥底面圆半径为 R，如图 26 所示SC=h，OC=OD=r，BC=R令 V(h)=0 得 h=4r，h=0 舍去由于圆锥的最小体积一定存在，且 h=4r 是 V(h)在(2r，+)内的唯一驻点，所以当 h=
16、 4r 时 V 取最小值28 【正确答案】 由于 y=lnx 为单调增函数，所以欲证(a+x) aa a+x，只需证 aln(a+x)(a+x)lna令 f(x)=(a+x)lna 一 aln(a+x)f(x)=lna 一 ，由于 ae，则 lna1，又 x0，则 1 故 f(x)0，所以函数 f(x)在 0，+)上单调增加，而 f(0)=0所以 f(x)0(0x+)即 aln(a+x)(a+x)lna， (a+x) aa a+x29 【正确答案】 等式 y= f(x+y)两边对 x 求导，得30 【正确答案】 设 f(x)=kx+ 1)当 k0 时，f(x)0，故 f(x)递减，又 当 k0
17、 时，当 k0 时，原方程在(0，+)内有且仅有一个解2)当 k0 时，令 f(x)=0，得 x= 且为极小值点，又f“(x)0，则 f(x)单增，而 =0，则在 上 f(x)0，f(x)单调减，在 上 f(x)0，f(x)单调增，又 f(x)=+， f(x)=+，所以当且仅当 =0 时，原方程有且仅有一个解即时，原方程有且仅有一个解由上式解得 k=而当 k 时，原方程或无解，或有两个解综上所述，当 k=或 k0 时，方程有且仅有一个解31 【正确答案】 定义域(一，0)(0，+)y=1 一 ，令 y=0 得驻点 x=2，不可导点 x=0，在(一，0)和(2 ，+)上 y0，则函数单调增，在 (0，2)上 y0，函数单调减，在 x=2 取得极小值 y=3y= 0，则在区间 (一 ，0)和(0 ，+) 上都是凹的，无拐点，又 =+，则有垂直渐近线 x=0则有斜渐近线 y=x令 y=0 得 x= 函数图形见图 27 所示
