1、考研数学二(高等数学)模拟试卷 32 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 f(x)在 x0 处可导,则f(x)在 x0 处( )(A)可导(B)不可导(C)连续但不一定可导(D)不连续2 设 f(x)在a,+)上二阶可导, f(a)0),则 f(x)在(a, +)内的零点个数为( )(A)0 个(B) 1 个(C) 2 个(D)3 个二、填空题3 4 设 在 x=0 处连续,则a=_,b=_5 设 y=y(x)由 yexy+xcosx-1=0 确定,求 dy x=0=_6 7 8 9 10 设 f(x)满足等式 xf(x)-f(x)= ,且 f(1)=
2、4,则 01f(x)dx=_11 设 f(x)连续,则 =_12 微分方程 y-xe-y+ =0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 14 设 ,求 f(x)的间断点并判断其类型15 设 f(x)连续可导,16 设 f(x)在0,2上连续,在 (0,2)内二阶可导,且 =0,又 f(2)=,证明:存在 (0,2),使得 f()+f“()=017 设 0a b,证明:18 求由方程 x2+y2-xy=0 确定的函数在 x0 内的极值,并指出是极大值还是极小值19 设 f(x)在(0,+)内连续且单调减少证明:20 设 f(x)在a,b上连续且单调减少证明:当 00k
3、f(x)dxk01f(x)dx21 设 f(x)Ca,b,在(a ,b)内二阶可导,且 f“(x)0,(x)是区间a,b上的非负连续函数,且 ab(x)dx=1证明: abf(x)(x)dxfabx(x)dx22 设 证明:f(x,y)在点(0,0)处可微,但 在点(0,0) 处不连续23 23 设函数 f(x)满足 xf(x)-2f(x)=-x,且由曲线 y=f(x),x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D 绕 z 轴旋转一周所得旋转体体积最小,求:24 曲线 y=f(x);25 曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积考研数学二(高等数学)模拟试卷 3
4、2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)在 x0 处可导得f(x) 在 x0 处连续,但f(x) 在 x0 处不一定可导,如 f(x)=x 在 x=0 处可导,但f(x) = x在 x=0 处不可导,选(C)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(a)=0,且 f“(x)k(k0),所以 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+,其中 介于 a 与 x 之间而,再由 f(a)0),所以 f(x)0(xa),即f(x)在a,+)单调增加,所以零点是唯一的,选(B)【知识模块】 高等数学
5、部分二、填空题3 【正确答案】 12【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 -1,1【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续,所以 a+4b=3=2b+1,解得 a=-1,b=1【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 -2dx【试题解析】 当 x=0 时,y=1,将 yexy+xcosx-1=0 两边对 x 求导得将 x=0,y=1 代入上式得 =-2,故 dy x=0=-2dx【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块
6、】 高等数学部分9 【正确答案】 4-【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 【试题解析】 所以原方程的通解为【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 f(x)的间断点为 x=k(k=0,1,)及 x=k+ (k=0,1,)因为 ,所以 x=0 为 f(x)的可去间断点;因为,所以 x=k(k=1,2,)为 f(x)的第二类间断点;因为(k=0,1,)为 f
7、(x)的可去间断点【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 由 0xf(x-t)dt x0f(u)(-du)=0xf(u)du【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 由罗尔定理,存在 x0(c, 2) (1,2),使得 f(x0)=0令 (x)=exf(x),则 (1)=(x0)=0,由罗尔定理,存在 (1,x 0) (0,2),使得 ()=0,而 (x)=exf(x)+f“(x)且 ex0,所以f()+f“()=0【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 令 f(x)=lnx,则存在 (a,b),使得 ,其中 0ab,则【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】
8、 高等数学部分19 【正确答案】 1n+1f(x)dx=12f(x)dx+23f(x)dx+ nn+1f(x)dx,当 x1,2时,f(x)f(1),两边积分得 12f(x)dxf(1),同理 23f(x)dxf(2), nn+1f(x)dxf(n),相加得1n+1f(x)dx 当 x1,2时,f(2)f(x) ,两边积分得 f(2)12f(x)dx,同理 f(3)23f(x)dx,f(n) n-1nf(x)dx,相加得 f(2)+f(n) 1nf(x)dx,于是 f(1)+1nf(x)dx【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 0kf(x)dx-k01f(x)dx=0kf(x)dx-k
9、0kf(x)dx+k1f(x)dx=(1-k)0kf(x)dx-kk1f(x)dx=k(1-k)f(1)-f(2) 其中 10,k, 2k,1因为 00kf(x)dx-k01f(x)dx=k(1-k)f(1)-f(2)0,故 0kf(x)dxk01f(x)dx【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 因为 f“(x)0,所以有 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0) 取 x0=abx(x)dx,因为 (x)0,所以 a(x)x(x)b(x),又 ab(x)dx=1,于是有 aabx(x)dx=x0b把x0=abx(x)dx 代入 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)中,再由 (x
10、)0,得 f(x)(x)f(x 0)(x)+f(x0)x(x)-x0(x), 上述不等式两边再在区间a,b上积分,得 abf(x)(x)dxfabx(x)dx【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 因为所以 f(x,y)在点(0,0)处对 x,y 都可偏导,且 fx(0,0)=f y(0,0)=0f(x,y)-f(0 ,0)-f x(0,0)x-fy(0,0)y= 因为 ,所以 f(x,y)在(0,0)处可微当(x ,y)(0,0)时,【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 由 xf(x)-2f(x)= =x+cx2设平面图形D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V,则【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 在原点处的切线方程为 y=x,则【知识模块】 高等数学部分
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