1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 32 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)在 x0 处可导，则f(x)在 x0 处( )（A）可导（B）不可导（C）连续但不一定可导（D）不连续2 设 f(x)在a，+)上二阶可导， f(a)0)，则 f(x)在(a， +)内的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个二、填空题3 4 设 在 x=0 处连续，则a=_，b=_5 设 y=y(x)由 yexy+xcosx-1=0 确定，求 dy x=0=_6 7 8 9 10 设 f(x)满足等式 xf(x)-f(x)= ，且 f(1)=
2、4，则 01f(x)dx=_11 设 f(x)连续，则 =_12 微分方程 y-xe-y+ =0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 14 设 ，求 f(x)的间断点并判断其类型15 设 f(x)连续可导，16 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 =0，又 f(2)=，证明：存在 (0，2)，使得 f()+f“()=017 设 0a b，证明：18 求由方程 x2+y2-xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值19 设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明：20 设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 00k
3、f(x)dxk01f(x)dx21 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 ab(x)dx=1证明： abf(x)(x)dxfabx(x)dx22 设 证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但 在点(0，0) 处不连续23 23 设函数 f(x)满足 xf(x)-2f(x)=-x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D 绕 z 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：24 曲线 y=f(x)；25 曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积考研数学二（高等数学）模拟试卷 3
4、2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)在 x0 处可导得f(x) 在 x0 处连续，但f(x) 在 x0 处不一定可导，如 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x) = x在 x=0 处不可导，选(C)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(a)=0，且 f“(x)k(k0)，所以 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+，其中 介于 a 与 x 之间而，再由 f(a)0)，所以 f(x)0(xa)，即f(x)在a，+)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)【知识模块】 高等数学
5、部分二、填空题3 【正确答案】 12【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 -1，1【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 a+4b=3=2b+1，解得 a=-1，b=1【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 -2dx【试题解析】 当 x=0 时，y=1，将 yexy+xcosx-1=0 两边对 x 求导得将 x=0，y=1 代入上式得 =-2，故 dy x=0=-2dx【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块
6、】 高等数学部分9 【正确答案】 4-【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 【试题解析】 所以原方程的通解为【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)及 x=k+ (k=0，1，)因为 ，所以 x=0 为 f(x)的可去间断点；因为，所以 x=k(k=1，2，)为 f(x)的第二类间断点；因为(k=0，1，)为 f
7、(x)的可去间断点【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 由 0xf(x-t)dt x0f(u)(-du)=0xf(u)du【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 由罗尔定理，存在 x0(c， 2) (1，2)，使得 f(x0)=0令 (x)=exf(x)，则 (1)=(x0)=0，由罗尔定理，存在 (1，x 0) (0，2)，使得 ()=0，而 (x)=exf(x)+f“(x)且 ex0，所以f()+f“()=0【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 令 f(x)=lnx，则存在 (a，b)，使得 ，其中 0ab，则【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】
8、 高等数学部分19 【正确答案】 1n+1f(x)dx=12f(x)dx+23f(x)dx+ nn+1f(x)dx，当 x1，2时，f(x)f(1)，两边积分得 12f(x)dxf(1)，同理 23f(x)dxf(2)， nn+1f(x)dxf(n)，相加得1n+1f(x)dx 当 x1，2时，f(2)f(x) ，两边积分得 f(2)12f(x)dx，同理 f(3)23f(x)dx，f(n) n-1nf(x)dx，相加得 f(2)+f(n) 1nf(x)dx，于是 f(1)+1nf(x)dx【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 0kf(x)dx-k01f(x)dx=0kf(x)dx-k
9、0kf(x)dx+k1f(x)dx=(1-k)0kf(x)dx-kk1f(x)dx=k(1-k)f(1)-f(2) 其中 10，k， 2k，1因为 00kf(x)dx-k01f(x)dx=k(1-k)f(1)-f(2)0，故 0kf(x)dxk01f(x)dx【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 因为 f“(x)0，所以有 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0) 取 x0=abx(x)dx，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 ab(x)dx=1，于是有 aabx(x)dx=x0b把x0=abx(x)dx 代入 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)中，再由 (x
10、)0，得 f(x)(x)f(x 0)(x)+f(x0)x(x)-x0(x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 abf(x)(x)dxfabx(x)dx【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 因为所以 f(x，y)在点(0，0)处对 x，y 都可偏导，且 fx(0，0)=f y(0，0)=0f(x，y)-f(0 ，0)-f x(0，0)x-fy(0，0)y= 因为 ，所以 f(x，y)在(0，0)处可微当(x ，y)(0，0)时，【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 由 xf(x)-2f(x)= =x+cx2设平面图形D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 在原点处的切线方程为 y=x，则【知识模块】 高等数学部分
