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[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷301及答案与解析.doc

1、考研数学(数学一)模拟试卷 301 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在( 一,+)内连续严格单调增,f(0)=0 ,常数 n 为正奇数,并设则正确的是 ( )(A)F(x)在(一,0) 内严格单调增,在(0,+)内也严格单调增(B) F(x)在(一,0)内严格单调增,在 (0,+)内严格单调减(C) F(x)在(一,0)内严格单调减,在 (0,+)内严格单调增(D)F(x)在(一,0) 内严格单调减,在(0,+)内也严格单调减2 设 n0(n 一 1,2,) ,下述命题正确的是 ( )(A)设存在 N0,当 nN 时, 则 必收敛(B)

2、设 收敛,则必存在 N0,当 nN 时,(C)设存在 N0,当 nN 时, 则 必发散(D)设 发散,则必存在 N0,当 nN 时,3 设 D=(x, y)x 2+y20),l 是 D 内的任意一条逐段光滑的简单封闭曲线,则下列平面第二型封闭曲线积分必有 ( )(A)(B)(C)(D)4 设 f(t)为连续函数,a 是常数,下述命题正确的是 ( )(A)若 f(t)为奇函数,则 是 x 的奇函数(B)若 f(t)为偶函数,则 是 x 的奇函数(C)若 f(t)为奇函数,则 是 x 的奇函数(D)若 f(t)为偶函数,则 是 x 的奇函数5 设 A 是 33 矩阵, 1, 2, 3 是互不相同的

3、 3 维列向量,且都不是方程组 Ax=0的解,记 B=1, 2, 3,且满足 r(AB)r(A) ,r(AB)r(B) 则 r(AB)等于 ( )(A)0 (B) 1(C) 2(D)36 设向量组 向量组 记A=1,2,3,B= 1, 2, 3,则 ( )(A)A B,但(I) () (B) () (),但 A B(C) A B 且( ) () (D)A B 且() ()7 设随机事件 A,B,若 P(B)0,则下列选项一定正确的是 ( )(A)P(AB)P(A)(B) P(AB)P(A) (C) P(A)P(AA B)(D)P(A)=P(A B)+P(AB)8 设随机变量 X 与 Y 独立同

4、分布,且均服从(0,)(0)上的均匀分布,则Emin(X,y)= ( )(A)(B) (C)(D)二、填空题9 =_.10 =_.11 微分方程 y+2y一 3y=xex 的通解为 y=_12 设 y=y(x)由方程 确定,则 =_.13 设 f(x)=1+x+x2+x2n+1,则 f(A)=14 设随机变量 X1 的分布函数为 F1(x),概率密度函数为 f1(x),且 EX1=1,随机变量 X 的分布函数为 F(x)=04F 1(x)+06F 1(2x+1),则 EX=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0,1上连续,证明:存在 (0,1)使 若 f()

5、0且单调减少,则 是唯一的16 设 f(x)=xe2x 一 2xcosx,讨论它在区间(一,+)内零点的个数16 设 ,试证明:17 an+1a n 且18 级数 条件收敛18 设 f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f (0)=1,且微分方程 xy(x+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 为全微分方程19 求 f(x);20 该全微分方程的通解20 设 a 与 b 都是常数且 ba 021 试写出 yOz 平面上的圆(y 一 b)2+z2=a2 绕 Oz 轴一圈生成的环面 S 的方程;22 S 所围成的实心环的空间区域为 ,计算三重积分22 设线性方程组 添加一个方程ax1

6、+2x2+bx3 一 5x4=0 后,成为方程组23 求解(*)的通解;24 a、b 满足什么条件时,(*)(*)是同解方程组。24 A 是三阶矩阵,有特征值 1=2=2,对应两个线性无关的特征向量为1, 3,2=2 对应的特征向量是 325 问 1+2 是否是 A 的特征向量?说明理由;26 2+3 是否是 A 的特征向量?说明理由;27 证明:任一三维非零向量 (0)都是 A2 的特征向量,并求对应的特征值。27 设随机变量(X,Y) 的概率密度函数为 f(x,y)=Ae -ax2+bxy-cy2,一X,y+28 a,b,c 满足什么条件时 X,Y 相互独立?29 若 求 PY1X129

7、设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数,且 X1,X 2,X n,是来自总体 X 的一个简单随机样本30 求未知参数 的最大估计量 ;31 验证 为 的无偏估计量考研数学(数学一)模拟试卷 301 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 方法一 利用积分中值定理,其中,若 x0,则0x;若 x0,则 x 0当 x0,则有 0 nx n,由于 f(x)严格单调增且f(0)=0,从而 0()f(x)及 0 nf()x nf(x)于是 F(x)0 (当 x0)当 x0,则有 xn n0,并且 f(x)f() 0于是仍有 xnf(x

8、) nf()0所以 F(x)0,当 x0结论选 C方法二当 x0 时,0t x,0f(t)f(x),0t nf(t)x nf(x),从而 F(x)0当 x0 时,xt 0,xx n0,f(x)f(t) 0,于是 tnf(t)x nf(x), 从而 F(x)0故选 C2 【正确答案】 C【试题解析】 在 C 的条件下,必有 ,从而推知级数发散 A 的反例但 发散;B 的反例 收敛但当 n 为奇数时 的反例见 A 的反例3 【正确答案】 C【试题解析】 对于 A 和 B,令 通过具体计算,易知(当(x,y)(0 ,0)所以当 l 不包含 0 在其内部时,,B 不正确若取 l 为 x=costy=s

9、int,t 从 0 到 2,则A 所以 A 不正确对于 C 和 D,令 ,通过具体计算,也有(当(x,y)(0 ,0),当 l 不包禽 0 在其内部时, D 不正确,若取 l 为 x=cost,y=sint,不妨认为 t 从一 到 ,则 C所以对于 D 内任意 lC 正确4 【正确答案】 C【试题解析】 设 F(t)是 f(t)的一个原函数,由于 f(t)是奇函数,所以 f(t)的任一原函数是偶函数,所以 F(t)是偶函数因 F(x)为偶函数,故 xF(x)为 x 的奇函数, 也是 x 的奇函数,所以 为 x 的奇函数C 正确。至于A,B,D 为什么不正确,请读者自己论证之5 【正确答案】 B

10、【试题解析】 已知 (i=1,2,3) 都不是 Ax=0 的解,即 AB0,r(AB)1 又 r(AB)0去证这种 是唯一的设存在 (0,1)及 (0,1),不妨设,使 两式相减,由 f(x)单调减少及 f(x)0,得 但左边这是一个矛盾这就证明了 (01)是唯一的证毕16 【正确答案】 f(一 1)=一 e-2+2 一 cos10,f(0)=一 12 一 2 一 cos10,所以在区间(一 1,0) 与区间 (01)内分别至少有 1 个零点f(x)=e 2x+2xe2x 一2+sinx=2xe2x+(e2x 一 1)+(sinx1)所以当 x0 时,f (x)0所以在区间(一,一1内 f(x

11、)无零点,在区间(一 1,0)内有 1 个零点f (x)=4e2x+4xe2x+cosx=4(1+x)e2x+cosx=(4e2x+cosx)+4xe2x可见无论 x(一 1,0)还是 x0,+),f (x)0所以在区间(一 1,+)内 f(x)至多有。9 个零点,而前已证明 f(x)在区间(一 1,1)内至少有 2 个零点,所以,f(x)仅有 2 个零点分别在区间(一 1,0)与(0,1) 内17 【正确答案】 因为 时,0tanx1,且仅在两处 x=0 与 等号成立,所以 又因ana n+1,所以 2ana n+an+2,从而 因 2an+2a n+an+2,从而 ,于是 (I)证毕18

12、【正确答案】 由(I)有 ,所以 发散且an+1a n,并由已证 知 所以由莱布尼茨定理知收敛,所以 条件收敛19 【正确答案】 由 即求得满足 f(0)=0,f (0)=1 的特解为 f(x)=2cosx+sinx+x2 一 220 【正确答案】 求全微分方程xy 2 一(2cosx+sinx)y+2ydx+( 一 2sinx+cosx+2x+xy)dy=0 的通解关键是求原函数法一凑原函数法。xy 2 一(2cosx+sinx)y+2ydx+( 一2sinx+cosx+2x+x2y)dy=xy(ydx+xdy)+(一 2sinx+cosx)dy+yd(一 2sinx+cosx)+2(xdy

13、+ydx) 所以该全微分方程的通解为法二 折线法21 【正确答案】 用 替代(y 一 b)2+z2=a2 中的 y,便得 S 的直角坐标方程22 【正确答案】 用柱面坐标,按先 z 再 r 后 的次序,其中作积分变量替换:t=r 一 b,得再命 t=asinu 从而23 【正确答案】 得方程组(*)的通解为 k(一 3, 5,1,1,0) Tk 是任意常数24 【正确答案】 法一 方程绀(*)、(*) 是同同方程 方程组(*)的通解满足方程组(*)的第 4 个方程,代入得一 3ka+(5k).2+bk 0=0 即 ( 一 3a+b)k=10k,因 k 是任意常数故得 一 3a+b=10法二 方

14、程组(*)、(*)是同解方程组,则方程组(*)中新添方程应可由原方程的三个方程线性表出,即新添方程是多余方程同解。将方程的增广矩阵进行初等行变换得故(*)和(*)同解 b3a=1025 【正确答案】 1+2 仍是 A 的对应于 1=2=2 的特征向量 因已知A1=22,A 1=22故 A(1+2)=A1A2=21 一 22=2(1+2)26 【正确答案】 2+3 是 A 的特征向量 假设是,设其对心的特征值为 则有A(2+3)=(2+3) 得 22 一 24 一 22 一 3=(2 一 )2(2+) 3=0 因 2 和2+ 不同时为零,故 2, 3 线性相关,这和不同特征值对应的特征向量线无关

15、矛盾,故 2+3 不是 A 的特征向量27 【正确答案】 因 A 特征值 1=2 2=一 2,故 A2 有特征值 1=2=3=4对应的特征向量仍是 12, 3 且 1, 2, 3 线性无关故存在可逆阵 P=1, 2, 3,使得 P-1A2P=4E,A 2=P(4E)P-1=4E,从而有对任意的 0,有 A2=4E=4,故知任意非零向量 都是 A2 的对应于 =4 的特征向量28 【正确答案】 若 X,Y 相互独立,则 f(x,y)=f x(x)fY(y),事实上同理可得于是对比等式两边得29 【正确答案】 若 则 X,Y 相互独立且 ,于是PY1X1=PY1 事实上 , 所以 PY1X1=PY1=(2)30 【正确答案】 设 x1,x 2,x n 为样本值,当 xi0(i=1 ,2,n) 时,似然函数为 两边同时取对数得令 解得 的最大似然估计值为 所以 的最大似然估计量为31 【正确答案】 事实上 E(lnXi)=E(lnX)令 Inx=t,于是所以 为 的无偏估计量

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