1、考研数学（数学一）模拟试卷 301 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在( 一，+)内连续严格单调增，f(0)=0 ，常数 n 为正奇数，并设则正确的是 ( )（A）F(x)在(一，0) 内严格单调增，在(0，+)内也严格单调增（B） F(x)在(一，0)内严格单调增，在 (0，+)内严格单调减（C） F(x)在(一，0)内严格单调减，在 (0，+)内严格单调增（D）F(x)在(一，0) 内严格单调减，在(0，+)内也严格单调减2 设 n0(n 一 1，2，) ，下述命题正确的是 ( )（A）设存在 N0，当 nN 时， 则 必收敛（B）
2、设 收敛，则必存在 N0，当 nN 时，（C）设存在 N0，当 nN 时， 则 必发散（D）设 发散，则必存在 N0，当 nN 时，3 设 D=(x， y)x 2+y20)，l 是 D 内的任意一条逐段光滑的简单封闭曲线，则下列平面第二型封闭曲线积分必有 ( )（A）（B）（C）（D）4 设 f(t)为连续函数，a 是常数，下述命题正确的是 ( )（A）若 f(t)为奇函数，则 是 x 的奇函数（B）若 f(t)为偶函数，则 是 x 的奇函数（C）若 f(t)为奇函数，则 是 x 的奇函数（D）若 f(t)为偶函数，则 是 x 的奇函数5 设 A 是 33 矩阵， 1， 2， 3 是互不相同的
3、 3 维列向量，且都不是方程组 Ax=0的解，记 B=1， 2， 3，且满足 r(AB)r(A) ，r(AB)r(B) 则 r(AB)等于 ( )（A）0 （B） 1（C） 2（D）36 设向量组 向量组 记A=1,2,3，B= 1， 2， 3，则 ( )（A）A B，但(I) () （B） () ()，但 A B（C） A B 且( ) () （D）A B 且() ()7 设随机事件 A，B，若 P(B)0，则下列选项一定正确的是 ( )（A）P(AB)P(A)（B） P(AB)P(A) （C） P(A)P(AA B)（D）P(A)=P(A B)+P(AB)8 设随机变量 X 与 Y 独立同
4、分布，且均服从(0，)(0)上的均匀分布，则Emin(X，y)= ( )（A）（B） （C）（D）二、填空题9 =_.10 =_.11 微分方程 y+2y一 3y=xex 的通解为 y=_12 设 y=y(x)由方程 确定，则 =_.13 设 f(x)=1+x+x2+x2n+1，则 f(A)=14 设随机变量 X1 的分布函数为 F1(x)，概率密度函数为 f1(x)，且 EX1=1，随机变量 X 的分布函数为 F(x)=04F 1(x)+06F 1(2x+1)，则 EX=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)使 若 f()
5、0且单调减少，则 是唯一的16 设 f(x)=xe2x 一 2xcosx，讨论它在区间(一，+)内零点的个数16 设 ，试证明：17 an+1a n 且18 级数 条件收敛18 设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f (0)=1，且微分方程 xy(x+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 为全微分方程19 求 f(x)；20 该全微分方程的通解20 设 a 与 b 都是常数且 ba 021 试写出 yOz 平面上的圆(y 一 b)2+z2=a2 绕 Oz 轴一圈生成的环面 S 的方程；22 S 所围成的实心环的空间区域为 ，计算三重积分22 设线性方程组 添加一个方程ax1
6、+2x2+bx3 一 5x4=0 后，成为方程组23 求解(*)的通解；24 a、b 满足什么条件时，(*)(*)是同解方程组。24 A 是三阶矩阵，有特征值 1=2=2，对应两个线性无关的特征向量为1， 3,2=2 对应的特征向量是 325 问 1+2 是否是 A 的特征向量?说明理由；26 2+3 是否是 A 的特征向量?说明理由；27 证明：任一三维非零向量 (0)都是 A2 的特征向量，并求对应的特征值。27 设随机变量(X，Y) 的概率密度函数为 f(x，y)=Ae -ax2+bxy-cy2，一X，y+28 a，b,c 满足什么条件时 X，Y 相互独立?29 若 求 PY1X129
7、设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数，且 X1，X 2，X n，是来自总体 X 的一个简单随机样本30 求未知参数 的最大估计量 ；31 验证 为 的无偏估计量考研数学（数学一）模拟试卷 301 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 方法一 利用积分中值定理，其中，若 x0，则0x；若 x0，则 x 0当 x0，则有 0 nx n，由于 f(x)严格单调增且f(0)=0，从而 0()f(x)及 0 nf()x nf(x)于是 F(x)0 (当 x0)当 x0，则有 xn n0，并且 f(x)f() 0于是仍有 xnf(x
8、) nf()0所以 F(x)0，当 x0结论选 C方法二当 x0 时，0t x，0f(t)f(x)，0t nf(t)x nf(x)，从而 F(x)0当 x0 时，xt 0，xx n0，f(x)f(t) 0，于是 tnf(t)x nf(x), 从而 F(x)0故选 C2 【正确答案】 C【试题解析】 在 C 的条件下，必有 ，从而推知级数发散 A 的反例但 发散；B 的反例 收敛但当 n 为奇数时 的反例见 A 的反例3 【正确答案】 C【试题解析】 对于 A 和 B，令 通过具体计算，易知(当(x，y)(0 ，0)所以当 l 不包含 0 在其内部时,，B 不正确若取 l 为 x=costy=s
9、int，t 从 0 到 2，则A 所以 A 不正确对于 C 和 D，令 ，通过具体计算，也有(当(x，y)(0 ，0)，当 l 不包禽 0 在其内部时, D 不正确，若取 l 为 x=cost，y=sint，不妨认为 t 从一 到 ，则 C所以对于 D 内任意 lC 正确4 【正确答案】 C【试题解析】 设 F(t)是 f(t)的一个原函数，由于 f(t)是奇函数，所以 f(t)的任一原函数是偶函数，所以 F(t)是偶函数因 F(x)为偶函数，故 xF(x)为 x 的奇函数， 也是 x 的奇函数，所以 为 x 的奇函数C 正确。至于A，B，D 为什么不正确，请读者自己论证之5 【正确答案】 B
10、【试题解析】 已知 (i=1，2，3) 都不是 Ax=0 的解，即 AB0，r(AB)1 又 r(AB)0去证这种 是唯一的设存在 (0，1)及 (0，1)，不妨设，使 两式相减，由 f(x)单调减少及 f(x)0，得 但左边这是一个矛盾这就证明了 (01)是唯一的证毕16 【正确答案】 f(一 1)=一 e-2+2 一 cos10，f(0)=一 12 一 2 一 cos10，所以在区间(一 1，0) 与区间 (01)内分别至少有 1 个零点f(x)=e 2x+2xe2x 一2+sinx=2xe2x+(e2x 一 1)+(sinx1)所以当 x0 时，f (x)0所以在区间(一，一1内 f(x
11、)无零点，在区间(一 1，0)内有 1 个零点f (x)=4e2x+4xe2x+cosx=4(1+x)e2x+cosx=(4e2x+cosx)+4xe2x可见无论 x(一 1，0)还是 x0，+)，f (x)0所以在区间(一 1，+)内 f(x)至多有。9 个零点，而前已证明 f(x)在区间(一 1，1)内至少有 2 个零点，所以，f(x)仅有 2 个零点分别在区间(一 1，0)与(0，1) 内17 【正确答案】 因为 时，0tanx1，且仅在两处 x=0 与 等号成立，所以 又因ana n+1，所以 2ana n+an+2，从而 因 2an+2a n+an+2，从而 ，于是 (I)证毕18
12、【正确答案】 由(I)有 ，所以 发散且an+1a n，并由已证 知 所以由莱布尼茨定理知收敛，所以 条件收敛19 【正确答案】 由 即求得满足 f(0)=0，f (0)=1 的特解为 f(x)=2cosx+sinx+x2 一 220 【正确答案】 求全微分方程xy 2 一(2cosx+sinx)y+2ydx+( 一 2sinx+cosx+2x+xy)dy=0 的通解关键是求原函数法一凑原函数法。xy 2 一(2cosx+sinx)y+2ydx+( 一2sinx+cosx+2x+x2y)dy=xy(ydx+xdy)+(一 2sinx+cosx)dy+yd(一 2sinx+cosx)+2(xdy
13、+ydx) 所以该全微分方程的通解为法二 折线法21 【正确答案】 用 替代(y 一 b)2+z2=a2 中的 y，便得 S 的直角坐标方程22 【正确答案】 用柱面坐标，按先 z 再 r 后 的次序，其中作积分变量替换：t=r 一 b，得再命 t=asinu 从而23 【正确答案】 得方程组(*)的通解为 k(一 3， 5，1，1,0) Tk 是任意常数24 【正确答案】 法一 方程绀(*)、(*) 是同同方程 方程组(*)的通解满足方程组(*)的第 4 个方程，代入得一 3ka+(5k).2+bk 0=0 即 ( 一 3a+b)k=10k，因 k 是任意常数故得 一 3a+b=10法二 方
14、程组(*)、(*)是同解方程组，则方程组(*)中新添方程应可由原方程的三个方程线性表出，即新添方程是多余方程同解。将方程的增广矩阵进行初等行变换得故(*)和(*)同解 b3a=1025 【正确答案】 1+2 仍是 A 的对应于 1=2=2 的特征向量 因已知A1=22，A 1=22故 A(1+2)=A1A2=21 一 22=2(1+2)26 【正确答案】 2+3 是 A 的特征向量 假设是，设其对心的特征值为 则有A(2+3)=(2+3) 得 22 一 24 一 22 一 3=(2 一 )2(2+) 3=0 因 2 和2+ 不同时为零，故 2， 3 线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线无关
15、矛盾，故 2+3 不是 A 的特征向量27 【正确答案】 因 A 特征值 1=2 2=一 2，故 A2 有特征值 1=2=3=4对应的特征向量仍是 12， 3 且 1， 2， 3 线性无关故存在可逆阵 P=1， 2， 3，使得 P-1A2P=4E，A 2=P(4E)P-1=4E，从而有对任意的 0，有 A2=4E=4，故知任意非零向量 都是 A2 的对应于 =4 的特征向量28 【正确答案】 若 X，Y 相互独立，则 f(x，y)=f x(x)fY(y)，事实上同理可得于是对比等式两边得29 【正确答案】 若 则 X，Y 相互独立且 ，于是PY1X1=PY1 事实上 , 所以 PY1X1=PY1=(2)30 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 为样本值，当 xi0(i=1 ，2，n) 时，似然函数为 两边同时取对数得令 解得 的最大似然估计值为 所以 的最大似然估计量为31 【正确答案】 事实上 E(lnXi)=E(lnX)令 Inx=t，于是所以 为 的无偏估计量
