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[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷304及答案与解析.doc

1、考研数学(数学一)模拟试卷 304 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 bn0(n=1,2,),下述命题正确的是 ( )(A)设 发散, 发散,则 必发散(B)设 发散, 收敛,则 必发散(C)设 收敛, 收敛,则 必收敛(D)设 收敛, 发散,则 必收敛2 设 f(x,y)=xy (z,y),其中 (x,y)在点(0,0)的某邻域内连续则(0,0)=0 是 f(x,y)在点 (0,0)处可微的 ( )(A)必要条件但非充分条件(B)充分条件但非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件3 下列反常积分发散的是 ( )(A)(B)(C)(

2、D)4 设 则 f(x,y)在点(0,0)处 ( )(A)两个偏导数都存在,函数也连续(B)两个偏导数都存在,但函数不连续(C)偏导数不存在,但函数连续(D)偏导数不存在,函数也不连续5 设 n 维向量 1,2,3 满足 122+33=0,对任意的 n 维向量 ,向量组1+, 2+b, 3 线性相关,则参数 a,b 应满足条件 ( )(A)a=b(B) a=一 b(C) a=2b(D)a= 一 266 设 A 是一个 n 阶矩阵,先交换 A 的第 i 列与第 j 列,然后再交换第 i 行和第 j 行,得到的矩阵记成 B,则下列五个关系 (I)A= B()r(A)=r(B)()A B()AB()

3、A B 中正确的关系有 ( )(A)2 个(B) 3 个(C) 4 个(D)5 个7 设随机变量 X 的分布函数为 F(x),则下列函数中仍为分布函数的是 ( )(A)F(x 2)(B) F(x+1)(C) F(一 x) (D)1 一 F(一 x)8 设(X,Y) 服从二维正态分布 N(0,0,05,05,o),则 DX Y为( )(A)0(B) 1(C)(D)二、填空题9 设 a,b 均为常数, a0 ,且 则a=_,b=_10 设 f(x)为连续函数, 则 f(x)=_.11 微分方程 满足初始条件 的特解是_.12 设 L 为从点 A(一 1,0) 到点 B(3,0) 的上半个圆周(x

4、一 1)2+y2=22,y0,则=_.13 设 A 是 3 阶矩阵, 是线性无关的三维列向量,满足A=0,A= ,A=,则 AA,其中 A=_14 设 X1,X 2,X 50 为来自总体 X 的一个简单机样本,总体 X 的概率密度函数为 则由中心极限定理近似计算 _(用标准正态分布 (.)值表示)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 D 为曲线 y=x3 与直线 y=x 围成的两块区域,求二重积分16 将函数 展开成 x 一 2 的幂级数,并求出其收敛范围17 设 f(x)在( 一,+)内有定义,且对任意 x 与任意 y,满足 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,f

5、 (0)存在且等于 a,a0证明:对任意 x,f (x)存在,并求 f(x)18 设 x0,证明: 且仅在 x=1 处等号成立19 设点 M(,)是椭球面 上第一象限中的点, S 是该椭球面点 M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形上侧,求(,),使曲面积分为最小,并求此最小值19 设 A 是 3 阶可逆矩阵,=a 1,a 2,a 3T,=b 1, b2,b 3T 是 3 维列向量,且 TA-1一 120 验证:21 设 将 B 表示成 A+T 的形式,再利用 (I)求 B-122 (I)设 f(x1, x2,x 3)=x12+2x22+6x32 一 2x1x2+2x1x36x2x3,用可逆线

6、性变换将 f 化为规范形,并求出所作的可逆线性变换并说明二次型的对应矩阵 A 是正定阵;()设 求可逆阵 D,使 A=DTD23 设(X,Y)的联合分布密度为 求系数 A 及(X,Y)关于 X,Y 的边缘密度,且说明 X,Y 是否相互独立?23 设 X1,X 2,X n 是总体为 N(, 2)的简单随机样本,其中 与 20 未知,记24 求参数 2 的最大似然估计量 ;25 检验 是否为未知参数 2 的无偏估计量考研数学(数学一)模拟试卷 304 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 证明 C 正确首先证明: ,收敛 存在事实

7、上,左边级数前 n 项部分和 Sn=(a1 一 a2)+(a2 一 a3)+(an+an+1)=a1 一 an+1收敛 ,存在 存在 存在由存在,根据比较判别法的极限形式知,级数 收敛,从而知 绝对收敛A 不正确,反例: 发散,而 不存在,所以 发散,满足 A 的题设条件,但 是收敛的B 不正确,反例:发散,而 存在,所以 收敛,但是收敛的,故 B 不正确D 不正确,反例收敛, 发散,而也发散,故 D 不正确2 【正确答案】 C【试题解析】 先证充分性设 (0,0)=0,由于 (x,y)在点(0,0)处连续,所以由于 所以所以按可微定义,f(x,y)在点 O(0,0)处可微,且 df=0.x+

8、0.y,即 fx(0,0)=0 f y(0,0)=0 再证必要性设 f(x,y)在点(0,0)处可微,则 fx(0,0)与f y(0,0)必都存在其中 x0 +时取 “+”,x0 -时取“一”由于fx(0,0)存在,所以+(0, 0)=一 (0,0),从而 (00)=0 证毕3 【正确答案】 C【试题解析】 至于A,B,D 都是收敛的4 【正确答案】 C【试题解析】 ,由夹逼定理, 所以f(x,y)在点(0,0)连续 不存在同理fy(0,0)也不存在选 C5 【正确答案】 C【试题解析】 法一 因 1, 2, 3 满足 12 2+33=0(*),要求向量组1+, 2+b, 3 线性相关,其中

9、是任意向量利用式(*),取常数 k1=1,k 2=一 2,k 3=3,对向量组 1+, 2+b, 3 作线性组合,得( 1+)一 2(2+b)+33=1 一 22+33+(a 一 2b)=(a2b) 故当 a=2b 时,对任意的 n 维向量 均有 1+ 一 2(2+b)+33=0即 =2b 时, 1+, 2+b, 3 对任意 线性相关故应选 C法二 1+, 2+b, 3 线性相关 r1+, 2+b, 32对矩阵 1+, 2+b, 3作初等列变换(不改变秩)有 1+b, 2+b, 3 1+b, 2+b 1+ 一 2(2+b)+3 1+, 2+b,( 一 2b)1+, 2+b,0,故 a=2b 时

10、,r 1+a, 2+b, 32, 1+, 2+b, 3 线性相关,应选 C6 【正确答案】 D【试题解析】 将 A 的 i 列,j 列互换,再将 i 行,j 行互换,相当于右乘、左乘相同的互换初等阵 Eij 即 B=EijAEij 其中E ij= 一10,是可逆阵,E ij 2=1,故(I),() ,()成立E ij-1=Eij 故 Eij-1AEij=EijAEij=B,故 AB,()成立E ijT=Eij,故 Eij,AE ij=EijTAEij=B,故,(V)成立从而知(I),( ),(),(),(V)均成立应选 D关键在于:将初等变换表示成左(右) 乘初等阵及理解行列式、矩阵的秩,矩阵

11、的等价、相似、合同的概念7 【正确答案】 B【试题解析】 函数成为分布函数的充要条件为(1)单调不减性;(2)(3)右连续性下面将对各个选项逐个验证选项A,F(x 2)不满足单调不减性,且 选项 B,F(x+1)满足分布函数的三条性质;选项 C,F( 一 x)不满足单调不减性,且选项 D, 1 一 F(一 x)满足:(1)单调不减性;(2) 而是 令 t=一x,于是 即其值不一定等于 1-F(一 x0),所以 1F(一 x)不一定具有右连续性8 【正确答案】 C【试题解析】 (X,Y)N(0,0,0505,0),于是 XYN(0 ,1),令Z=XY,利用公式法可得二、填空题9 【正确答案】 a

12、=2,b=一 3【试题解析】 法一 分母用等价无穷小替换:当 x0 时,e x2 一 1x 2分子用皮亚诺余项泰勒公式展开至 o(x2),得故 又因a0,解之得 a=2,b=一 3法二 分母用等价无穷小替换后,整个分式用洛必达法则,略10 【正确答案】 【试题解析】 令 有 ,所以 f(x)=f(x),f(x),解得 f(x)=Cex,将 f(0)=a 代入,得 f(x)=aex再由 从而 a=0 或 但因 所以11 【正确答案】 【试题解析】 写成 令 y2=z,得 再令 z=ux,有代入原方程,得 解之得 sinu=Cx再以 代入,得由初始条件得出 C,得特解 或12 【正确答案】 一 +

13、ln3【试题解析】 按通常记号 P,Q,经计算有 (当(x,y)(0,0)改到 t从 到 0,点 C(1,0); y=0 从 C 到 B于是13 【正确答案】 【试题解析】 由题设条件A=0 知 A 有 1=0,又由 A= 及 A= 知 A(+)=+=+,A( 一 )= 一 =一( 一 ),故 A 有 2=1, 3=一 1A 是 3 阶矩阵,有 3 个不同的特征值,故 AA,其中14 【正确答案】 (10)【试题解析】 总体 X 的数学期望与二阶矩分别为进而可得 DX=EX2 一(EX)2=2,记 ,由中心极限定理可得:随机变量 近似服从N(0,100),于是三、解答题解答应写出文字说明、证明

14、过程或演算步骤。15 【正确答案】 区域 D 如图所示,第一象限部分记为 D1,第三象限部分记为D2,于是令 x=一t,则第 2 个积分与第 1 个可合并,第 3 个积分与第 6 个积分相抵消,第 4 个积分与第 5 个积分相抵消于是16 【正确答案】 令 u=x 一 2,于是 x=u+2,成立的范围是与u1 中取小者为u 1从而知即有又因当 x=3 时,上述级数发散,当 x=1 时,上述级数收敛,且当 x=1 时,f(x)连续,故知上述展开式成立的范围为 1x317 【正确答案】 将 y=0 代入定义式,有 f(x)=f(x)+f(0)ex所以 f(0)=0于是所以对任意 x,f (x)存在

15、,且 f(x)=f(x)+aex解之,得f(x)=ex(aex.exdx+c)=ex(ax+c)由 f(0)=0,有 C=0从而 f(x)=axex18 【正确答案】 先证明当 0x1 时, 令有记有 从而知,当 0x1时,(0)0,即有 F(x) 0因 F(1)=0,所以当 0x1 时,F (x)0 又因 F(1)=0,所以当 0x1 时,F(x)0,从而知当 0x 1 时, 上式中令 故知当 1u+时, 又当 x=1 时,所以当 0x+时,有 且仅当 x=1时等号才成立19 【正确答案】 曲面 上点 M(,) 的法向量为切平面方程是 化简即得该切平面被三坐标面截得的三角形在 xOy 平面上

16、的投影区域为从而所以求 I 的最小值等价于求w=,0a,0 b,0 c 的最大值,约束条件是由拉格朗日乘数法得 显然,当 =a 或=0 时,w 最小,故当 时,w 最大,I 的最小值为20 【正确答案】 因故21 【正确答案】 其中=1, 2,3 T, =1 ,1, 1T,故22 【正确答案】 (I)将 f(x1,x 2,x 3)用配方法化为标准形,得 f(x1,x 2,x 3)=x12+2x22+6x32 一 2x1x2+2x1x2 一 6x2x3 一(x 1x 2+x3)2+x22+5x32 一 4x2x3=(x1 一 x2+x3)2+(x22x3)2+x32令 即 得 f 的标准形为f(

17、x1,x 2,x 3)=y12+y22+y32 所作的可逆线性变换为 x=Cy,其中 A 的对应二次型的规范形为 y12+y22+y32正惯性指数 p=3=r=n,故知 A 是正定阵(也可用定义证明,或用顺序主子式全部大于零证明 A 是正定阵 )()由(I)知是 f(x1,x 2,x 3)的对应矩阵,即 f(x1,x 2,x 3)=xTAx由(I)知,令 x=Cy,其中 得 f=xTAx=yTCTACy=yTEy,故 CTAC=E,A=(C -1)TC-1=DTD,其中 D=C-1由 故23 【正确答案】 由解得当 时,即同理可得 因为 px(x).py(y)p(x,y) ,故 X,Y 不相互独立24 【正确答案】 设 x1,x 2,x n 是总体为 N(, 2)的简单随机样本值,首先构造似然函数 两边取对数得令且 ,得 和2 的最大似然估计量分别为25 【正确答案】 又因为 根据抽样分布 2(n 一1)的性质可得 估计量,于是所以 2 的最大似然估计 并非是 2 的无偏估计量

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