1、考研数学（数学一）模拟试卷 304 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 bn0(n=1，2，)，下述命题正确的是 ( )（A）设 发散， 发散，则 必发散（B）设 发散， 收敛，则 必发散（C）设 收敛， 收敛，则 必收敛（D）设 收敛， 发散，则 必收敛2 设 f(x，y)=xy (z，y)，其中 (x，y)在点(0，0)的某邻域内连续则(0，0)=0 是 f(x，y)在点 (0，0)处可微的 ( )（A）必要条件但非充分条件（B）充分条件但非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件3 下列反常积分发散的是 ( )（A）（B）（C）（
2、D）4 设 则 f(x,y)在点(0，0)处 ( )（A）两个偏导数都存在，函数也连续（B）两个偏导数都存在，但函数不连续（C）偏导数不存在，但函数连续（D）偏导数不存在，函数也不连续5 设 n 维向量 1,2,3 满足 122+33=0，对任意的 n 维向量 ，向量组1+， 2+b， 3 线性相关，则参数 a，b 应满足条件 ( )（A）a=b（B） a=一 b（C） a=2b（D）a= 一 266 设 A 是一个 n 阶矩阵，先交换 A 的第 i 列与第 j 列，然后再交换第 i 行和第 j 行，得到的矩阵记成 B，则下列五个关系 (I)A= B()r(A)=r(B)()A B()AB()
3、A B 中正确的关系有 ( )（A）2 个（B） 3 个（C） 4 个（D）5 个7 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列函数中仍为分布函数的是 ( )（A）F(x 2)（B） F(x+1)（C） F(一 x) （D）1 一 F(一 x)8 设(X，Y) 服从二维正态分布 N(0，0，05，05，o)，则 DX Y为( )（A）0（B） 1（C）（D）二、填空题9 设 a，b 均为常数， a0 ，且 则a=_，b=_10 设 f(x)为连续函数， 则 f(x)=_.11 微分方程 满足初始条件 的特解是_.12 设 L 为从点 A(一 1，0) 到点 B(3，0) 的上半个圆周(x
4、一 1)2+y2=22，y0,则=_.13 设 A 是 3 阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，满足A=0，A= ，A=，则 AA，其中 A=_14 设 X1，X 2，X 50 为来自总体 X 的一个简单机样本，总体 X 的概率密度函数为 则由中心极限定理近似计算 _(用标准正态分布 (.)值表示)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 D 为曲线 y=x3 与直线 y=x 围成的两块区域，求二重积分16 将函数 展开成 x 一 2 的幂级数，并求出其收敛范围17 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且对任意 x 与任意 y，满足 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，f
5、 (0)存在且等于 a，a0证明：对任意 x，f (x)存在，并求 f(x)18 设 x0，证明： 且仅在 x=1 处等号成立19 设点 M(，)是椭球面 上第一象限中的点， S 是该椭球面点 M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形上侧，求(，)，使曲面积分为最小，并求此最小值19 设 A 是 3 阶可逆矩阵，=a 1，a 2，a 3T，=b 1， b2，b 3T 是 3 维列向量，且 TA-1一 120 验证:21 设 将 B 表示成 A+T 的形式，再利用 (I)求 B-122 (I)设 f(x1， x2，x 3)=x12+2x22+6x32 一 2x1x2+2x1x36x2x3，用可逆线
6、性变换将 f 化为规范形，并求出所作的可逆线性变换并说明二次型的对应矩阵 A 是正定阵；()设 求可逆阵 D，使 A=DTD23 设(X，Y)的联合分布密度为 求系数 A 及(X，Y)关于 X，Y 的边缘密度，且说明 X，Y 是否相互独立?23 设 X1，X 2，X n 是总体为 N(， 2)的简单随机样本，其中 与 20 未知，记24 求参数 2 的最大似然估计量 ；25 检验 是否为未知参数 2 的无偏估计量考研数学（数学一）模拟试卷 304 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 证明 C 正确首先证明： ,收敛 存在事实
7、上，左边级数前 n 项部分和 Sn=(a1 一 a2)+(a2 一 a3)+(an+an+1)=a1 一 an+1收敛 ，存在 存在 存在由存在，根据比较判别法的极限形式知，级数 收敛，从而知 绝对收敛A 不正确，反例： 发散，而 不存在，所以 发散，满足 A 的题设条件，但 是收敛的B 不正确，反例：发散，而 存在，所以 收敛，但是收敛的，故 B 不正确D 不正确，反例收敛， 发散，而也发散，故 D 不正确2 【正确答案】 C【试题解析】 先证充分性设 (0，0)=0，由于 (x,y)在点(0，0)处连续，所以由于 所以所以按可微定义，f(x，y)在点 O(0，0)处可微，且 df=0.x+
8、0.y，即 fx(0，0)=0 f y(0，0)=0 再证必要性设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 fx(0，0)与f y(0，0)必都存在其中 x0 +时取 “+”，x0 -时取“一”由于fx(0，0)存在，所以+(0， 0)=一 (0，0)，从而 (00)=0 证毕3 【正确答案】 C【试题解析】 至于A，B，D 都是收敛的4 【正确答案】 C【试题解析】 ，由夹逼定理， 所以f(x，y)在点(0，0)连续 不存在同理fy(0，0)也不存在选 C5 【正确答案】 C【试题解析】 法一 因 1， 2， 3 满足 12 2+33=0(*)，要求向量组1+， 2+b， 3 线性相关，其中
9、是任意向量利用式(*)，取常数 k1=1，k 2=一 2，k 3=3，对向量组 1+， 2+b， 3 作线性组合，得( 1+)一 2(2+b)+33=1 一 22+33+(a 一 2b)=(a2b) 故当 a=2b 时，对任意的 n 维向量 均有 1+ 一 2(2+b)+33=0即 =2b 时， 1+， 2+b， 3 对任意 线性相关故应选 C法二 1+， 2+b， 3 线性相关 r1+， 2+b， 32对矩阵 1+， 2+b， 3作初等列变换(不改变秩)有 1+b， 2+b， 3 1+b， 2+b 1+ 一 2(2+b)+3 1+， 2+b，( 一 2b)1+， 2+b，0，故 a=2b 时
10、，r 1+a， 2+b， 32， 1+， 2+b， 3 线性相关，应选 C6 【正确答案】 D【试题解析】 将 A 的 i 列，j 列互换，再将 i 行，j 行互换，相当于右乘、左乘相同的互换初等阵 Eij 即 B=EijAEij 其中E ij= 一10，是可逆阵，E ij 2=1，故(I)，() ，()成立E ij-1=Eij 故 Eij-1AEij=EijAEij=B，故 AB，()成立E ijT=Eij，故 Eij，AE ij=EijTAEij=B，故，(V)成立从而知(I)，( )，()，()，(V)均成立应选 D关键在于：将初等变换表示成左(右) 乘初等阵及理解行列式、矩阵的秩，矩阵
11、的等价、相似、合同的概念7 【正确答案】 B【试题解析】 函数成为分布函数的充要条件为(1)单调不减性；(2)(3)右连续性下面将对各个选项逐个验证选项A，F(x 2)不满足单调不减性，且 选项 B，F(x+1)满足分布函数的三条性质；选项 C，F( 一 x)不满足单调不减性，且选项 D， 1 一 F(一 x)满足：(1)单调不减性；(2) 而是 令 t=一x，于是 即其值不一定等于 1-F(一 x0)，所以 1F(一 x)不一定具有右连续性8 【正确答案】 C【试题解析】 (X，Y)N(0，0，0505，0)，于是 XYN(0 ，1)，令Z=XY，利用公式法可得二、填空题9 【正确答案】 a
12、=2，b=一 3【试题解析】 法一 分母用等价无穷小替换：当 x0 时，e x2 一 1x 2分子用皮亚诺余项泰勒公式展开至 o(x2)，得故 又因a0，解之得 a=2，b=一 3法二 分母用等价无穷小替换后，整个分式用洛必达法则，略10 【正确答案】 【试题解析】 令 有 ，所以 f(x)=f(x)，f(x)，解得 f(x)=Cex，将 f(0)=a 代入，得 f(x)=aex再由 从而 a=0 或 但因 所以11 【正确答案】 【试题解析】 写成 令 y2=z，得 再令 z=ux，有代入原方程，得 解之得 sinu=Cx再以 代入，得由初始条件得出 C，得特解 或12 【正确答案】 一 +
13、ln3【试题解析】 按通常记号 P，Q，经计算有 (当(x，y)(0，0)改到 t从 到 0，点 C(1，0); y=0 从 C 到 B于是13 【正确答案】 【试题解析】 由题设条件A=0 知 A 有 1=0，又由 A= 及 A= 知 A(+)=+=+，A( 一 )= 一 =一( 一 )，故 A 有 2=1， 3=一 1A 是 3 阶矩阵，有 3 个不同的特征值，故 AA，其中14 【正确答案】 (10)【试题解析】 总体 X 的数学期望与二阶矩分别为进而可得 DX=EX2 一(EX)2=2，记 ，由中心极限定理可得：随机变量 近似服从N(0，100)，于是三、解答题解答应写出文字说明、证明
14、过程或演算步骤。15 【正确答案】 区域 D 如图所示，第一象限部分记为 D1，第三象限部分记为D2，于是令 x=一t，则第 2 个积分与第 1 个可合并，第 3 个积分与第 6 个积分相抵消，第 4 个积分与第 5 个积分相抵消于是16 【正确答案】 令 u=x 一 2，于是 x=u+2，成立的范围是与u1 中取小者为u 1从而知即有又因当 x=3 时，上述级数发散，当 x=1 时，上述级数收敛，且当 x=1 时，f(x)连续，故知上述展开式成立的范围为 1x317 【正确答案】 将 y=0 代入定义式，有 f(x)=f(x)+f(0)ex所以 f(0)=0于是所以对任意 x，f (x)存在
15、，且 f(x)=f(x)+aex解之，得f(x)=ex(aex.exdx+c)=ex(ax+c)由 f(0)=0，有 C=0从而 f(x)=axex18 【正确答案】 先证明当 0x1 时， 令有记有 从而知，当 0x1时，(0)0，即有 F(x) 0因 F(1)=0，所以当 0x1 时，F (x)0 又因 F(1)=0，所以当 0x1 时，F(x)0，从而知当 0x 1 时， 上式中令 故知当 1u+时， 又当 x=1 时，所以当 0x+时，有 且仅当 x=1时等号才成立19 【正确答案】 曲面 上点 M(，) 的法向量为切平面方程是 化简即得该切平面被三坐标面截得的三角形在 xOy 平面上
16、的投影区域为从而所以求 I 的最小值等价于求w=，0a，0 b，0 c 的最大值，约束条件是由拉格朗日乘数法得 显然，当 =a 或=0 时，w 最小，故当 时，w 最大，I 的最小值为20 【正确答案】 因故21 【正确答案】 其中=1， 2，3 T， =1 ，1， 1T，故22 【正确答案】 (I)将 f(x1，x 2，x 3)用配方法化为标准形，得 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x22+6x32 一 2x1x2+2x1x2 一 6x2x3 一(x 1x 2+x3)2+x22+5x32 一 4x2x3=(x1 一 x2+x3)2+(x22x3)2+x32令 即 得 f 的标准形为f(
17、x1，x 2，x 3)=y12+y22+y32 所作的可逆线性变换为 x=Cy，其中 A 的对应二次型的规范形为 y12+y22+y32正惯性指数 p=3=r=n，故知 A 是正定阵(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明 A 是正定阵 )()由(I)知是 f(x1，x 2，x 3)的对应矩阵，即 f(x1，x 2，x 3)=xTAx由(I)知，令 x=Cy，其中 得 f=xTAx=yTCTACy=yTEy，故 CTAC=E，A=(C -1)TC-1=DTD，其中 D=C-1由 故23 【正确答案】 由解得当 时，即同理可得 因为 px(x).py(y)p(x，y) ，故 X，Y 不相互独立24 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 是总体为 N(， 2)的简单随机样本值，首先构造似然函数 两边取对数得令且 ，得 和2 的最大似然估计量分别为25 【正确答案】 又因为 根据抽样分布 2(n 一1)的性质可得 估计量，于是所以 2 的最大似然估计 并非是 2 的无偏估计量
