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[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷388及答案与解析.doc

1、考研数学(数学一)模拟试卷 388 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 下列函数 f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= 中在点 x=0 处可导的是(A),(B) ,(C) ,(D),2 曲线 y= 的拐点的个数为(A)0(B) 1(C) 2(D)33 有一椭圆形薄板,长半轴为 a,短半轴为 b,薄板垂直立于液体中,而其短轴与液面相齐,液体的比重为 ,则液体对薄板的侧压力为4 若 f(1,0)为函数 f(x, y)=ex (ax+by 2)的极大值,则常数 a,b 应满足的条件是(A)a0 ,b=a+1(B) a0,b=2a(C) a0)和直线

2、 x=a,x=b 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的质心是( ,0,0),则 的定积分表达式是_12 设 xn= ,则 xn=_13 已知三元二次型 x TAx= + + +2x1x2+2ax1x3+2x2x3 的秩为 2,则其规范形为_14 在以原点为圆心的单位圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的,则任意画的弦其长度大于 1 的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 ()求累次积分 () 设连续函数 f(x)满足 f(x)=1+,求 I=16 设 f(x,y)在全平面有三阶连续偏导数,并满足试求:() ; ()f(

3、x,y)17 ()求级数 的收敛域; ()求证:和函数 S(x)=定义于0,+)且有界18 设 A(2,2),B(1,1), f 是从点 A 到点 B 的线段 下方的一条光滑定向曲线y=y(x),且它与 围成的面积为 2,又 (y)有连续导数,求曲线积分 I=(y)cosx2ydx+(y)sinx 2dy 19 f(x)在0,1上连续,在 (0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0 , 0(x(0,1);() 自然数 n,存在唯一的 xn(0,1),使得 f(xn)= 20 设 且 B=P1 AP () 求矩阵 A 的特征值与特征向量; ()当 时,求矩阵 B; ()求 A10021 设

4、 A 为三阶方阵, 为三维列向量,已知向量组 ,A,A 2 线性无关,且A3=3A2A 2 证明:()矩阵 B=(,A,A 4)可逆; ()B TB 是正定矩阵22 有三封不同的信随机投入编号为 1,2,3,4 的四个信箱中,以 X 表示有信的最小信箱号码,以 Y 表示无信的最大信箱号码,求 X,Y 的联合概率分布23 设总体 X 服从正态分布 N(,1),X 1,X 2,X 9 是取自总体 X 的简单随机样本,要在显著性水平 =005 下检验 H 0:= 0=0,H 1:0,如果选取拒绝域R= c ( )求 c 的值; ()若样本观测值的均值 =1,则在显著性水平=005 下是否可据此样本推

5、断 =0? ()若选取拒绝域 R= 1 ,求关于检验 H0:=0=0 的检验水平 (3)=0 99865)考研数学(数学一)模拟试卷 388 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 按定义分析,即分析 f(0)= 的存在性,并要逐一分析因此选(D)2 【正确答案】 D【试题解析】 先求出 y与 y“由 y= 在(, +)连续,且在 x= 两侧 y“变号,x=0 两侧 y“也变号 (0,0),均为 y= 的拐点,再无其他拐点因此,选(D)3 【正确答案】 B【试题解析】 取坐标系如图所示, 椭圆方程为=1对小区间x,x+dx对应的

6、小横条薄板,液体对它的压力于是液体对薄板的侧压力为 故应选(B)4 【正确答案】 B【试题解析】 应用二元函数取极值的必要条件得所以b=2a由于 A=f“ xx(1,0)=e x (ax+b-y22a) ( 1,0) =e(3a+b), B=f“ xy(1,0)=2yex (10) =0,C=f“ yy(1,0)=2e x (10) =2e , =AC B 2=2e2(3ab),再由二元函数取极值的必要条件0 得 3a-b0于是常数 a,b 应满足的条件为00,b=2a故应选(B)5 【正确答案】 B【试题解析】 n 个方程 n 个未知数的齐次方程组 Ax=0 有非零解 A=0 又可见 a=5

7、 能保证A =0,但A=0 并不必须 a=5因而 a=5 是充分条件并非必要条件故应选(B)6 【正确答案】 B【试题解析】 利用向量内积可计算出向量的长度由于又 A TA=(E4 T)T(E4 T)=(E4 T)(E4 T) =E8 T+16(T)T=E8 T+8T=E,而 T=(1,1, ,1) =n所以 故应选(B)7 【正确答案】 B【试题解析】 设 A 表示“第一次取出是次品”,B 表示“在余下的洗衣机中任取两台为正品”,则由全概率公式,有由贝叶斯公式,可得 故应选(B)8 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 EXi=01 i,DX i=009i ,i=1,2,15,则于是由切比

8、雪夫不等式,有故选(A)二、填空题9 【正确答案】 18【试题解析】 由反函数求导公式得 再由复合函数求导法得10 【正确答案】 216【试题解析】 先用曲线方程化简被积函数: I= C(9x2+4y2)+xdy=36C=36Cxdy 再用参数方程化为定积分:x=2cost,y=3sint,t0,2,则有 其中椭圆D 的面积为 611 【正确答案】 【试题解析】 根据下图 在空间 Oxyz 中,设该旋转体为,不妨设体密度为 1,按质心公式 其中 V 为 的体积,按旋转体体积公式 现按先二后一化三重积分为累次积分公式,过 x 轴上xa,b 处作平面与 x 轴垂直与 相交的截面区域记为 D(x),

9、它是圆域:y2+z2f2(x),面积为 f2(x),则12 【正确答案】 12ln2【试题解析】 简单的放大、缩小法不能解决问题,再看 xn 是否是某函数在某区间上的一个积分和 这是 f(x)= 在0,1上的一个积分和(将区间0,1n 等分)因此13 【正确答案】 【试题解析】 二次型矩阵 因为A =(a+2)(a1) 2,由秩 r(A)=2,易见 a=2由可知矩阵 A 的特征值为 3,3,0从而正交变换下二次型标准形为 ,故其规范形为14 【正确答案】 【试题解析】 如图 弦 AB 与 x 轴垂直,设其交点为 x,依题意该交点在横轴 x 上的位置是等可能的这是一个几何型概率问题设事件C 表示

10、“弦 AB 的长度AB大于 1”,依题意 C 的样本点集合为 C=x:AB=1=x:x ,样本空间 =x:x ,()=2,则根据几何概率定义可得三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 将 J 表成 其中 D:0y1, x1,如图所示, 现改换成先 y 后 x 的积分顺序得()因为,所以在0,1上积分上式可得将累次积分表成二重积分后交换积分顺序,可得 (其中D 如下图) 再对内层积分作变量替换并凑微分可得故 I=1+ ,解得 I=216 【正确答案】 () 先求 将第一式对 x 积分得 =yx+C(y)()由,求 f(x,y) 将第一式对 x 积分得 因此求得

11、 f(x,y)= x2y+ xy2+ax+by+c,其中 a,b,c 为 常数17 【正确答案】 () 令 ,问题转化为求幂级数 的收敛域先求收敛区间,再考察收敛区间的端点求解如下:令 t= ,我们考察幂级数 antn,其中 an= 由()为证当 x0,+)时级数 收敛,且和函数 S(x)在0,+)有界,自然的想法是给出级数一般项的估计 0 Mn(x0,+),只要 收敛就可得出结论 为了在0,+)上估计 ,我们求 f(x)=x2enx 在0,+)上的最大值:由因为 收敛,所以 在0,+)收敛,且 S(x)在0,)上有界18 【正确答案】 把该曲线积分分成两部分,其中一个积分的被积表达式易求原函

12、数,另一积分可添加辅助线 后用格林公式 I=(y)cosxdx+sinxdy2dy+ (2y)dx I1+I2 其中 I 2=(y)dsinx+sinxd(y)d(2y)=(y)sinx2y =2 为用格林公式求 I2,添加辅助线 围成区域 D,并构成 D 的负向边界,如图 于是又 的方程:y=x, x1,2,则因此 I2=(2y)dx=4 =4+3= 故 I=I 1+I2=19 【正确答案】 () 如图 由题设条件及罗尔定理,a(0,1),f(a)=0由 f“(x) f(x)在(0,1) f(x)在0,a ,在a,1f(x)f(0)=0(0f(1)=0(ax f(x)0(x(0,1) ( )

13、 由题设知存在 xM(0,1)使得f(xM)=M0要证 f(x) 在(0,1)存在零点 在(0,1)存在零点对 n=1, 2,3,引入辅助函数 Fn(x)=f(x) Fn(x)在0,1连续,在(0,1)可导,要证 Fn(x)=f(x) 在0 ,1) 零点,只须在 0,1 中找两点,F n(x)的函数值相等F n(0)=f(0)=0再找 Fn(x)在(0,1)的一个零点 因存在 n(xM, 1)使得 Fn(n)=0 在0, n 0,1上对 Fn(x)用罗尔定理 存在xn(0, n) (0,1) ,F n(xn)=0,即 f(xn)=20 【正确答案】 () 由矩阵 A 的特征多项式得矩阵 A 的

14、特征值 1=2=1, 3=3 由齐次线性方程组(E A)x=0,得基础解系 1=(4,1,2) T 由齐次方程组(3EA)x=0, 得基础解系2=(2,1,1) T 因此,矩阵 A 关于特征值 1=2=1 的特征向量为 k1(4,1,2)T, k10;而关于特征值 =3 的特征向量为 k2(2,1,1) T,k 20 ()由 P1 AP=B 有 P1 A100P=B100,故 A100=PB100p1 又于是21 【正确答案】 () 由于 A3=3A2A 2,故A4=3A22A 3=3A2 2(3A2A 2)=7A26A 若 k1+k2A+k3A4=0,即k1+k2A+k3(7A26A)=0,

15、亦即 k1+(k26k 3)A+7k3A2=0,因为 ,A,A 2线性无关,故 所以,A,A 4线性无关,因而矩阵 B 可逆 ()因为(B TB)T=BT(BT)T=BTB,故 BTB 是对称矩阵又 0,由于矩阵 B 可逆,恒有 Bx0,那么恒有 xT(BTB)x=(Bx)T(Bx)0,故二次型 xT(BTB)x 是正定二次型,从而矩阵 BTB 是正定矩阵22 【正确答案】 X,Y 的取值均为 1,2,3,4,可利用古典概型求联合分布,也可以先分别求出 X 的分布与 Y 的分布,即边缘分布,再求联合分布我们采取直接求联合分布 3 封信投入 4 个信箱,共有 43=64 种投法根据 X,Y 的含

16、义,显然有 PX=1, Y=1=PX=2,Y=2=PX=3 ,Y=3=PX=4,Y=4=0 PX=3 ,Y=1=0,PX=4 , Y=1=PX=4,Y=2=0,PX=2,Y=1=P1 号信箱无信,2,3,4号信箱均有信= =664PX=3,Y=2=P1,2 号空,3,4 号有信= =664PX=4,Y=3=P4 号有信,1,2,3 号均空=164,PX=3 ,Y=4=P3 号有信,其他均空 =164,PX=2,Y=3=P2,4 号有信,1,3 号空=664PX=1,Y=2=P1,3,4 有信,2 号空= =664PX=1 ,Y=3=P1,4 号有信, 2,3 号空 +P1,2,4 号有信,3

17、号空= =1264 同理可以计算出 PX=1,Y=4=1964, PX=2,Y=4=764把以上各数填入表中(如下表) ,表中的箭头表示我们的计算顺序23 【正确答案】 () 依题意 H2:= 2=0,H 1:0,由于总体方差 2= =1 已知,我们选取检验的统计量为 在 H0 成立条件下,U= N(0,1)由于 =005,可知 PU196=0 05,因此检验的拒绝域为 R=U196=3 196= 于是c=1963065 () 由于 =1065R,因此不能据此样本推断 =0,即应否定 =0 的假设 ()由于检验水平 是在 H0 成立时拒绝 H0 的最大概率,因此所求的显著性水平 为 =P 1=P3 3=PU 3=1PU 3=12(3)1=00027

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