1、考研数学（数学一）模拟试卷 388 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列函数 f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= 中在点 x=0 处可导的是（A），（B） ，（C） ，（D），2 曲线 y= 的拐点的个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）33 有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 ，则液体对薄板的侧压力为4 若 f(1，0)为函数 f(x， y)=ex (ax+by 2)的极大值，则常数 a，b 应满足的条件是（A）a0 ，b=a+1（B） a0，b=2a（C） a0)和直线
2、 x=a，x=b 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的质心是( ，0，0)，则 的定积分表达式是_12 设 xn= ，则 xn=_13 已知三元二次型 x TAx= + + +2x1x2+2ax1x3+2x2x3 的秩为 2，则其规范形为_14 在以原点为圆心的单位圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，则任意画的弦其长度大于 1 的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 ()求累次积分 () 设连续函数 f(x)满足 f(x)=1+，求 I=16 设 f(x，y)在全平面有三阶连续偏导数，并满足试求：() ； ()f(
3、x，y)17 ()求级数 的收敛域； ()求证：和函数 S(x)=定义于0，+)且有界18 设 A(2，2)，B(1，1)， f 是从点 A 到点 B 的线段 下方的一条光滑定向曲线y=y(x)，且它与 围成的面积为 2，又 (y)有连续导数，求曲线积分 I=(y)cosx2ydx+(y)sinx 2dy 19 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0 ， 0(x(0，1)；() 自然数 n，存在唯一的 xn(0，1)，使得 f(xn)= 20 设 且 B=P1 AP () 求矩阵 A 的特征值与特征向量； ()当 时，求矩阵 B； ()求 A10021 设
4、 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且A3=3A2A 2 证明：()矩阵 B=(，A，A 4)可逆； ()B TB 是正定矩阵22 有三封不同的信随机投入编号为 1，2，3，4 的四个信箱中，以 X 表示有信的最小信箱号码，以 Y 表示无信的最大信箱号码，求 X，Y 的联合概率分布23 设总体 X 服从正态分布 N(，1)，X 1，X 2，X 9 是取自总体 X 的简单随机样本，要在显著性水平 =005 下检验 H 0：= 0=0，H 1：0，如果选取拒绝域R= c ( )求 c 的值； ()若样本观测值的均值 =1，则在显著性水平=005 下是否可据此样本推
5、断 =0? ()若选取拒绝域 R= 1 ，求关于检验 H0：=0=0 的检验水平 (3)=0 99865)考研数学（数学一）模拟试卷 388 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 按定义分析，即分析 f(0)= 的存在性，并要逐一分析因此选(D)2 【正确答案】 D【试题解析】 先求出 y与 y“由 y= 在(， +)连续，且在 x= 两侧 y“变号，x=0 两侧 y“也变号 (0，0)，均为 y= 的拐点，再无其他拐点因此，选(D)3 【正确答案】 B【试题解析】 取坐标系如图所示， 椭圆方程为=1对小区间x，x+dx对应的
6、小横条薄板，液体对它的压力于是液体对薄板的侧压力为 故应选(B)4 【正确答案】 B【试题解析】 应用二元函数取极值的必要条件得所以b=2a由于 A=f“ xx(1，0)=e x (ax+b-y22a) ( 1，0) =e(3a+b)， B=f“ xy(1，0)=2yex (10) =0，C=f“ yy(1，0)=2e x (10) =2e ， =AC B 2=2e2(3ab)，再由二元函数取极值的必要条件0 得 3a-b0于是常数 a，b 应满足的条件为00，b=2a故应选(B)5 【正确答案】 B【试题解析】 n 个方程 n 个未知数的齐次方程组 Ax=0 有非零解 A=0 又可见 a=5
7、 能保证A =0，但A=0 并不必须 a=5因而 a=5 是充分条件并非必要条件故应选(B)6 【正确答案】 B【试题解析】 利用向量内积可计算出向量的长度由于又 A TA=(E4 T)T(E4 T)=(E4 T)(E4 T) =E8 T+16(T)T=E8 T+8T=E，而 T=(1，1， ，1) =n所以 故应选(B)7 【正确答案】 B【试题解析】 设 A 表示“第一次取出是次品”，B 表示“在余下的洗衣机中任取两台为正品”，则由全概率公式，有由贝叶斯公式，可得 故应选(B)8 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 EXi=01 i，DX i=009i ，i=1，2，15，则于是由切比
8、雪夫不等式，有故选(A)二、填空题9 【正确答案】 18【试题解析】 由反函数求导公式得 再由复合函数求导法得10 【正确答案】 216【试题解析】 先用曲线方程化简被积函数： I= C(9x2+4y2)+xdy=36C=36Cxdy 再用参数方程化为定积分：x=2cost，y=3sint，t0，2，则有 其中椭圆D 的面积为 611 【正确答案】 【试题解析】 根据下图 在空间 Oxyz 中，设该旋转体为，不妨设体密度为 1，按质心公式 其中 V 为 的体积，按旋转体体积公式 现按先二后一化三重积分为累次积分公式，过 x 轴上xa，b 处作平面与 x 轴垂直与 相交的截面区域记为 D(x)，
9、它是圆域：y2+z2f2(x)，面积为 f2(x)，则12 【正确答案】 12ln2【试题解析】 简单的放大、缩小法不能解决问题，再看 xn 是否是某函数在某区间上的一个积分和 这是 f(x)= 在0，1上的一个积分和(将区间0，1n 等分)因此13 【正确答案】 【试题解析】 二次型矩阵 因为A =(a+2)(a1) 2，由秩 r(A)=2，易见 a=2由可知矩阵 A 的特征值为 3，3，0从而正交变换下二次型标准形为 ，故其规范形为14 【正确答案】 【试题解析】 如图 弦 AB 与 x 轴垂直，设其交点为 x，依题意该交点在横轴 x 上的位置是等可能的这是一个几何型概率问题设事件C 表示
10、“弦 AB 的长度AB大于 1”，依题意 C 的样本点集合为 C=x：AB=1=x：x ，样本空间 =x：x ，()=2，则根据几何概率定义可得三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 将 J 表成 其中 D：0y1， x1，如图所示， 现改换成先 y 后 x 的积分顺序得()因为，所以在0，1上积分上式可得将累次积分表成二重积分后交换积分顺序，可得 (其中D 如下图) 再对内层积分作变量替换并凑微分可得故 I=1+ ，解得 I=216 【正确答案】 () 先求 将第一式对 x 积分得 =yx+C(y)()由，求 f(x，y) 将第一式对 x 积分得 因此求得
11、 f(x，y)= x2y+ xy2+ax+by+c，其中 a，b，c 为 常数17 【正确答案】 () 令 ，问题转化为求幂级数 的收敛域先求收敛区间，再考察收敛区间的端点求解如下：令 t= ，我们考察幂级数 antn，其中 an= 由()为证当 x0，+)时级数 收敛，且和函数 S(x)在0，+)有界，自然的想法是给出级数一般项的估计 0 Mn(x0，+)，只要 收敛就可得出结论 为了在0，+)上估计 ，我们求 f(x)=x2enx 在0，+)上的最大值：由因为 收敛，所以 在0，+)收敛，且 S(x)在0，)上有界18 【正确答案】 把该曲线积分分成两部分，其中一个积分的被积表达式易求原函
12、数，另一积分可添加辅助线 后用格林公式 I=(y)cosxdx+sinxdy2dy+ (2y)dx I1+I2 其中 I 2=(y)dsinx+sinxd(y)d(2y)=(y)sinx2y =2 为用格林公式求 I2，添加辅助线 围成区域 D，并构成 D 的负向边界，如图 于是又 的方程：y=x， x1，2，则因此 I2=(2y)dx=4 =4+3= 故 I=I 1+I2=19 【正确答案】 () 如图 由题设条件及罗尔定理，a(0，1)，f(a)=0由 f“(x) f(x)在(0，1) f(x)在0，a ，在a，1f(x)f(0)=0(0f(1)=0(ax f(x)0(x(0，1) ( )
13、 由题设知存在 xM(0，1)使得f(xM)=M0要证 f(x) 在(0，1)存在零点 在(0，1)存在零点对 n=1， 2，3，引入辅助函数 Fn(x)=f(x) Fn(x)在0，1连续，在(0，1)可导，要证 Fn(x)=f(x) 在0 ，1) 零点，只须在 0，1 中找两点，F n(x)的函数值相等F n(0)=f(0)=0再找 Fn(x)在(0，1)的一个零点 因存在 n(xM， 1)使得 Fn(n)=0 在0， n 0，1上对 Fn(x)用罗尔定理 存在xn(0， n) (0，1) ，F n(xn)=0，即 f(xn)=20 【正确答案】 () 由矩阵 A 的特征多项式得矩阵 A 的
14、特征值 1=2=1， 3=3 由齐次线性方程组(E A)x=0，得基础解系 1=(4，1，2) T 由齐次方程组(3EA)x=0， 得基础解系2=(2，1，1) T 因此，矩阵 A 关于特征值 1=2=1 的特征向量为 k1(4，1，2)T， k10；而关于特征值 =3 的特征向量为 k2(2，1，1) T，k 20 ()由 P1 AP=B 有 P1 A100P=B100，故 A100=PB100p1 又于是21 【正确答案】 () 由于 A3=3A2A 2，故A4=3A22A 3=3A2 2(3A2A 2)=7A26A 若 k1+k2A+k3A4=0，即k1+k2A+k3(7A26A)=0，
15、亦即 k1+(k26k 3)A+7k3A2=0，因为 ，A，A 2线性无关，故 所以，A，A 4线性无关，因而矩阵 B 可逆 ()因为(B TB)T=BT(BT)T=BTB，故 BTB 是对称矩阵又 0，由于矩阵 B 可逆，恒有 Bx0，那么恒有 xT(BTB)x=(Bx)T(Bx)0，故二次型 xT(BTB)x 是正定二次型，从而矩阵 BTB 是正定矩阵22 【正确答案】 X，Y 的取值均为 1，2，3，4，可利用古典概型求联合分布，也可以先分别求出 X 的分布与 Y 的分布，即边缘分布，再求联合分布我们采取直接求联合分布 3 封信投入 4 个信箱，共有 43=64 种投法根据 X，Y 的含
16、义，显然有 PX=1， Y=1=PX=2，Y=2=PX=3 ，Y=3=PX=4，Y=4=0 PX=3 ，Y=1=0，PX=4 ， Y=1=PX=4，Y=2=0，PX=2，Y=1=P1 号信箱无信，2，3，4号信箱均有信= =664PX=3，Y=2=P1，2 号空，3，4 号有信= =664PX=4，Y=3=P4 号有信，1，2，3 号均空=164，PX=3 ，Y=4=P3 号有信，其他均空 =164，PX=2，Y=3=P2，4 号有信，1，3 号空=664PX=1，Y=2=P1，3，4 有信，2 号空= =664PX=1 ，Y=3=P1，4 号有信， 2，3 号空 +P1，2，4 号有信，3
17、号空= =1264 同理可以计算出 PX=1，Y=4=1964， PX=2，Y=4=764把以上各数填入表中(如下表) ，表中的箭头表示我们的计算顺序23 【正确答案】 () 依题意 H2：= 2=0，H 1：0，由于总体方差 2= =1 已知，我们选取检验的统计量为 在 H0 成立条件下，U= N(0，1)由于 =005，可知 PU196=0 05，因此检验的拒绝域为 R=U196=3 196= 于是c=1963065 () 由于 =1065R，因此不能据此样本推断 =0，即应否定 =0 的假设 ()由于检验水平 是在 H0 成立时拒绝 H0 的最大概率，因此所求的显著性水平 为 =P 1=P3 3=PU 3=1PU 3=12(3)1=00027
