1、考研数学(数学一)模拟试卷 425 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 下列无穷小中阶数最高的是( )(A)e xe tanx(B)(C) ln(1+x)sinx(D)2 下列命题正确的是( )(A)若 f(x)在 x0 处可导,则一定存在 0,在 xx 0 内 f(x)可导(B)若 f(x)在 x0 处连续,则一定存在 0,在xx 0 内 f(x)连续(C)若 存在,则 f(x)在 x0 处可导(D)若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导, f(x)在 x0 处连续,且 存在,则 fx)在 x0 处可导,且3 设 f(x)二阶连续可导,g(x)连续,
2、且 ,则( )(A)f(0)为 f(x)的极大值(B) f(0)为 f(x)的极小值(C) (0,f(0)为 y=f(x)的拐点(D)f(0)不是 f(x)的极值,(x,f(0)也不是 y=f(x)的拐点4 当 x=2 时,级数 条件收敛,则级数 的收敛半径为( )(A)R=2(B) R=4(C) R=1(D)5 设 A 为可逆矩阵,令 ,则 A1 P1100AP21 等于( )6 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=1, 2=2, 3=4,对应的特征向量为 1, 2, 3,令 P=(3 2, 21,5 3),则 P1 (A*+2E)P 等于( )7 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(
3、x, y),其边缘分布函数为 FX(x)及FY(y),则 PXx,Yy=( )(A)F Y(y)F(x,y)(B) FX(x)F(x,y)(C) F(x,y)F X(x)FY(y)(D)1F X(x)FY(y)8 设总体 X 服从标准正态分布,(X 1,X 2,X n)为总体的简单样本,则( )二、填空题9 微分方程 x2y+3xy+y=0 有极值 y(1)=2 的特解 y(x),则 y(x)=_10 设 f(x)= _11 设 为过直线 且与平面 x2y+z 3=0 垂直的平面,则点M(3,4,5)到平面 的距离为 _12 设 z=f(x,y)连续,且 _13 设 为三维空间的两组不同的基,
4、令 =1+223 3,则 在基 1, 2, 3 下的坐标为_14 设 X,Y 是两个相互独立且服从正态分布 N(0, 1)的随机变量,则随机变量Z=max(X,Y)的数学期望 E(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y+yy=(46x)e -x 的一个解,且15 求 y(x),并求 y=y(x)到 x 轴的最大距离16 计算17 设 f(x)在0,1上二阶连续可导,且 f(0)=f(1),证明:存在 (0,1),使得17 设 f(x)为 a,a 上的连续的偶函数且 f(x)0,令 F(x)=18 证明:F(x)单调增加19 当
5、x 取何值时,F(x)取最小值?20 当 F(x)的最小值为 f(a)a 21 时,求函数 f(x)20 设 ,其中 L 是绕过原点的正向闭曲线, (y)可导且 (1)=421 求 (y);22 求 A23 计算 ,其中为圆柱面 x2+y2=1 及平面 z=x+2,z=0 所围立体的表面24 就 a,b 的不同取值情况讨论方程组 何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解,在有无数个解时求其通解24 设 =(1, 1,1) T 是 的一个特征向量25 确定参数 a,b 及特征向量口所对应的特征值;26 问 A 是否可以对角化?说明理由26 设 X 的概率密度为27 求 a,b 的值;28 求随机
6、变量 X 的分布函数;29 求 Y=X3 的密度函数29 设 X1,X 2,X n 是来自总体 X 的简单随机样本,且总体 X 的密度函数为30 求 的矩估计量;31 求 的极大似然估计量考研数学(数学一)模拟试卷 425 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 令得 f(x)在 x=0 处可导(也连续 )对任意的 a0,因为 不存在,所以 f(x)在 x=a处不连续,当然也不可导,即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点,(A) ,(B)不对;令 所以 f(x)在 x=0 处不连续,当然也
7、不可导,(C) 不对;因为f(x)在 x0 处连续且在 x0 的去心邻域内可导,所以由微分中值定理有其中 介于 x0 与 z 之间,两边取极限得 存在,即 f(x)在 x0 处可导,且3 【正确答案】 C【试题解析】 故(0,f(0)为 y=f(x)的拐点,应选 C4 【正确答案】 A【试题解析】 因为当 x=2 时,级数 条件收敛,所以级数 的收敛半径为 4,而 ,且逐项求导后的级数与原级数有相同的收敛半径,又 的收敛半径为 R= =2,所以级数 的收敛半径为 R=2,选(A)5 【正确答案】 B6 【正确答案】 B【试题解析】 A *+2E 对应的特征值为 1=10, 2=2, 3 =0,
8、对应的特征向量为毒1, 2, 3,则3 2,2 1,5 3 仍然是 A*+2E 的对应于特征值2=2, 1=10, 3=0 的特征向量,于是有选(B)7 【正确答案】 A【试题解析】 令 A=Xx,B=Yy ,则 PX x,Yy=P =P(B)=P(AB)=FY (y)=F(x,y),应选(A)8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 X1,X 2,X n 与总体服从相同的分布,所以 ,(A)不对;显然 N(0,n),所以(B) 不对;由 ,(n1)S 2 2 (n1)且 与(n1)S 2 相互独立,则二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 当 0x1 时,f
9、(x)= 当 x=1 时,f(x)=0;11 【正确答案】 【试题解析】 过直线 的平面束为(2xz4)+(2y+3z+2)=0,即 2x+2y+(31)z+2 4=0,由2 ,2,31.1 ,2,1)=0 得 =1,从而:x+y+zi=0,于是12 【正确答案】 2dxdy【试题解析】 令 ,由 f(x,y)连续得 f(1,2)=3 由得 f(x,y)2x+yf(1,2)=0() ,即z=f(x,y)f(1,2)=2(x 1)(y2)+0() ,故13 【正确答案】 (4,2,2)【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 因为 X,Y 是两个相互独立且服从标准正态分布的随机变量,所以(
10、X, Y)的联合密度函数为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 2y+ yy=(4 6x)e -x 的特征方程为 22+1=0,特征值为1=1, 2= 2y+ yy=0 的通解为 令 2y+ yy=(46x)e -x 的通解为 y0=(ax2+bx) e-x,代入得 a=1,b=0 ,原方程的通解为由 得 y(0)=0,y(0)=0 ,代入通解得C1=C2=0,故 y=x2e-x 由 y=(2xx 2) e-x=0 得 x=2 当 x(0,2)时,y0;当 x2 时,y0,则 x=2 为 y(x)的最大点,故最大距离为 dmax=y(2)=4e-216 【正确答
11、案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 因为 且 f(x)为偶函数。所以 F(0)=0,又因为 F (0)0,所以 x=0 为 F(x)的唯一极小点,也为最小点故最小值为20 【正确答案】 由 =f(a)a 21 两边求导得 2af(a)=f(a)2a 于是 f(x)2xf (x)=2x21 【正确答案】 任取一条不绕过原点的正向闭曲线 L,在 L 上任取两点 A,B,将 L 分成 L1,L 2,过 A,B 作一条曲线 L3,使 L3 与 L1, L2 围成绕原点的闭曲线,由格林公式得两式相减 ,即曲线积分与路径无关,于是 ,从而有(y)+y(y)= (y),即 (y
12、) =0,解得 (y)=Cy2,又因为 (1)=4,所以 C=4,于是 (y)=4y222 【正确答案】 作 L0:x 2+4y2=r2,(其中 r0,L 0 在 L 内,取逆时针方向),设由L0 围成的区域为 D1,由 L0,L 1 围成的区域为 D2,由格林公式23 【正确答案】 1:z=x+2(x 2+y21),在 xOy 坐标平面上投影区域为 D1:x 2+y212:x 2+y2 =1(0zx+2),在:xOz 坐标平面上投影区域为 D2:x 1,0zx+2),又 2 关于xOz 坐标平面左右对称,被积函数关于 Y 是偶函数, 21 (右半部分) :24 【正确答案】 1)当 a1,a
13、6 时,方程组只有唯一解;2)当 a=1 时,当 a=1,b36 时,方程组无解;当 a=1,b=36 时;方程组有无数个解,25 【正确答案】 由 A =,得 解得 a=3,b=0,=126 【正确答案】 由EA=(+1) 3=0,得 =1 是三重特征值 因为 r(EA)=2,所以 =1 对应的线性无关的特征向量只有一个,所以 A 不可以对角化27 【正确答案】 28 【正确答案】 当 x2 时,F(x)=0 ;当2x l 时,当1x0 时, 当x0 时,29 【正确答案】 F Y (y)=PX3y,当 y8 时,F Y (y)=0;当8Y 1 时,F Y (y)= 当1Y0 时,F Y (y)= 当 Y0 时,FY (y)=30 【正确答案】 31 【正确答案】
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