1、考研数学（数学一）模拟试卷 425 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列无穷小中阶数最高的是( )（A）e xe tanx（B）（C） ln(1+x)sinx（D）2 下列命题正确的是( )（A）若 f(x)在 x0 处可导，则一定存在 0，在 xx 0 内 f(x)可导（B）若 f(x)在 x0 处连续，则一定存在 0，在xx 0 内 f(x)连续（C）若 存在，则 f(x)在 x0 处可导（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导， f(x)在 x0 处连续，且 存在，则 fx)在 x0 处可导，且3 设 f(x)二阶连续可导，g(x)连续，
2、且 ，则( )（A）f(0)为 f(x)的极大值（B） f(0)为 f(x)的极小值（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(x，f(0)也不是 y=f(x)的拐点4 当 x=2 时，级数 条件收敛，则级数 的收敛半径为( )（A）R=2（B） R=4（C） R=1（D）5 设 A 为可逆矩阵，令 ，则 A1 P1100AP21 等于( )6 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=4，对应的特征向量为 1， 2， 3，令 P=(3 2， 21，5 3)，则 P1 (A*+2E)P 等于( )7 设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 F(
3、x， y)，其边缘分布函数为 FX(x)及FY(y)，则 PXx，Yy=( )（A）F Y(y)F(x，y)（B） FX(x)F(x，y)（C） F(x，y)F X(x)FY(y)（D）1F X(x)FY(y)8 设总体 X 服从标准正态分布，(X 1，X 2，X n)为总体的简单样本，则( )二、填空题9 微分方程 x2y+3xy+y=0 有极值 y(1)=2 的特解 y(x)，则 y(x)=_10 设 f(x)= _11 设 为过直线 且与平面 x2y+z 3=0 垂直的平面，则点M(3，4，5)到平面 的距离为 _12 设 z=f(x，y)连续，且 _13 设 为三维空间的两组不同的基，
4、令 =1+223 3，则 在基 1， 2， 3 下的坐标为_14 设 X，Y 是两个相互独立且服从正态分布 N(0， 1)的随机变量，则随机变量Z=max(X，Y)的数学期望 E(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 y=y(x)(x0)是微分方程 2y+yy=(46x)e -x 的一个解，且15 求 y(x)，并求 y=y(x)到 x 轴的最大距离16 计算17 设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 (0，1)，使得17 设 f(x)为 a，a 上的连续的偶函数且 f(x)0，令 F(x)=18 证明：F(x)单调增加19 当
5、x 取何值时，F(x)取最小值?20 当 F(x)的最小值为 f(a)a 21 时，求函数 f(x)20 设 ，其中 L 是绕过原点的正向闭曲线， (y)可导且 (1)=421 求 (y)；22 求 A23 计算 ，其中为圆柱面 x2+y2=1 及平面 z=x+2，z=0 所围立体的表面24 就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解，在有无数个解时求其通解24 设 =(1， 1，1) T 是 的一个特征向量25 确定参数 a，b 及特征向量口所对应的特征值；26 问 A 是否可以对角化?说明理由26 设 X 的概率密度为27 求 a，b 的值；28 求随机
6、变量 X 的分布函数；29 求 Y=X3 的密度函数29 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为30 求 的矩估计量；31 求 的极大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 425 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 令得 f(x)在 x=0 处可导(也连续 )对任意的 a0，因为 不存在，所以 f(x)在 x=a处不连续，当然也不可导，即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点，(A) ，(B)不对；令 所以 f(x)在 x=0 处不连续，当然也
7、不可导，(C) 不对；因为f(x)在 x0 处连续且在 x0 的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有其中 介于 x0 与 z 之间，两边取极限得 存在，即 f(x)在 x0 处可导，且3 【正确答案】 C【试题解析】 故(0，f(0)为 y=f(x)的拐点，应选 C4 【正确答案】 A【试题解析】 因为当 x=2 时，级数 条件收敛，所以级数 的收敛半径为 4，而 ，且逐项求导后的级数与原级数有相同的收敛半径，又 的收敛半径为 R= =2，所以级数 的收敛半径为 R=2，选(A)5 【正确答案】 B6 【正确答案】 B【试题解析】 A *+2E 对应的特征值为 1=10， 2=2， 3 =0，
8、对应的特征向量为毒1， 2， 3，则3 2，2 1，5 3 仍然是 A*+2E 的对应于特征值2=2， 1=10， 3=0 的特征向量，于是有选(B)7 【正确答案】 A【试题解析】 令 A=Xx，B=Yy ，则 PX x，Yy=P =P(B)=P(AB)=FY (y)=F(x，y)，应选(A)8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 X1，X 2，X n 与总体服从相同的分布，所以 ，(A)不对；显然 N(0，n)，所以(B) 不对；由 ，(n1)S 2 2 (n1)且 与(n1)S 2 相互独立，则二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 当 0x1 时，f
9、(x)= 当 x=1 时，f(x)=0；11 【正确答案】 【试题解析】 过直线 的平面束为(2xz4)+(2y+3z+2)=0，即 2x+2y+(31)z+2 4=0，由2 ，2，31.1 ，2，1)=0 得 =1，从而：x+y+zi=0，于是12 【正确答案】 2dxdy【试题解析】 令 ，由 f(x，y)连续得 f(1，2)=3 由得 f(x，y)2x+yf(1，2)=0() ，即z=f(x，y)f(1，2)=2(x 1)(y2)+0() ，故13 【正确答案】 (4，2，2)【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 因为 X，Y 是两个相互独立且服从标准正态分布的随机变量，所以(
10、X， Y)的联合密度函数为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 2y+ yy=(4 6x)e -x 的特征方程为 22+1=0，特征值为1=1， 2= 2y+ yy=0 的通解为 令 2y+ yy=(46x)e -x 的通解为 y0=(ax2+bx) e-x，代入得 a=1，b=0 ，原方程的通解为由 得 y(0)=0，y(0)=0 ，代入通解得C1=C2=0，故 y=x2e-x 由 y=(2xx 2) e-x=0 得 x=2 当 x(0，2)时，y0；当 x2 时，y0，则 x=2 为 y(x)的最大点，故最大距离为 dmax=y(2)=4e-216 【正确答
11、案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 因为 且 f(x)为偶函数。所以 F(0)=0，又因为 F (0)0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小点，也为最小点故最小值为20 【正确答案】 由 =f(a)a 21 两边求导得 2af(a)=f(a)2a 于是 f(x)2xf (x)=2x21 【正确答案】 任取一条不绕过原点的正向闭曲线 L，在 L 上任取两点 A，B，将 L 分成 L1，L 2，过 A，B 作一条曲线 L3，使 L3 与 L1， L2 围成绕原点的闭曲线，由格林公式得两式相减 ，即曲线积分与路径无关，于是 ，从而有(y)+y(y)= (y)，即 (y
12、) =0，解得 (y)=Cy2，又因为 (1)=4，所以 C=4，于是 (y)=4y222 【正确答案】 作 L0：x 2+4y2=r2，(其中 r0，L 0 在 L 内，取逆时针方向)，设由L0 围成的区域为 D1，由 L0，L 1 围成的区域为 D2，由格林公式23 【正确答案】 1：z=x+2(x 2+y21)，在 xOy 坐标平面上投影区域为 D1：x 2+y212：x 2+y2 =1(0zx+2)，在：xOz 坐标平面上投影区域为 D2：x 1，0zx+2)，又 2 关于xOz 坐标平面左右对称，被积函数关于 Y 是偶函数， 21 (右半部分) ：24 【正确答案】 1)当 a1，a
13、6 时，方程组只有唯一解；2)当 a=1 时，当 a=1，b36 时，方程组无解；当 a=1，b=36 时；方程组有无数个解，25 【正确答案】 由 A =，得 解得 a=3，b=0，=126 【正确答案】 由EA=(+1) 3=0，得 =1 是三重特征值 因为 r(EA)=2，所以 =1 对应的线性无关的特征向量只有一个，所以 A 不可以对角化27 【正确答案】 28 【正确答案】 当 x2 时，F(x)=0 ；当2x l 时，当1x0 时， 当x0 时，29 【正确答案】 F Y (y)=PX3y，当 y8 时，F Y (y)=0；当8Y 1 时，F Y (y)= 当1Y0 时，F Y (y)= 当 Y0 时，FY (y)=30 【正确答案】 31 【正确答案】
