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[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷457及答案与解析.doc

1、考研数学(数学一)模拟试卷 457 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y=x+arccotx 的渐近线条数为( )(A)0。(B) 1。(C) 2。(D)3。2 设 f(x0)=0,f“(x 0)0,则必存在一个正数 ,使得 ( )(A)曲线 y=f(x)在(x 0-,x 0+)上是凹的。(B)曲线 y=f(x)在(x 0-,x 0+)上是凸的。(C)曲线 y=f(x)在(x 0-,x 0上单调减少,而在x 0,x 0+)上单调增加。(D)曲线 y=f(x)在(x 0-,x 0上单调增加,而在x 0,x 0+)上单调减少。3 累次积分 02 d

2、0cosf(cos,sin)d 采用直角坐标系可表示为 ( )4 设 f(x)可导,F(x)=f(x)(1+|sinx|),则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )(A)充分必要条件。(B)充分条件但非必要条件。(C)必要条件但非充分条件。(D)既非充分又非必要条件。5 设 A,B 为 n 阶对称矩阵,下列结论不正确的是 ( )(A)AB 为对称矩阵。(B)设 A,B 可逆,则 A-1+B-1 为对称矩阵。(C) A+B 为对称矩阵。(D)kA 为对称矩阵。6 设三维列向量 1, 2, 3 线性无关,k,l 任意实数,则向量组 k1-l2,k 2-l3,k 3-l1( )(A)

3、线性相关性只与 k 有关。(B)线性相关性只与 l 有关。(C)线性相关性与 k 和 l 都有关。(D)无论 k 和 l 取何值,总是线性相关。7 设相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从 P(1)分布,则 Px=1|X+Y=2的值为( )(A)12。(B) 14。(C) 16。(D)18。8 设二维随机变量(X 1,X 2)的概率密度函数为 f(x1, x2),则随机变量(Y 1,Y 2)(其中Y1=2X1,Y 2= X2)的概率密度函数 f1(y1,y 2)等于 ( )二、填空题9 数列极限 I= =_。10 已知函数 y=|ln|x|与直线 y=kx 有且只有两个交点,则 k=_。11

4、设 z=z(x,y)由方程 F(x+ )=0 所确定,其中 F 是任意可微函数,则 x=_。12 曲线 y= (0x1)绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面的面积为_。13 设 A 为 n 阶实对称正交矩阵,且 1 为 A 的 r 重特征根,则|3E-A|=_。14 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 13,且 E(X)=0,E(Y)=1 ,E(X 2)=4,E(Y 2)=10,则 E(X+Y)2=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在-,上连续,且有 f(x)= +-f(x)sinxdx,求 f(x)。15 设函数 f(x)=1- ,数列x n满足 0x 1

5、1 且 xn+1=f(xn)。16 证明 f(x)在(-1 ,1) 上有且只有一个零点;17 数列x n是否收敛,若收敛,求出极限 xn;若不收敛,请说明理由。18 求由方程 x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0 所确定的函数 z=z(x,y)的极值。19 设函数 f(x)在0,1上连续,在 (0,1)上可导,且 f(0)=0,f(1)=1,证明:对于任意正数 a,b,总存在 x1, x2(0,1),使得 =a+b 成立。20 设 V(t)是曲线 y= 在 x0,t的弧段绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积,求常数 c 使得 V(c)= V(t)。21 线性方程组 有公共的非零解,求

6、a,b 的值和全部公共解。21 设二次型 f(x1,x 2,x 3)=4x22-3x32+2ax1x2-4x1x3+8x2x3(其中 a 为整数)经过正交变换化为标准形 f=y12+6y22+by32,求:22 参数 a,b 的值;23 正交变换矩阵 Q。23 设随机变量 U 在区间-2,2上服从均匀分布。随机变量试求:24 X 和 Y 的联合概率分布;25 D(X+Y)。25 已知总体 X 的概率密度 f(x)= (0),X 1,X 2,X n 是来自总体 X 的简单随机样本,Y=X 2。26 求 Y 的数学期望 E(Y);考研数学(数学一)模拟试卷 457 答案与解析一、选择题下列每题给出

7、的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 函数 y=x+arccotx 的定义域为 R,则曲线没有垂直渐近线。因为(x+arccotx)和 (x+arccotx)都不存在,所以曲线没有水平渐近线。又因为所以曲线有斜渐近线 y=x 和y=x+。2 【正确答案】 C【试题解析】 已知 f“(x0)= 0,由极限的不等式性质可知,存在 0,当 x(x0-,x 0+)且 xx0 时, 0。因此,当 x(x0-,x 0)时,f(x)0;当 x(x0,x 0+)时,f(x)0。又 f(x)在 x=x0 连续,所以 f(x)在(x0-,x 0上单调减少,在x 0,x 0+)上

8、单调增加,故选 C。3 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意,=cos 表示圆 x2+y2=x 的上半部分,积分区域如图所示:可得 02 d0cosf(cos,sin)d= 01dx f(x,y)dy,故选 D。4 【正确答案】 A【试题解析】 充分性:因为 f(0)=0,所以即 F(x)在 x=0 处可导。必要性:设 F(x)=f(x)(1+|sinx|)在 x=0 处可导。因 f(x)可导,所以 f(x)|sinx|在 x=0 处可导,由此可知 即 f(0)=-f(0),所以 f(0)=0。故选A。5 【正确答案】 A【试题解析】 根据(A+B) T=AT+BT=A+B,可得 A+B 为

9、对称矩阵;根据(A -1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1,得 A-1+B-1 为对称矩阵;由(kA) T=kAT=kA,得 kA 为对称矩阵。故选 A。6 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1, 2, 3 线性无关,可以把 1, 2, 3 看作一组基,则(k 1-l2,k 2-l3,k 3-l1)=(1, 2, 3) 且 =k3-l2。当且仅当 k=l 时行列式为零,此时 k1-l2,k 2-l3,k 3-l1 线性相关。故选 C。7 【正确答案】 A【试题解析】 根据条件概率的定义 PX=1|X+Y=2= PX+Y=2= PX=k, Y=2-k= PX=kPY=2-

10、k=e-2( )=2e-2,PX=1 ,X+Y=2=PX=1,Y=1=PX=1PY=1=e -1e-1=e-2,因此 PX=1|X+Y=2= =12。故选A。8 【正确答案】 B【试题解析】 设(X 1,X 2)的分布函数为 F(x1,x 2),(Y 1,Y 2)的分布函数为F1(y1,y 2),则有 F1(y1,y 2)=Py1y1,Y 2y2=P2X1y1, X2y2=PX1y12 ,X 23y2=F(y12,3y 2),所以 f1(y1,y 2)= f(y12,3y 2)。故选 B。二、填空题9 【正确答案】 12【试题解析】 =(arctant)|t=1= |t=1=12。10 【正确

11、答案】 1e 或 0【试题解析】 首先画出函数 y=|ln|x|的图形, 注意到函数y=|ln|x|关于 y 轴对称,直线 y=kx 恒过原点(0,0) 。当 k=0 时,直线 y=kx 和y=|ln|x|恰好只有两个交点,分别是(-1,0)和(1 ,0)。当 k0 时,由于对称性,只需考虑 x0 的情况:注意到当 0x1 时,无论 k 取何值,二者总有一个交点,故只需当 x1 时,直线 y=kx 与曲线 y=lnx 似有且只有一个交点,即可转化成当x1 时,直线 y=kx 与曲线 y=lnx 相切的问题。假设切点为(t,lnt),则过(0,0)点与 y=lnx 相切的直线为 y=1tx ,即

12、 k=1t,注意到切点在直线上,故lnt=1t t=1,解得 t=e,所以 k=1e。由对称性可知,当 k=-1e 时也符合题意。综上所述,k=1e 或 0。11 【正确答案】 z-xy【试题解析】 方程两边分别对 x,y 求偏导得12 【正确答案】 直接应用公式 S=2abf(x) dx 进行计算。【试题解析】 由旋转曲面面积的计算公式可得13 【正确答案】 2 2n-r【试题解析】 由于 A 为 n 阶实对称正交矩阵,所以 A 可以相似对角化,且|A|=1。 由 A 可以相似对角化可知,存在可逆矩阵 P,使得 P -1AP=diag(1,1,1,-1,-1,-1), 其中 1 有 r 个,

13、-1 有 n-r 个。 所以 |3E-A|=|P(3E-P-1AP)P-1|=|P|3E-P-1AP|P-1|=|3E-P-1AP|,注意到 3E-P-1AP 是对角矩阵,对角线上有 r 个 2, n-r 个 4,所以 |3E-A|=2 r4n-r=2n-r。14 【正确答案】 18【试题解析】 由已知及方差的计算公式得 D(X)=E(X2)-E(x)2=4,D(Y)=E(Y 2)-E(Y)2=9,Cov(X,Y)= XY =2,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=4+9+4=17,则有 E(X+Y)2=D(X+Y)+E(X+Y)2,其中 E(X+Y)=K(X)+E(Y)=1

14、,所以 E(X+Y)2=17+1=18。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 -f(x)sinxdx=A,则 f(x)= +A,该式两边同乘 sinx;并在- , 上求积分得 -f(x)sinxdx=- dx+-Asinxdx。由于 是关于x 的偶函数,Asinx 是关于戈的奇函数,因此 -f(x)sinxdx=20 dx+0,则A=-f(x)sinxdx=20 dx,对 0 dx 进行变量替换,令 x=-t,则16 【正确答案】 注意到函数 f(x)是偶函数,故只需讨论 f(x)在0 ,1)上零点的情况:设 0x1,因 f(x)= 0,所以函数 f(x)单

15、调递增,而 f(0)=0,f(1)=1,故0f(x) 1 且 f(x)有且只有一个零点,该零点就是 x=0。由对称性可知,在(-1,0)上 f(x)不存在零点,故 f(x)在(-1,1)上有且只有一个零点。17 【正确答案】 由上可知,0x n1,n=1,2,3,。x n+1-xn=f(xn)-xn=1-1)0,故x n单调递减有界,所以收敛。在xn+1=1- 两边同时取极限,得 xn=1(舍去,因为x n单调递减)。18 【正确答案】 方程 x2+y2+2x-2y+2y-4z-10=0 两端分别对 x 和 y 求偏导数,可得令 zx=zy=0,则 x=1,y=-1,z=6 或 x=1,y=-

16、1,z=-2。等式 2x+2zzx-2-4zx=0 两端分别继续对 x 和 y 求偏导,可得解得 等式 2y+2zzy+2-4zy=0 两端对 y 继续求偏导可得 z“yy= 在点(1,-1,6)处,AC-B2=1160,A=-1 40,函数在该点取极大值 6。在点(1,-1 ,-2)处,AC-B2=1160,A=140,函数在该点取极小值-2。19 【正确答案】 只需证明 =1 即可。因 a,b 均为正数,所以有 01。又因为 f(0)=0,f(1)=1,所以 f(0) f(1),则由连续函数的介值定理可知,必存在 (0,1),使得 f()= 成立,于是有在0,与 ,1上分别使用拉格朗日中值

17、定理,得 f()-f(0)=f(x1),x 1(0,),f(1)-f()=f(x 2)(1-),x 2(,1),20 【正确答案】 曲线 y= 在 x0,t的弧段绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V(t)=0ty2dx=-0t解得c=1。21 【正确答案】 因为线性方程组(I)、(II)有公共的非零解,所以它们的联立方程组(III)有非零解,即 (III)系数矩阵 A 的秩小于 4。对矩阵 A 进行初等行变换,得所以 a=-2,b=3。且 r(a)=3。此时可解方程组得 =(0,2,-3,1) T,即为(III)的一个非零解。又 r(a)=3,所以 构成(III)的基础解系。因此, (I

18、)和(II)的全部公共解为 k(0,2,-3,1) T(其中 k 为任意常数)。22 【正确答案】 二次型矩阵为 A= ,由二次型的标准形f=y12+6y22+by32,可知该二次型矩阵的特征值为 1=1, 2=6, 3=b,根据特征值的和与乘积的性质可得方程组23 【正确答案】 二次型矩阵 A= 的特征值为 1=1, 2=6, 3=-6。根据(E-A)x=0 得特征值 1=1 对应的特征向量为 1= 根据(6E-A)x=0 得特征值 2=6 对应的特征向量为 2= 根据(-6E-A)x=0 得特征值 3=-6 对应的特征向量为 3= 由于不同特征值所对应的特征向量必正交,故只需单位化,得 1

19、=,于是正交变换矩阵为24 【正确答案】 (X,Y) 所有可能的取值为(1,-1),(-1 ,1),(-1,-1),(1,1),又U 在-2,2上服从均匀分布,有 PX=-1,Y=-1=PU-1,U1=PU-1=14, PX=-1,Y=1=PU-1 ,U1=0 ,PX=1 ,Y=1=PU -1,U1=12, PX=1,Y=1=PU-1,U1=PU1-14。于是得 X 和 Y 的联合概率分布为25 【正确答案】 由上可知 X+Y 的分布为于是 E(X+Y)=-2=0,E(X+Y) 2=(-2)2 =2。故 D(X+Y)=E(X+Y)2-E(X+Y)2=2。26 【正确答案】 E(Y)=E(X 2)=2+x2e-(x-2)dx 0+t2e-tdt+40+te-tdt+40+e-tdt= +1)2+2。

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