1、考研数学（数学一）模拟试卷 457 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y=x+arccotx 的渐近线条数为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。2 设 f(x0)=0，f“(x 0)0，则必存在一个正数 ，使得 ( )（A）曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)上是凹的。（B）曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)上是凸的。（C）曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0上单调减少，而在x 0，x 0+)上单调增加。（D）曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0上单调增加，而在x 0，x 0+)上单调减少。3 累次积分 02 d
2、0cosf(cos，sin)d 采用直角坐标系可表示为 ( )4 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（A）充分必要条件。（B）充分条件但非必要条件。（C）必要条件但非充分条件。（D）既非充分又非必要条件。5 设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )（A）AB 为对称矩阵。（B）设 A，B 可逆，则 A-1+B-1 为对称矩阵。（C） A+B 为对称矩阵。（D）kA 为对称矩阵。6 设三维列向量 1， 2， 3 线性无关，k，l 任意实数，则向量组 k1-l2，k 2-l3，k 3-l1( )（A）
3、线性相关性只与 k 有关。（B）线性相关性只与 l 有关。（C）线性相关性与 k 和 l 都有关。（D）无论 k 和 l 取何值，总是线性相关。7 设相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从 P(1)分布，则 Px=1|X+Y=2的值为( )（A）12。（B） 14。（C） 16。（D）18。8 设二维随机变量(X 1，X 2)的概率密度函数为 f(x1， x2)，则随机变量(Y 1，Y 2)(其中Y1=2X1，Y 2= X2)的概率密度函数 f1(y1，y 2)等于 ( )二、填空题9 数列极限 I= =_。10 已知函数 y=|ln|x|与直线 y=kx 有且只有两个交点，则 k=_。11
4、设 z=z(x，y)由方程 F(x+ )=0 所确定，其中 F 是任意可微函数，则 x=_。12 曲线 y= (0x1)绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面的面积为_。13 设 A 为 n 阶实对称正交矩阵，且 1 为 A 的 r 重特征根，则|3E-A|=_。14 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 13，且 E(X)=0，E(Y)=1 ，E(X 2)=4，E(Y 2)=10，则 E(X+Y)2=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在-，上连续，且有 f(x)= +-f(x)sinxdx，求 f(x)。15 设函数 f(x)=1- ，数列x n满足 0x 1
5、1 且 xn+1=f(xn)。16 证明 f(x)在(-1 ，1) 上有且只有一个零点；17 数列x n是否收敛，若收敛，求出极限 xn；若不收敛，请说明理由。18 求由方程 x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0 所确定的函数 z=z(x，y)的极值。19 设函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)上可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对于任意正数 a，b，总存在 x1， x2(0，1)，使得 =a+b 成立。20 设 V(t)是曲线 y= 在 x0，t的弧段绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积，求常数 c 使得 V(c)= V(t)。21 线性方程组 有公共的非零解，求
6、a，b 的值和全部公共解。21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=4x22-3x32+2ax1x2-4x1x3+8x2x3(其中 a 为整数)经过正交变换化为标准形 f=y12+6y22+by32，求：22 参数 a，b 的值；23 正交变换矩阵 Q。23 设随机变量 U 在区间-2，2上服从均匀分布。随机变量试求：24 X 和 Y 的联合概率分布；25 D(X+Y)。25 已知总体 X 的概率密度 f(x)= (0)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，Y=X 2。26 求 Y 的数学期望 E(Y)；考研数学（数学一）模拟试卷 457 答案与解析一、选择题下列每题给出
7、的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 函数 y=x+arccotx 的定义域为 R，则曲线没有垂直渐近线。因为(x+arccotx)和 (x+arccotx)都不存在，所以曲线没有水平渐近线。又因为所以曲线有斜渐近线 y=x 和y=x+。2 【正确答案】 C【试题解析】 已知 f“(x0)= 0，由极限的不等式性质可知，存在 0，当 x(x0-，x 0+)且 xx0 时， 0。因此，当 x(x0-，x 0)时，f(x)0；当 x(x0，x 0+)时，f(x)0。又 f(x)在 x=x0 连续，所以 f(x)在(x0-，x 0上单调减少，在x 0，x 0+)上
8、单调增加，故选 C。3 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，=cos 表示圆 x2+y2=x 的上半部分，积分区域如图所示：可得 02 d0cosf(cos，sin)d= 01dx f(x，y)dy，故选 D。4 【正确答案】 A【试题解析】 充分性：因为 f(0)=0，所以即 F(x)在 x=0 处可导。必要性：设 F(x)=f(x)(1+|sinx|)在 x=0 处可导。因 f(x)可导，所以 f(x)|sinx|在 x=0 处可导，由此可知 即 f(0)=-f(0)，所以 f(0)=0。故选A。5 【正确答案】 A【试题解析】 根据(A+B) T=AT+BT=A+B，可得 A+B 为
9、对称矩阵；根据(A -1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1，得 A-1+B-1 为对称矩阵；由(kA) T=kAT=kA，得 kA 为对称矩阵。故选 A。6 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1， 2， 3 线性无关，可以把 1， 2， 3 看作一组基，则(k 1-l2，k 2-l3，k 3-l1)=(1， 2， 3) 且 =k3-l2。当且仅当 k=l 时行列式为零，此时 k1-l2，k 2-l3，k 3-l1 线性相关。故选 C。7 【正确答案】 A【试题解析】 根据条件概率的定义 PX=1|X+Y=2= PX+Y=2= PX=k， Y=2-k= PX=kPY=2-
10、k=e-2( )=2e-2，PX=1 ，X+Y=2=PX=1，Y=1=PX=1PY=1=e -1e-1=e-2，因此 PX=1|X+Y=2= =12。故选A。8 【正确答案】 B【试题解析】 设(X 1，X 2)的分布函数为 F(x1，x 2)，(Y 1，Y 2)的分布函数为F1(y1，y 2)，则有 F1(y1，y 2)=Py1y1，Y 2y2=P2X1y1， X2y2=PX1y12 ，X 23y2=F(y12，3y 2)，所以 f1(y1，y 2)= f(y12，3y 2)。故选 B。二、填空题9 【正确答案】 12【试题解析】 =(arctant)|t=1= |t=1=12。10 【正确
11、答案】 1e 或 0【试题解析】 首先画出函数 y=|ln|x|的图形， 注意到函数y=|ln|x|关于 y 轴对称，直线 y=kx 恒过原点(0，0) 。当 k=0 时，直线 y=kx 和y=|ln|x|恰好只有两个交点，分别是(-1，0)和(1 ，0)。当 k0 时，由于对称性，只需考虑 x0 的情况：注意到当 0x1 时，无论 k 取何值，二者总有一个交点，故只需当 x1 时，直线 y=kx 与曲线 y=lnx 似有且只有一个交点，即可转化成当x1 时，直线 y=kx 与曲线 y=lnx 相切的问题。假设切点为(t，lnt)，则过(0，0)点与 y=lnx 相切的直线为 y=1tx ，即
12、 k=1t，注意到切点在直线上，故lnt=1t t=1，解得 t=e，所以 k=1e。由对称性可知，当 k=-1e 时也符合题意。综上所述，k=1e 或 0。11 【正确答案】 z-xy【试题解析】 方程两边分别对 x，y 求偏导得12 【正确答案】 直接应用公式 S=2abf(x) dx 进行计算。【试题解析】 由旋转曲面面积的计算公式可得13 【正确答案】 2 2n-r【试题解析】 由于 A 为 n 阶实对称正交矩阵，所以 A 可以相似对角化，且|A|=1。 由 A 可以相似对角化可知，存在可逆矩阵 P，使得 P -1AP=diag(1，1，1，-1，-1，-1)， 其中 1 有 r 个，
13、-1 有 n-r 个。 所以 |3E-A|=|P(3E-P-1AP)P-1|=|P|3E-P-1AP|P-1|=|3E-P-1AP|，注意到 3E-P-1AP 是对角矩阵，对角线上有 r 个 2， n-r 个 4，所以 |3E-A|=2 r4n-r=2n-r。14 【正确答案】 18【试题解析】 由已知及方差的计算公式得 D(X)=E(X2)-E(x)2=4，D(Y)=E(Y 2)-E(Y)2=9，Cov(X，Y)= XY =2，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+4=17，则有 E(X+Y)2=D(X+Y)+E(X+Y)2，其中 E(X+Y)=K(X)+E(Y)=1
14、，所以 E(X+Y)2=17+1=18。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 -f(x)sinxdx=A，则 f(x)= +A，该式两边同乘 sinx；并在- ， 上求积分得 -f(x)sinxdx=- dx+-Asinxdx。由于 是关于x 的偶函数，Asinx 是关于戈的奇函数，因此 -f(x)sinxdx=20 dx+0，则A=-f(x)sinxdx=20 dx，对 0 dx 进行变量替换，令 x=-t，则16 【正确答案】 注意到函数 f(x)是偶函数，故只需讨论 f(x)在0 ，1)上零点的情况：设 0x1，因 f(x)= 0，所以函数 f(x)单
15、调递增，而 f(0)=0，f(1)=1，故0f(x) 1 且 f(x)有且只有一个零点，该零点就是 x=0。由对称性可知，在(-1，0)上 f(x)不存在零点，故 f(x)在(-1，1)上有且只有一个零点。17 【正确答案】 由上可知，0x n1，n=1，2，3，。x n+1-xn=f(xn)-xn=1-1)0，故x n单调递减有界，所以收敛。在xn+1=1- 两边同时取极限，得 xn=1(舍去，因为x n单调递减)。18 【正确答案】 方程 x2+y2+2x-2y+2y-4z-10=0 两端分别对 x 和 y 求偏导数，可得令 zx=zy=0，则 x=1，y=-1，z=6 或 x=1，y=-
16、1，z=-2。等式 2x+2zzx-2-4zx=0 两端分别继续对 x 和 y 求偏导，可得解得 等式 2y+2zzy+2-4zy=0 两端对 y 继续求偏导可得 z“yy= 在点(1，-1，6)处，AC-B2=1160，A=-1 40，函数在该点取极大值 6。在点(1，-1 ，-2)处，AC-B2=1160，A=140，函数在该点取极小值-2。19 【正确答案】 只需证明 =1 即可。因 a，b 均为正数，所以有 01。又因为 f(0)=0，f(1)=1，所以 f(0) f(1)，则由连续函数的介值定理可知，必存在 (0，1)，使得 f()= 成立，于是有在0，与 ，1上分别使用拉格朗日中值
17、定理，得 f()-f(0)=f(x1)，x 1(0，)，f(1)-f()=f(x 2)(1-)，x 2(，1)，20 【正确答案】 曲线 y= 在 x0，t的弧段绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V(t)=0ty2dx=-0t解得c=1。21 【正确答案】 因为线性方程组(I)、(II)有公共的非零解，所以它们的联立方程组(III)有非零解，即 (III)系数矩阵 A 的秩小于 4。对矩阵 A 进行初等行变换，得所以 a=-2，b=3。且 r(a)=3。此时可解方程组得 =(0，2，-3，1) T，即为(III)的一个非零解。又 r(a)=3，所以 构成(III)的基础解系。因此， (I
18、)和(II)的全部公共解为 k(0，2，-3，1) T(其中 k 为任意常数)。22 【正确答案】 二次型矩阵为 A= ，由二次型的标准形f=y12+6y22+by32，可知该二次型矩阵的特征值为 1=1， 2=6， 3=b，根据特征值的和与乘积的性质可得方程组23 【正确答案】 二次型矩阵 A= 的特征值为 1=1， 2=6， 3=-6。根据(E-A)x=0 得特征值 1=1 对应的特征向量为 1= 根据(6E-A)x=0 得特征值 2=6 对应的特征向量为 2= 根据(-6E-A)x=0 得特征值 3=-6 对应的特征向量为 3= 由于不同特征值所对应的特征向量必正交，故只需单位化，得 1
19、=，于是正交变换矩阵为24 【正确答案】 (X，Y) 所有可能的取值为(1，-1)，(-1 ，1)，(-1，-1)，(1，1)，又U 在-2，2上服从均匀分布，有 PX=-1，Y=-1=PU-1，U1=PU-1=14， PX=-1，Y=1=PU-1 ，U1=0 ，PX=1 ，Y=1=PU -1，U1=12， PX=1，Y=1=PU-1，U1=PU1-14。于是得 X 和 Y 的联合概率分布为25 【正确答案】 由上可知 X+Y 的分布为于是 E(X+Y)=-2=0，E(X+Y) 2=(-2)2 =2。故 D(X+Y)=E(X+Y)2-E(X+Y)2=2。26 【正确答案】 E(Y)=E(X 2)=2+x2e-(x-2)dx 0+t2e-tdt+40+te-tdt+40+e-tdt= +1)2+2。
