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[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷466及答案与解析.doc

1、考研数学(数学一)模拟试卷 466 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0sinxsint2dt,g(x)=x 3+x4,当 x0 时,f(x)是 g(x)的( )(A)等价无穷小(B)同阶但非等价无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小2 设 f(x,y)= 则 f(x,y)在(0,0)处( )(A)不连续(B)连续但不可偏导(C)可偏导但不可微(D)可微3 点 M(2,1,1)到直线 L: 的距离为( )4 设幂级数 ( )(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)敛散性不能确定5 设 A,B 为 n 阶矩阵,则下列结论正确的是( )

2、(A)若 A2B 2,则 AB 2(B)矩阵 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相等(C)若 A,B 的特征值相同,则 AB(D)若 AB,且 A 可相似对角化,则 B 可相似对角化6 设 n 阶矩阵 A=(1, 2, n),B=( 1, 2, n),AB=( 1, 2, n),令向量组() : 1, 2, n;(): 1, 2, n;(): 1, 2, n,若向量组( )线性相关,则 ( )(A)向量组() 与向量组 () 都线性相关(B)向量组()线性相关(C)向量组()线性相关(D)向量组() 与()至少有一个线性相关7 设 P(AB)=P(BA)= ,则( )8 设连续型随机变量 X

3、的概率密度 f(x)为偶函数,且 F(x)=xf(t)dt,则对任意常数 a0,P Xa)为( )(A)22F(a)(B) 1 一 F(a)(C) 2F(a)(D)2F(a)一 1二、填空题9 设 y=y(x)为方程 y“+(x 一 1)y+x2y=ex 的满足初始条件=_10 =_11 设 y=y(x)由 =_12 微分方程 yy“=y2y+y2 满足 y(0)=1,y(0)=2 的特解为_13 设 A,B 为三阶矩阵,AB,=一 l,=1 为矩阵 A 的两个特征值,又B 1= =_14 设总体 XN(0,1) ,X 1,X 2,X 3,X 4 为来自总体的简单随机样本,则服从的分布为_三、

4、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算二重积分 x 2+y2 一 1d,其中 D=(x,y)0x,y116 设 f(x)ca,b且 f(x)为单调增函数,若 f(a)0, abf(x)dx0,证明: ()存在(a, b),使得 af(x)dx=0; ()存在 (a,b),使得 af(x)dx=f()17 设 f(x,y)=(x 一 6)(y+8),求函数 f(x,y)在点(x,y)处的最大的方向导数 g(x,y),并求 g(x,y)在区域 D=(x,y)x 2+y225上的最大值与最小值18 求曲面积分 xdydz+xzdzdx,其中,:x 2+y2+z2=1(z0)取上侧1

5、9 当陨石穿过大气层向地面高速坠落时,陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发,实验证明,陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比,现有一陨石是质量均匀的球体,且在坠落过程中始终保持球状若它在进人大气层开始燃烧的前 3s 内,减少了体积的 ,问此陨石完全燃尽需要多少时间 ?20 设 A= ,问 a,b,c 为何值时,矩阵方程AX=B 有解,有解时求出全部解21 设二次型 f(x1,x 2,x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=2y2 一 y2 一 y2,又A*=,其中 a 一(1,1,一 1)T ()求矩阵 A; ()求正交矩阵 Q,使得经过正交变换 X=QY,二

6、次型 f(x1,x 2,x 3)=XTAX 化为标准形22 设(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y)= ()求常数 k;() 求 X 的边缘密度; () 求当 X=x(0x )下 Y 的条件密度函数fY X(yx)23 设随机变量 X1,X 2,X m+n(mn)独立同分布,其方差为 2,令求:()D(Y) ,D(Z): () YZ考研数学(数学一)模拟试卷 466 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ,所以正确答案为(B)2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 显然 M0(1, 0,1)

7、 为直线 L 上一点,直线 L 的方向向量为4 【正确答案】 A【试题解析】 令 3x+1=t,则级数 的收敛半径 R2,因为 1R,所以当 t=1 时,级数 绝对收敛,应选(A)5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB 得 A,B 的特征值相同,设为 1, 2, n,且存在可逆矩阵 P1,使得 P11AP1=B,即 A=P1BP11;6 【正确答案】 D【试题解析】 当向量组()线性相关时,r(A)n,由 r(AB)r(A)得 r(AB)n,即向量组()线性相关;同理,当向量组() 线性相关时,r(B) n ,由 r(AB)r(B)得 r(AB)n 即向量组()线性相关,应选 (D)7 【

8、正确答案】 C【试题解析】 8 【正确答案】 A【试题解析】 PXa=1 一 PXa=1 一 P一 aXa=1 一 F(a)+F(一 a),而 F(a)=af(x)dx +a(一 t)(一 dt)=a+f(t)dt=1 一 af(t)dt=1 一 F(a),所以 PXa=22F(a),选(A) 二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 10 【正确答案】 2ln2【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 =xln2【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 因为B 1= ,所以B=3 ,义因为 AB,所以 A,B 有相同的特征值,设 A 的另一个特征值为 3,由

9、A=B= 123,得 3=一 3,因为A 一 3E 的特征值为一 4,一 2,一 6,所以A 一 3E=一 4814 【正确答案】 t(1)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 D1=(x,y)x+y1,x0,y0),D 2=DD 1,16 【正确答案】 () 由积分中值定理, abf(x)dx=f(c)(b 一 a)0,其中 ca,b, 显然 f(c)0 且 c(a,b 因为 f(a)f(c)0,所以由零点定理,存在 x0(a,c),使得 f(x0)=0 再由 f(x)单调增加得,当 xa,x 0)时,f(x)0;当 x(x0,b时,f(x)

10、0 令 F(x)=axf(t)dt,显然 F(x0)0,F(b)0,由零点定理,存在 (a,b),使得 F()=0,即 af(x)dx=0 ()令 (x)=exaxf(t)dt, (a)=()=0, 由罗尔定理,存在(a, ) (a,b),使得 ()=0, 而 (x)=exf(x)一 axf(t)dt且 ex0,故 af(x)dx=f()17 【正确答案】 函数 f(x,y)的梯度为 gradf(x,y)=y+8 ,x 一 6, =gradf(cos ,cos)=gradfe=gradf cos, 其中 e 为射线对应的单位向量, 为梯度与射线的夹角, 则 g(x,y)=gradf= 令 H(

11、x,y)=(x 一 6)2+(y+8)2, 当 x2+y225 时,因为在 x2+y225 内无解,所以 H(x,y)的最大值与最小值在区域 D 的边界上取到 当 x2+y2=25, 令 F(x,y,)=(x 一 6)2+(y+8)2+(x2+y2 一 25),由 因为 H(3,一 4)=25,H(一 3,4)=225,所以 g(x,y)在区域 D 上的最大值和最小值分别为 15 和518 【正确答案】 令:z=0(x 2+y21),取下侧,则19 【正确答案】 设陨石体积为 V,表面积为 S,半径为 r,它们都是时间 t 的函数,20 【正确答案】 令 X=(1, 2, 3),B=( 1,

12、2, 3),矩阵方程化为 A(1, 2, 3)=(1, 2, 3),即21 【正确答案】 () 显然 A 的特征值为 1=2, 2=一 1, 3=一 1,A =2,伴随矩阵 A*的特征值为 1=1, 2=一 2, 3=一 2由 A*= 得 AA*=A,即 A=2,即 =(1,1,一 1)T 是矩阵 A 的对应于特征值 1=2 的特征向量 令 =(x1,x 2,x 3)T 为矩阵 A 的对应于特征值 2=一 1, 3=一 1 的特征向量,因为 A 为实对称矩阵,所以 T=0,即 x1+x2x3=0,于是 2=一 1, 3=一 1 对应的线性无关的特征向量为22 【正确答案】 23 【正确答案】 () 因为 X1,X 2,X m+n 相互独立,所以 D(Y)=(Xmk)=n2()Cov(Y,Z)=Cov(X 1+Xm)+(Xm1+Xn),X m+1+Xm+n=Cov(X1+Xm,X m+1+Xm+n)+Cov(Xm+1+Xn,X m+1+Xm+n)=D(Xm+1+Xn)+Cov(Xm+1+Xn,X n+1+Xm+n)=(n 一 m)2,则 YZ=

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