1、考研数学（数学一）模拟试卷 466 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0sinxsint2dt，g(x)=x 3+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小2 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）不连续（B）连续但不可偏导（C）可偏导但不可微（D）可微3 点 M(2，1，1)到直线 L： 的距离为( )4 设幂级数 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性不能确定5 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )
2、（A）若 A2B 2，则 AB 2（B）矩阵 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相等（C）若 A，B 的特征值相同，则 AB（D）若 AB，且 A 可相似对角化，则 B 可相似对角化6 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，令向量组() ： 1， 2， n；()： 1， 2， n；()： 1， 2， n，若向量组( )线性相关，则 ( )（A）向量组() 与向量组 () 都线性相关（B）向量组()线性相关（C）向量组()线性相关（D）向量组() 与()至少有一个线性相关7 设 P(AB)=P(BA)= ，则( )8 设连续型随机变量 X
3、的概率密度 f(x)为偶函数，且 F(x)=xf(t)dt，则对任意常数 a0，P Xa)为( )（A）22F(a)（B） 1 一 F(a)（C） 2F(a)（D）2F(a)一 1二、填空题9 设 y=y(x)为方程 y“+(x 一 1)y+x2y=ex 的满足初始条件=_10 =_11 设 y=y(x)由 =_12 微分方程 yy“=y2y+y2 满足 y(0)=1，y(0)=2 的特解为_13 设 A，B 为三阶矩阵，AB，=一 l，=1 为矩阵 A 的两个特征值，又B 1= =_14 设总体 XN(0，1) ，X 1，X 2，X 3，X 4 为来自总体的简单随机样本，则服从的分布为_三、
4、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算二重积分 x 2+y2 一 1d，其中 D=(x，y)0x，y116 设 f(x)ca，b且 f(x)为单调增函数，若 f(a)0， abf(x)dx0，证明： ()存在(a， b)，使得 af(x)dx=0； ()存在 (a，b)，使得 af(x)dx=f()17 设 f(x，y)=(x 一 6)(y+8)，求函数 f(x，y)在点(x，y)处的最大的方向导数 g(x，y)，并求 g(x，y)在区域 D=(x，y)x 2+y225上的最大值与最小值18 求曲面积分 xdydz+xzdzdx，其中，：x 2+y2+z2=1(z0)取上侧1
5、9 当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状若它在进人大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的 ，问此陨石完全燃尽需要多少时间 ?20 设 A= ，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程AX=B 有解，有解时求出全部解21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=2y2 一 y2 一 y2，又A*=，其中 a 一(1，1，一 1)T ()求矩阵 A； ()求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二
6、次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 化为标准形22 设(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= ()求常数 k；() 求 X 的边缘密度； () 求当 X=x(0x )下 Y 的条件密度函数fY X(yx)23 设随机变量 X1，X 2，X m+n(mn)独立同分布，其方差为 2，令求：()D(Y) ，D(Z)： () YZ考研数学（数学一）模拟试卷 466 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案为(B)2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 显然 M0(1， 0，1)
7、 为直线 L 上一点，直线 L 的方向向量为4 【正确答案】 A【试题解析】 令 3x+1=t，则级数 的收敛半径 R2，因为 1R，所以当 t=1 时，级数 绝对收敛，应选(A)5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB 得 A，B 的特征值相同，设为 1， 2， n，且存在可逆矩阵 P1，使得 P11AP1=B，即 A=P1BP11；6 【正确答案】 D【试题解析】 当向量组()线性相关时，r(A)n，由 r(AB)r(A)得 r(AB)n，即向量组()线性相关；同理，当向量组() 线性相关时，r(B) n ，由 r(AB)r(B)得 r(AB)n 即向量组()线性相关，应选 (D)7 【
8、正确答案】 C【试题解析】 8 【正确答案】 A【试题解析】 PXa=1 一 PXa=1 一 P一 aXa=1 一 F(a)+F(一 a)，而 F(a)=af(x)dx +a(一 t)(一 dt)=a+f(t)dt=1 一 af(t)dt=1 一 F(a)，所以 PXa=22F(a)，选(A) 二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 10 【正确答案】 2ln2【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 =xln2【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 因为B 1= ，所以B=3 ，义因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值，设 A 的另一个特征值为 3，由
9、A=B= 123，得 3=一 3，因为A 一 3E 的特征值为一 4，一 2，一 6，所以A 一 3E=一 4814 【正确答案】 t(1)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 D1=(x，y)x+y1，x0，y0)，D 2=DD 1，16 【正确答案】 () 由积分中值定理， abf(x)dx=f(c)(b 一 a)0，其中 ca，b， 显然 f(c)0 且 c(a，b 因为 f(a)f(c)0，所以由零点定理，存在 x0(a，c)，使得 f(x0)=0 再由 f(x)单调增加得，当 xa，x 0)时，f(x)0；当 x(x0，b时，f(x)
10、0 令 F(x)=axf(t)dt，显然 F(x0)0，F(b)0，由零点定理，存在 (a，b)，使得 F()=0，即 af(x)dx=0 ()令 (x)=exaxf(t)dt， (a)=()=0， 由罗尔定理，存在(a， ) (a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=exf(x)一 axf(t)dt且 ex0，故 af(x)dx=f()17 【正确答案】 函数 f(x，y)的梯度为 gradf(x，y)=y+8 ，x 一 6， =gradf(cos ，cos)=gradfe=gradf cos， 其中 e 为射线对应的单位向量， 为梯度与射线的夹角， 则 g(x，y)=gradf= 令 H(
11、x，y)=(x 一 6)2+(y+8)2， 当 x2+y225 时，因为在 x2+y225 内无解，所以 H(x，y)的最大值与最小值在区域 D 的边界上取到 当 x2+y2=25， 令 F(x，y，)=(x 一 6)2+(y+8)2+(x2+y2 一 25)，由 因为 H(3，一 4)=25，H(一 3，4)=225，所以 g(x，y)在区域 D 上的最大值和最小值分别为 15 和518 【正确答案】 令：z=0(x 2+y21)，取下侧，则19 【正确答案】 设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t 的函数，20 【正确答案】 令 X=(1， 2， 3)，B=( 1，
12、2， 3)，矩阵方程化为 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)，即21 【正确答案】 () 显然 A 的特征值为 1=2， 2=一 1， 3=一 1，A =2，伴随矩阵 A*的特征值为 1=1， 2=一 2， 3=一 2由 A*= 得 AA*=A，即 A=2，即 =(1，1，一 1)T 是矩阵 A 的对应于特征值 1=2 的特征向量 令 =(x1，x 2，x 3)T 为矩阵 A 的对应于特征值 2=一 1， 3=一 1 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以 T=0，即 x1+x2x3=0，于是 2=一 1， 3=一 1 对应的线性无关的特征向量为22 【正确答案】 23 【正确答案】 () 因为 X1，X 2，X m+n 相互独立，所以 D(Y)=(Xmk)=n2()Cov(Y，Z)=Cov(X 1+Xm)+(Xm1+Xn)，X m+1+Xm+n=Cov(X1+Xm，X m+1+Xm+n)+Cov(Xm+1+Xn，X m+1+Xm+n)=D(Xm+1+Xn)+Cov(Xm+1+Xn，X n+1+Xm+n)=(n 一 m)2，则 YZ=
