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[考研类试卷]考研数学(数学三)模拟试卷270及答案与解析.doc

1、考研数学(数学三)模拟试卷 270 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)的导数在 x=a 处连续,又 ,则( )(A)x=a 是 f(x)的极小值点(B) x=a 是 f(x)极大值点(C) (a,f(a)是曲线 y=f(x)的拐点(D)x=a 不是 f(x)的极值点,(a,f(a) 也不是曲线 y=f(x)的拐点2 设 其中 f(x)在 x=0 处可导,f (x)0,f(0)=0,则 x=0 是 F(x)的( )(A)连续点(B)可去间断点(C)跳跃间断点(D)第二类间断点3 设 ,则( )(A)a=1 ,b=0(B) a=0,b=-2(

2、C) a=0,b=1(D)a=1 ,b=-24 设某商品的需求函数为 Q=160-2P,其中 Q,P 分别表示需求量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于 1,则商品的价格是( )(A)10(B) 20(C) 30(D)405 设 A 为 n 阶非零矩阵,E 为 n 阶单位矩阵若 A3=0,则( )(A)E-A 不可逆, E+A 也不可逆(B) E-A 不可逆,E+A 可逆(C) E-A 可逆,层+A 也可逆(D)E-A 可逆, E+A 不可逆6 设向量 可由向量组 a1,a 2,a m 线性表示,但不能由向量组()a1,a 2,a m线性表示,记向量组 ()a 1,a 2,a m-1, ,则

3、( )(A)a m 不能由()线性表示,也不能由()线性表示(B) am 不能由() 线性表示,但可能由()线性表示(C) am 可由() 线性表示,也可由()线性表示(D)a m 可由()线性表示,但:不可由()线性表示7 设随机变量 X 和 Y 独立同分布,记 U=X-Y,V=X+Y ,则随机变量 U 和 V 必然 ( )(A)不独立(B)独立(C)相关系数不为零(D)相关系数为零8 某工厂每天分 3 个班生产,事件 Ai 表示第 i 班超额完成生产任务 (i=1,2,3) ,则至少有两个班超额完成任务的事件可以表示为( )二、填空题9 已知 f(x)是微分方程 xf(x)-f(x)= 满

4、足 f(1)=0 的特解,则 01f(x)dx=_10 设 f(x)连续, ,则 f(0)=_11 设生产函数为 Q=ALaK,其中 Q 是产出量,L 是劳动投入量 K 是资本投入量,而 A,a, 均为大于零的参数,则当 Q=1 时 K 关于 L 的弹性为_12 设 f(u,v)是二元可微函数 =_13 二次型 f(x1,x 2,x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 的秩为_14 设随机变量 Xij(i,j=1,2,n;n2)独立同分布,E(X ij)=2,则行列式的数学期望 E(Y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)连续,满足

5、f(x)=sinx-ax(x-t)dt,求 f(x)16 已知某产品的边际成本为 5 元单位,生产该产品的固定成本为 200 元,边际收益是 R(q)=10-002q,则生产该产品多少件时可获得最大利润,这个最大利润是多少?17 计算二重积分 ,其中 D=(x,y)0x1,0y118 设 f(x)在区间0,1上可微,且满足条件 f(1)=201/2xf(x)dx,试证:存在 (0,1),使 f()+f()=019 试证:当 x0 时,(x 2-1)lnx(x-1)220 若矩阵 A= 相似于对角矩阵 ,试确定常数 a 的值,并求可逆矩阵 P使 P-1AP= 21 求一个正交变换,化二次型 f=

6、x12+4x22+4x32-4x1x2-8x2x3,为标准形22 设总体 XN(,8), 未知,X 1,X 2,X 36 是取自 X 的一个简单随机样本,如果以区间 作为 的置信区间,求置信度23 设随机变量 X 和 1,相互独立且都服从正态分布 N(0,1),而 X1,X 2,X 9和 Y1,Y 2,Y 9 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本,求统计量所服从的分布,并指明参数考研数学(数学三)模拟试卷 270 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设, 又因为 f(x)在 z=a 处导数连续,则 f(a)=0,即

7、 x=a 是 f(x)的驻点又由 ,知当xa 时,f x0;当 xa 时,f (x)0,故 f(a)是极大值,所以选(B)2 【正确答案】 B【试题解析】 因为,可见 f(x)在x=0 处的极限存在但不等于在此点的函数值,因此 x=0 为第一类(可去)间断点,故选(B)3 【正确答案】 A【试题解析】 用洛必达法则,有 于是,必有 1-a=0,即 a=1从而 得 b=0故应选(A)4 【正确答案】 D【试题解析】 因 dQ/dP=-2,故需求弹性的绝对值则 2P=160-2P,得 P=40,故应选(D) 5 【正确答案】 C【试题解析】 由 A3=0 可得 E-A 3=(E-A)(E+A+A2

8、)=E 和 E+A3=(E+A)(E-A+A2)=E 显然E-A0,E+A0,所以 E-A 和 E+A 均可逆。故应选(C).6 【正确答案】 B【试题解析】 由题设, 可由向量组 a1,a 2,a m 线性表示,则存在一组数后k1,k 2,k m,使 =k1a1+k22+kmam,但是 不能由 a1,a 2,a m-1 线性表示,从而 km0,因此 am=1/km(-k1a1-k2a2km-1am-1),即 am 可由()a 1,a 2,a m-1,线性表示,所以(A)、(D)不正确若 am 能由向量组()线性表示,则存在另一组数 1, 2, m-1,使得 am=1a1+2a2+ m-1am

9、-1, 从而 =k1a1+km-1am-1+km1a1+2a2+ m-1am-1 =(k1+km1)a1+(k2+km2)a2+(km-1+kmm-1)am-1, 这与前述已知矛盾,所以 am 不能由向量组()线性表示,综上,选(B)7 【正确答案】 D【试题解析】 由 X 和 Y 独立同分布,知 E(X)=E(Y),E(X 2)=E(Y2), 因此cov(U,V)=cov(X-Y,X+Y)=E(X-Y)(X+Y)-E(X-Y)E(X+Y) =Ex 2-Y2-E(X)+E(Y)E(X)+E(Y)=0,故应选(D)8 【正确答案】 B【试题解析】 因为“至少有两个班超额完成”的对立事件是“至多有

10、一个班超额完成”, 也就是“至少有两个班没有超额完成任务” 因此事件可等价地表示为A1A2+A1A32A3二、填空题9 【正确答案】 -/8【试题解析】 10 【正确答案】 2【试题解析】 11 【正确答案】 -(a/)【试题解析】 由题设,Q=1,则 ALaK=1,确定了 K 为 L 的函数,两边对 L 求导,得 AaL a-1K+La*K-1*K=0,12 【正确答案】 0【试题解析】 13 【正确答案】 2【试题解析】 由题设,f(x 1,x 2,x 3)=x12+x22+2x1x2+x22+x32-2x2x3+x12+x23+2x1x3;=2x 12+2x22+232+2x1x2+2x

11、2x3+2x1x3,则该二次型的矩阵为 A=,由初等行变换可将 A 化为 则 r(A)=2,所以二次型的秩为 214 【正确答案】 0【试题解析】 由题设,根据行列式的定义和数学期望的性质,有三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 这个问题需要分几步来解决设最大利润函数为 L(q),成本函数为 C(q) 为求最大利润,需要先求出利润函数 由于 C(q)=C(q)dg=(5)dq=5q+C,固定成本为 200 元等价于 C(0)=200, 由此推定出上面积分中的常数C=200成本函数为 C(q)=5q+200 同样,收益函数 R(q)=R (q)

12、dq=(10-002q)dq=10q-001q 2+C 如果产量 q=0,必然 R(0)=0, 由此推定出积分常数 C=0,收益函数为 R(q)=10q-001q 2 利润函数为 L(q)=R(q)-C(q)=(10q-0001q 2)-(5q+200)=-0001+5q-200 为了求出利润函数 L(q)的最大值,先找临界点,再判断 L(q)=5-0002q=0 q=250,而 L(q)=-0020,根据二阶导数条件可以推出 q=250是 L(g)唯一极值点,并且是极大值点这样 L(250)=5(250)-001(250) 2-200=425(元)就是所要找的最大利润,这时的产量为 250

13、个单位17 【正确答案】 D 是正方形区域,因在 D 上被积函数分块表示为18 【正确答案】 由结论可知,若令 (x)=xf(x),则 (x)=f(x)+xf(x) 因此,只需证明 (x)在0,1内某一区间上满足罗尔定理的条件令 (x)=xf(x),由积分中值定理可知,存在 于是 (1)=f(1)=(),并且 (x)在,1 上连续,在( ,1)上可导, 故由罗尔定理可知,存在 (,1) (0,1)使得 ()=0,即 f()+f()=019 【正确答案】 令 f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2 易看出 f(1)=0,且有由此得 x=1 是 f(x)的最小点,因而 f(x)f (x)f (

14、1)=20(x 0,x1);由此,f (x)在 x0 单调增,又由 f(x)=0,f (x)在x=1 由负变正,x=1 是 f(x)的最小点, 故 f(x)f(0)=0(x0),所以当 x0 时,(x 2-1)lnx(x-1)220 【正确答案】 由题设,先求矩阵 A 的特征值,设 E 为三阶单位矩阵,则由0=A-E = =(6-)(2-)2-16,可得 1=6, 2=6, 3=-2,欲使A 相似于对角阵 A,应使 1=2=6 对应两个线性无关的特征向量,因此 A-6E 的秩为 1,于是 A-6E= 可得出 a=0,从而 A= ,下面求特征向量当 1=2=6 时,由(A-6E)x=0 可得出两

15、个线性无关的特征向量为1=(0,0,1) T, 2=(1,2,0) T当 3=-2 时,由(A+2E)x=0 可得 3=(1,-2,0) T,于是 P= ,且 P-1 存在,并有 P-1AP=A,其中 P-1=21 【正确答案】 二次型的矩阵是 其特征多项式为所以 A 的特征值是1=2=0, 3=9对于是 1=2=0,由(0EA)X=0 ,即得到基础解系 a1=(2,1,0) T,a 2=(-2,0,1) T,即为属于特征值 =0的特征向量对于 3=9,由(9EA)x=0 ,即得到基础解系 a3=(1,-2,2) T由于不同特征值的特征向量已经正交,只需对 a1,a 2 正交化把 1, 2,a 3,单位化,有 1= 那么经正交变换,二次型 f 化为标准形 f=9y3222 【正确答案】 依题设,置信区间的长度为 223 【正确答案】 由于 X1,X 2,X 9 是来自正态总体的样本,且都服从 N(0,1),故 由于 Y1,Y 2,Y 9 相互独立,且都服从 N,(0,1),则 =Y11+Y21+Y92(9)又因为随机变量 , 相互独立,由 t 分布知即统计量 Z 服从 t 分布,参数为 9

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