1、考研数学（数学三）模拟试卷 270 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 ，则( )（A）x=a 是 f(x)的极小值点（B） x=a 是 f(x)极大值点（C） (a，f(a)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=a 不是 f(x)的极值点，(a，f(a) 也不是曲线 y=f(x)的拐点2 设 其中 f(x)在 x=0 处可导，f (x)0，f(0)=0，则 x=0 是 F(x)的( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点3 设 ，则( )（A）a=1 ，b=0（B） a=0，b=-2（
2、C） a=0，b=1（D）a=1 ，b=-24 设某商品的需求函数为 Q=160-2P，其中 Q，P 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是( )（A）10（B） 20（C） 30（D）405 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=0，则( )（A）E-A 不可逆， E+A 也不可逆（B） E-A 不可逆，E+A 可逆（C） E-A 可逆，层+A 也可逆（D）E-A 可逆， E+A 不可逆6 设向量 可由向量组 a1，a 2，a m 线性表示，但不能由向量组()a1，a 2，a m线性表示，记向量组 ()a 1，a 2，a m-1， ，则
3、( )（A）a m 不能由()线性表示，也不能由()线性表示（B） am 不能由() 线性表示，但可能由()线性表示（C） am 可由() 线性表示，也可由()线性表示（D）a m 可由()线性表示，但：不可由()线性表示7 设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y ，则随机变量 U 和 V 必然 ( )（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零8 某工厂每天分 3 个班生产，事件 Ai 表示第 i 班超额完成生产任务 (i=1，2，3) ，则至少有两个班超额完成任务的事件可以表示为( )二、填空题9 已知 f(x)是微分方程 xf(x)-f(x)= 满
4、足 f(1)=0 的特解，则 01f(x)dx=_10 设 f(x)连续， ，则 f(0)=_11 设生产函数为 Q=ALaK，其中 Q 是产出量，L 是劳动投入量 K 是资本投入量，而 A，a， 均为大于零的参数，则当 Q=1 时 K 关于 L 的弹性为_12 设 f(u，v)是二元可微函数 =_13 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 的秩为_14 设随机变量 Xij(i，j=1，2，n；n2)独立同分布，E(X ij)=2，则行列式的数学期望 E(Y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)连续，满足
5、f(x)=sinx-ax(x-t)dt，求 f(x)16 已知某产品的边际成本为 5 元单位，生产该产品的固定成本为 200 元，边际收益是 R(q)=10-002q，则生产该产品多少件时可获得最大利润，这个最大利润是多少?17 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)0x1，0y118 设 f(x)在区间0，1上可微，且满足条件 f(1)=201/2xf(x)dx，试证：存在 (0，1)，使 f()+f()=019 试证：当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1)220 若矩阵 A= 相似于对角矩阵 ，试确定常数 a 的值，并求可逆矩阵 P使 P-1AP= 21 求一个正交变换，化二次型 f=
6、x12+4x22+4x32-4x1x2-8x2x3，为标准形22 设总体 XN(，8)， 未知，X 1，X 2，X 36 是取自 X 的一个简单随机样本，如果以区间 作为 的置信区间，求置信度23 设随机变量 X 和 1，相互独立且都服从正态分布 N(0，1)，而 X1，X 2，X 9和 Y1，Y 2，Y 9 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，求统计量所服从的分布，并指明参数考研数学（数学三）模拟试卷 270 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设， 又因为 f(x)在 z=a 处导数连续，则 f(a)=0，即
7、 x=a 是 f(x)的驻点又由 ，知当xa 时，f x0；当 xa 时，f (x)0，故 f(a)是极大值，所以选(B)2 【正确答案】 B【试题解析】 因为，可见 f(x)在x=0 处的极限存在但不等于在此点的函数值，因此 x=0 为第一类(可去)间断点，故选(B)3 【正确答案】 A【试题解析】 用洛必达法则，有 于是，必有 1-a=0，即 a=1从而 得 b=0故应选(A)4 【正确答案】 D【试题解析】 因 dQ/dP=-2，故需求弹性的绝对值则 2P=160-2P，得 P=40，故应选(D) 5 【正确答案】 C【试题解析】 由 A3=0 可得 E-A 3=(E-A)(E+A+A2
8、)=E 和 E+A3=(E+A)(E-A+A2)=E 显然E-A0，E+A0，所以 E-A 和 E+A 均可逆。故应选(C).6 【正确答案】 B【试题解析】 由题设， 可由向量组 a1，a 2，a m 线性表示，则存在一组数后k1，k 2，k m，使 =k1a1+k22+kmam，但是 不能由 a1，a 2，a m-1 线性表示，从而 km0，因此 am=1/km(-k1a1-k2a2km-1am-1)，即 am 可由()a 1，a 2，a m-1，线性表示，所以(A)、(D)不正确若 am 能由向量组()线性表示，则存在另一组数 1， 2， m-1，使得 am=1a1+2a2+ m-1am
9、-1， 从而 =k1a1+km-1am-1+km1a1+2a2+ m-1am-1 =(k1+km1)a1+(k2+km2)a2+(km-1+kmm-1)am-1， 这与前述已知矛盾，所以 am 不能由向量组()线性表示，综上，选(B)7 【正确答案】 D【试题解析】 由 X 和 Y 独立同分布，知 E(X)=E(Y)，E(X 2)=E(Y2)， 因此cov(U，V)=cov(X-Y，X+Y)=E(X-Y)(X+Y)-E(X-Y)E(X+Y) =Ex 2-Y2-E(X)+E(Y)E(X)+E(Y)=0，故应选(D)8 【正确答案】 B【试题解析】 因为“至少有两个班超额完成”的对立事件是“至多有
10、一个班超额完成”， 也就是“至少有两个班没有超额完成任务” 因此事件可等价地表示为A1A2+A1A32A3二、填空题9 【正确答案】 -/8【试题解析】 10 【正确答案】 2【试题解析】 11 【正确答案】 -(a/)【试题解析】 由题设，Q=1，则 ALaK=1，确定了 K 为 L 的函数，两边对 L 求导，得 AaL a-1K+La*K-1*K=0，12 【正确答案】 0【试题解析】 13 【正确答案】 2【试题解析】 由题设，f(x 1，x 2，x 3)=x12+x22+2x1x2+x22+x32-2x2x3+x12+x23+2x1x3；=2x 12+2x22+232+2x1x2+2x
11、2x3+2x1x3，则该二次型的矩阵为 A=，由初等行变换可将 A 化为 则 r(A)=2，所以二次型的秩为 214 【正确答案】 0【试题解析】 由题设，根据行列式的定义和数学期望的性质，有三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 这个问题需要分几步来解决设最大利润函数为 L(q)，成本函数为 C(q) 为求最大利润，需要先求出利润函数 由于 C(q)=C(q)dg=(5)dq=5q+C，固定成本为 200 元等价于 C(0)=200， 由此推定出上面积分中的常数C=200成本函数为 C(q)=5q+200 同样，收益函数 R(q)=R (q)
12、dq=(10-002q)dq=10q-001q 2+C 如果产量 q=0，必然 R(0)=0， 由此推定出积分常数 C=0，收益函数为 R(q)=10q-001q 2 利润函数为 L(q)=R(q)-C(q)=(10q-0001q 2)-(5q+200)=-0001+5q-200 为了求出利润函数 L(q)的最大值，先找临界点，再判断 L(q)=5-0002q=0 q=250，而 L(q)=-0020，根据二阶导数条件可以推出 q=250是 L(g)唯一极值点，并且是极大值点这样 L(250)=5(250)-001(250) 2-200=425(元)就是所要找的最大利润，这时的产量为 250
13、个单位17 【正确答案】 D 是正方形区域，因在 D 上被积函数分块表示为18 【正确答案】 由结论可知，若令 (x)=xf(x)，则 (x)=f(x)+xf(x) 因此，只需证明 (x)在0，1内某一区间上满足罗尔定理的条件令 (x)=xf(x)，由积分中值定理可知，存在 于是 (1)=f(1)=()，并且 (x)在，1 上连续，在( ，1)上可导， 故由罗尔定理可知，存在 (，1) (0，1)使得 ()=0，即 f()+f()=019 【正确答案】 令 f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2 易看出 f(1)=0，且有由此得 x=1 是 f(x)的最小点，因而 f(x)f (x)f (
14、1)=20(x 0，x1)；由此，f (x)在 x0 单调增，又由 f(x)=0，f (x)在x=1 由负变正，x=1 是 f(x)的最小点， 故 f(x)f(0)=0(x0)，所以当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1)220 【正确答案】 由题设，先求矩阵 A 的特征值，设 E 为三阶单位矩阵，则由0=A-E = =(6-)(2-)2-16，可得 1=6， 2=6， 3=-2，欲使A 相似于对角阵 A，应使 1=2=6 对应两个线性无关的特征向量，因此 A-6E 的秩为 1，于是 A-6E= 可得出 a=0，从而 A= ，下面求特征向量当 1=2=6 时，由(A-6E)x=0 可得出两
15、个线性无关的特征向量为1=(0，0，1) T， 2=(1，2，0) T当 3=-2 时，由(A+2E)x=0 可得 3=(1，-2，0) T，于是 P= ，且 P-1 存在，并有 P-1AP=A，其中 P-1=21 【正确答案】 二次型的矩阵是 其特征多项式为所以 A 的特征值是1=2=0， 3=9对于是 1=2=0，由(0EA)X=0 ，即得到基础解系 a1=(2，1，0) T，a 2=(-2，0，1) T，即为属于特征值 =0的特征向量对于 3=9，由(9EA)x=0 ，即得到基础解系 a3=(1，-2，2) T由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对 a1，a 2 正交化把 1， 2，a 3，单位化，有 1= 那么经正交变换，二次型 f 化为标准形 f=9y3222 【正确答案】 依题设，置信区间的长度为 223 【正确答案】 由于 X1，X 2，X 9 是来自正态总体的样本，且都服从 N(0，1)，故 由于 Y1，Y 2，Y 9 相互独立，且都服从 N，(0，1)，则 =Y11+Y21+Y92(9)又因为随机变量 ， 相互独立，由 t 分布知即统计量 Z 服从 t 分布，参数为 9
