1、考研数学(数学三)模拟试卷 442 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y ln(1e )的渐近线的条数为( )(A)1(B) 2(C) 3(D)42 设 f()在 0 的某领域内存在二阶导数,且 a0,则存在点(0, f(0)的左、右侧邻域 U 与 U ,使得( ) (A)曲线 yf() 在 U 内是凹的,在 U 内是凸的(B)曲线 yf() 在 U 内是凸的,在 U 内是凹的(C)曲线 yf() 在 U 与 U 内都是凹的(D)曲线 yf() 在 U 与 U 内都是凸的3 设 rcos,yrsin,则极坐标系(r,)中的累次积分f(rcos,
2、rsin)dr 可化为直角坐标系( ,y)中的累次积分( )(A)(B)(C)(D)4 设 p(),q(),f()均是 的连续函数,y 1(),y 2(),y 3()是 yp()yq()yf()的 3 个线性无关的解,C 1 与 C2 是两个任意常数,则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( ) (A)C 1y1(C 2C 1)y2(1C 2)y3(B) (C1C 2)y1(C 21)y 2(1C 1)y3(C) (C1C 2)y1(C 1C 2)y2(1C 1)y3(D)C 1y1C 2y2(1 C 1C 2)y35 设 n 维列向量 1, 2, 3 线性无关,向量 1 可由 1, 2, 3
3、线性表示,向量尼不可由 1, 2, 3 线性表示,则对任意常数 k,必有( )(A) 1, 2, 3,k 1 2 线性无关(B) 1, 2, 3,k 1 2 线性相关(C) 1, 2, 3, 1k 2 线性无关(D) 1, 2, 3, 1k 2 线性相关6 下列各组矩阵相似的是( )(A)(B)(C)(D)7 设 A,B 为随机事件,已知 P(A) ,P(BA) ,P(AB) ,则 P(AB)( )(A)(B)(C)(D)8 设 X1,X 2,X n,为独立同分布序列,且 Xi 服从参数为 的指数分布,则当 n 充分大时,Z n 近似服从_ (A)N(2 ,4)(B) N(2, )(C) N(
4、 )(D)N(2n ,4n)二、填空题9 设 f()在 0 处连续,且 2,则曲线 yf()在(0,f(0) 处的切线方程为_10 _11 设函数 z f(,y)(y0)满足 f(y, )y 2(21),则 dz_12 设 f(u)为连续函数,且 0tf(2t)dt ln(1 2),f(1)1,则 12f()d_ 13 设 A 为 3 阶方阵,如果 A-1 的特征值是 1,2,3,则A的代数余子式A11A 22A 33_14 设 A 和 B 独立,P(A)05,P(B)06,则 P( AB)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设 f()在0,1上连续,且满足 f(
5、0)1,f()f()aa,求 f(),并求 a 的值,使曲线 yf() 与 0,y0,1 所围平面图形绕 轴旋转一周所得体积最小17 已知函数 f()在0 ,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)0,f(1) 1证明:()存在 (0,1),使得 f()1 ;()存在两个不同的点 ,(0,1),使得 f()f()118 设 zf(,y)在点(1,2)处存在连续的一阶偏导数,且 f(1,2)2,f (1,2)3,f y(1,2)4,() f( ,f(,2)求19 设 f()在0,1上连续,证明: 0f(sin)d f(sin)d,并由此计算20 已知 A( 1, 2, 3, 4),非齐次线性方
6、程组 Ab 的通解为(1,1,1,1)T k1(1,0, 2,1) Tk 2(2,1,1,1) T () 令 B( 1, 2, 3),求 Bb 的通解; ( )令 C( 1, 2, 3, 4,b),求 Cb 的通解21 设矩阵 试判断 A 和 B 是否相似,若相似,求出可逆矩阵 X,使得 X-1AXB22 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为其中 a,b, c 为常数,且 X 的数学期望 E(X)02,PY0X005,记ZX Y 求:( )a ,b ,c 的值; ()Z 的概率分布; ()PXZ23 设二维随机变量(X,Y)服从 D 上的均匀分布,其中 D 是由直线 y 和曲线y 2 围成的平
7、面区域 () 求 X 和 Y 的边缘概率密度 fX()和 fY(y); () 求E(XY)考研数学(数学三)模拟试卷 442 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 当 0,1 时,函数无定义,所以 0,1 分别为该曲线的垂直渐近线 由0 所以沿 方向曲线有水平渐近线 y0所以沿 方向有斜渐近线 y因沿 方向有水平渐近线,故没有斜渐近线,所以共有 4 条渐近线 故应诜 D2 【正确答案】 B【试题解析】 由极限的保号性,因为 a0,知存在 0 的去心邻域(0),使当 (0)时, 0, 于是,当 (0)且 0 时,f()0,曲线
8、yf()是凸的 当 (0)且 0 时,f()0,曲线 yf()是凹的 故应选 B3 【正确答案】 B【试题解析】 由题意知其中积分区域 D 在极坐标系下的不等式形式为 D在直角坐标系下的形式为(如图 31所示): 故应选B4 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意及线性微分方程解的性质与结构,只要判定选项A、B、C、D 中的组合系数即可若组合系数中有两个任意常数,且组合系数之和为零的表示式即为对应的齐次方程的通解,选项 B 即满足这两条,是对应的齐次方程的通解故应选 B5 【正确答案】 A【试题解析】 设有一组数字 1, 2, 3, 4,满足 11 22 33 4(k1 2)0, 若 4 0,
9、则有条件 1 2 30,从而推出 1, 2, 3,k 1 2 线性无关 若 40,则 k1 2 可由 1, 2, 3 线性表示,而 1 可由 1, 2, 3 线性表示,故 2 也可由 1, 2, 3 线性表示,矛盾,所以, 40,从而 A 正确对于其余三个选项,也可用排除法 当 k0 时,可排除 B、C;当 k1 时,可排除 D 故应选 A6 【正确答案】 B【试题解析】 因为相似矩阵的秩相等,由 的秩为 1, 而 的秩为 2,故 A 中的矩阵不能相似 因为相似矩阵的行列式的值相等,由于4, 而 8, 故 C 中的矩阵不相似 因为相似矩阵的特征值相同,所以它们的迹相等 由于 的对角线元素之和为
10、 6,而的对角线元素之和为 4, 故 D 中的矩阵不相似因此只能选 B 事实都与对角矩阵 相似, 因而相似 故应选 B7 【正确答案】 D【试题解析】 P(AB) P(A)P(BA) 由 P(AB) ,可得 P(B) 则 P(AB)P(A) P(B)P(AB) 故应选 D8 【正确答案】 B【试题解析】 E(X i) 2,D(X i) 4,则当 n 充分大时, Xi 近似服从N(2n,4n) ,或者 Xi 近似服从 N(2, ) 故应选 B二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 由极限和无穷小的关系知 其中 ()0又 f()在 0 处连续,所以 f(0) f()1 于是 f(0)则曲线过(
11、0 ,f(0)点的切线方程为 y1 (0) ,即 y 1 故应填y 110 【正确答案】 【试题解析】 根据 sin的周期性知故应填 11 【正确答案】 (2y)ddy【试题解析】 令 y, v,则 2 ,y 2v ,于是有 f(,v)v( 1) 2v 所以,f( ,y) 2y 故 dz(2 y)ddy 故应填(2y)ddy12 【正确答案】 【试题解析】 令 2tu,则 0tf(2t)dt 2(2u)f(u)du 2(2u)f(u)du 2 2f(u)du 2uf(u)du 原方程化为 2 2f(u)du 2uf(u)du ln(1 2) 两边对 X 求导得 2 2f(u)duf() , 令
12、 1,得 212f(u)duf(1) ,而f(1)1,所以 12f(u)du 故应填 13 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A-1 的特征值为 1,2,3,所以 A -11236,从而A 又因为 AA*AE E,所以 A* A-1 故 A*的特征值为所以 A11A 22A 33 1 故应填 114 【正确答案】 【试题解析】 故应填 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 方程 f()f() aa 可以改写为 f()f()a a 则 f()e 1de1d (aa)d Ce e (aa)d C e (ae C)Ce a 由f(0)1 得 C
13、1,所以 f()e a 旋转体的体积为 V(a) 01(ea)2d 01(e22ae a 22)d a22a (e21) V ( a2)0,解得驻点 a3 又 V (3) 0,知当 a3 时,V 取得最小值 即 a3 时,所求旋转体体积最小,此时 f()e 317 【正确答案】 () 令 g()f()1,则 g()在0,1上连续,且 g(0)10,g(1) 10,由零点定理知,存在 (0,1),使得 g()0,即 f()10,从而有 f()1 ()因 f()在0,1上连续,在(0 ,),(,1) 上可导, f()在0, 和,1上均满足拉格朗日中值定理的条件,应用拉格朗日中值定理可知,存在 (0
14、,), (,1),使得则 f()f() 118 【正确答案】 因为 3 2()(),而 ()f(,f(,2)f 1(,f(,2)f 2(,f(,2).f( ,2) f 1(,f(,2)f 2(,f( ,2).f1(,2) 2f 2(,2) 则 (1)f 1(1,f(1 ,2)f 2(1,f(1,2).f 1(1,2)2f 2(1,2) f 1(1,2)f 2(1,2)f 1(1,2)2f 2(1,2)34(3 24)47 所以, 3 2(1)(1)3f(1,f(1,2) 247141f(1,2)21414 564 19 【正确答案】 0f(sin)d 0()f(sin)(d) 0()f(sin
15、)d 0f(sin)d 0f(sin)d, 即 20f(sin)d 0f(sin)d,从而利用上述积分等式,由于 ,具有上述 f(sin)的形式故有20 【正确答案】 () 先求 B0 的基础解系,为此,首先要找出矩阵 B 的秩 由题目的已知信息可知:A0 的基础解系中含有两个向量,故 4R(A)2,即R(A) 2,而由(1 ,0,2, 1)T 是 A0 的解,可得 12 3 40,故4 12 3可知 4 能由 1, 2, 3 线性表示,故 R( 1, 2, 3, 4)R( 1, 2, 3)R(B),即 R(B)2 因此,B0 的基础解系中仅含一个向量,求出 B0 的任一非零解即为其基础解系
16、由于 (1,0,2,1) T,(2 ,1,1,1) T均为 A0 的解,故它们的和(3,1,3,0) T 也为 A0 的解, 可知31 23 30,因此(3,1,3) T 为 B0 的解,也即(3,1,3) T 为 B0 的基础解系 最后,再求 Bb 的任何一个特解即可只需使得 Ab 的通解中 1 的系数为 0 即可 为此,令(1,1,1,1) Tk 1(1,0,2,1) Tk 2(2,1,1,1) T 中k10,k 21,得(3,2,2,0) T 是 Ab 的一个解,故(3,2,2) T 是 Bb 的一个解 可知 Bb 的通解为(3,2,2) Tk(3,1,3) T,kR ()与()类似,先
17、求C0 的基础解系 由于 C 即为线性方程组 Ab 的增广矩阵,故 R(C)R(A)2,可知 C0 的基础解系中含有 523 个线性无关的解向量,为此,需要找出 C0 的三个线性无关的解 由于(1,0,2,1) T,(2 ,1,1,1) T 均为 A0的解,可知(1,0,2,1,0) T,(2,1,11,0) T 均为 C0 的解而(1,1, 1,1) T 为 Ab 的解,可知 1 2 3 4b,也即1 2 3 4b0,故 (1,1,1,1,1) T 也为 C0 的解 这样,我们就找到了 C0 的三个解:(1,0,2,1,0) T,(2,1, 1,1,0)T, (1,1,l, 1,1) T,容
18、易验证它们是线性无关的,故它们即为 C0 的基础解系 最后,易知(0,0,0,0,1) T 为 Cb 的解,故 Cb 的通解为 (0,0, 00,1) Tk 1(1,0,2,1,0) Tk 2(2,1,1,1,0)T k3(1,1, 11,1) T,k iR,i1,2,321 【正确答案】 由E A (2)(1)(1), 得 A的特征值为 2,1,1因此 A 相似于 进而求得对应于 2,1,1的特征向量分别为 令 P( 1, 2, 3),则有 P-1AP 又因为 B 是下三角矩阵,所以特征值为 2,1,1 B 也相似于 进而求得对应 2,1,1 的特征向量分别为令 Q( 1, 2, 3),则
19、Q-1BQ 因此 P-1APQ -1BQ,所以 BQP -1APQ-1(PQ -1)-1A(PQ-1), 令 XPQ -1,X 即为所求22 【正确答案】 () 由概率分布的性质知a020 1b02 01c 1,即 abc04 (*) 由(X ,Y)的概率分布可写出 X 的边缘概率分布为故 E(X)(a02)(c01) 02,即 ac01 (*) 又因05PY0 X0 即 ab03 (*) 将(*),(*),(*)联立,解方程组得 a02,b01,c01 ()Z 的可能取值为2,1,0,1,2,则 PZ2PX 1,Y 1 02, PZ1PX1,Y0PX0,Y101, PZ0 PX1,Y 1PX0,Y0PX1,Y103, PZ1 PX1,Y 0PX0,Y103, PZ 2 PX 1,Y 1 01 故 Z 的概率分布为 ()PX ZPXXYPY0001010223 【正确答案】 () 区域 D 的面积为 SD 01( 2)d ,所以(X ,Y)的概率密度为 当 01 时,f() 6dy6( 2) 所以 X 的边缘概率密度为当 0y1 时,f Y1(y)所以 Y 的边缘概率密度为()E(XY)
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