1、考研数学（数学三）模拟试卷 442 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y ln(1e )的渐近线的条数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 f()在 0 的某领域内存在二阶导数，且 a0，则存在点(0， f(0)的左、右侧邻域 U 与 U ，使得( ) （A）曲线 yf() 在 U 内是凹的，在 U 内是凸的（B）曲线 yf() 在 U 内是凸的，在 U 内是凹的（C）曲线 yf() 在 U 与 U 内都是凹的（D）曲线 yf() 在 U 与 U 内都是凸的3 设 rcos，yrsin，则极坐标系(r，)中的累次积分f(rcos，
2、rsin)dr 可化为直角坐标系( ，y)中的累次积分( )（A）（B）（C）（D）4 设 p()，q()，f()均是 的连续函数，y 1()，y 2()，y 3()是 yp()yq()yf()的 3 个线性无关的解，C 1 与 C2 是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( ) （A）C 1y1(C 2C 1)y2(1C 2)y3（B） (C1C 2)y1(C 21)y 2(1C 1)y3（C） (C1C 2)y1(C 1C 2)y2(1C 1)y3（D）C 1y1C 2y2(1 C 1C 2)y35 设 n 维列向量 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3
3、线性表示，向量尼不可由 1， 2， 3 线性表示，则对任意常数 k，必有( )（A） 1， 2， 3，k 1 2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1 2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1k 2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1k 2 线性相关6 下列各组矩阵相似的是( )（A）（B）（C）（D）7 设 A，B 为随机事件，已知 P(A) ，P(BA) ，P(AB) ，则 P(AB)( )（A）（B）（C）（D）8 设 X1，X 2，X n，为独立同分布序列，且 Xi 服从参数为 的指数分布，则当 n 充分大时，Z n 近似服从_ （A）N(2 ，4)（B） N(2， )（C） N(
4、 )（D）N(2n ，4n)二、填空题9 设 f()在 0 处连续，且 2，则曲线 yf()在(0，f(0) 处的切线方程为_10 _11 设函数 z f(，y)(y0)满足 f(y， )y 2(21)，则 dz_12 设 f(u)为连续函数，且 0tf(2t)dt ln(1 2)，f(1)1，则 12f()d_ 13 设 A 为 3 阶方阵，如果 A-1 的特征值是 1，2，3，则A的代数余子式A11A 22A 33_14 设 A 和 B 独立，P(A)05，P(B)06，则 P( AB)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设 f()在0，1上连续，且满足 f(
5、0)1，f()f()aa，求 f()，并求 a 的值，使曲线 yf() 与 0，y0，1 所围平面图形绕 轴旋转一周所得体积最小17 已知函数 f()在0 ，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)0，f(1) 1证明：()存在 (0，1)，使得 f()1 ；()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()118 设 zf(，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且 f(1，2)2，f (1，2)3，f y(1，2)4，() f( ，f(，2)求19 设 f()在0，1上连续，证明： 0f(sin)d f(sin)d，并由此计算20 已知 A( 1， 2， 3， 4)，非齐次线性方
6、程组 Ab 的通解为(1，1，1，1)T k1(1，0， 2，1) Tk 2(2，1，1，1) T () 令 B( 1， 2， 3)，求 Bb 的通解； ( )令 C( 1， 2， 3， 4，b)，求 Cb 的通解21 设矩阵 试判断 A 和 B 是否相似，若相似，求出可逆矩阵 X，使得 X-1AXB22 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为其中 a，b， c 为常数，且 X 的数学期望 E(X)02，PY0X005，记ZX Y 求：( )a ，b ，c 的值； ()Z 的概率分布； ()PXZ23 设二维随机变量(X，Y)服从 D 上的均匀分布，其中 D 是由直线 y 和曲线y 2 围成的平
7、面区域 () 求 X 和 Y 的边缘概率密度 fX()和 fY(y)； () 求E(XY)考研数学（数学三）模拟试卷 442 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 当 0，1 时，函数无定义，所以 0，1 分别为该曲线的垂直渐近线 由0 所以沿 方向曲线有水平渐近线 y0所以沿 方向有斜渐近线 y因沿 方向有水平渐近线，故没有斜渐近线，所以共有 4 条渐近线 故应诜 D2 【正确答案】 B【试题解析】 由极限的保号性，因为 a0，知存在 0 的去心邻域(0)，使当 (0)时， 0， 于是，当 (0)且 0 时，f()0，曲线
8、yf()是凸的 当 (0)且 0 时，f()0，曲线 yf()是凹的 故应选 B3 【正确答案】 B【试题解析】 由题意知其中积分区域 D 在极坐标系下的不等式形式为 D在直角坐标系下的形式为(如图 31所示)： 故应选B4 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意及线性微分方程解的性质与结构，只要判定选项A、B、C、D 中的组合系数即可若组合系数中有两个任意常数，且组合系数之和为零的表示式即为对应的齐次方程的通解，选项 B 即满足这两条，是对应的齐次方程的通解故应选 B5 【正确答案】 A【试题解析】 设有一组数字 1， 2， 3， 4，满足 11 22 33 4(k1 2)0， 若 4 0，
9、则有条件 1 2 30，从而推出 1， 2， 3，k 1 2 线性无关 若 40，则 k1 2 可由 1， 2， 3 线性表示，而 1 可由 1， 2， 3 线性表示，故 2 也可由 1， 2， 3 线性表示，矛盾，所以， 40，从而 A 正确对于其余三个选项，也可用排除法 当 k0 时，可排除 B、C；当 k1 时，可排除 D 故应选 A6 【正确答案】 B【试题解析】 因为相似矩阵的秩相等，由 的秩为 1， 而 的秩为 2，故 A 中的矩阵不能相似 因为相似矩阵的行列式的值相等，由于4， 而 8， 故 C 中的矩阵不相似 因为相似矩阵的特征值相同，所以它们的迹相等 由于 的对角线元素之和为
10、 6，而的对角线元素之和为 4， 故 D 中的矩阵不相似因此只能选 B 事实都与对角矩阵 相似， 因而相似 故应选 B7 【正确答案】 D【试题解析】 P(AB) P(A)P(BA) 由 P(AB) ，可得 P(B) 则 P(AB)P(A) P(B)P(AB) 故应选 D8 【正确答案】 B【试题解析】 E(X i) 2，D(X i) 4，则当 n 充分大时， Xi 近似服从N(2n，4n) ，或者 Xi 近似服从 N(2， ) 故应选 B二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 由极限和无穷小的关系知 其中 ()0又 f()在 0 处连续，所以 f(0) f()1 于是 f(0)则曲线过(
11、0 ，f(0)点的切线方程为 y1 (0) ，即 y 1 故应填y 110 【正确答案】 【试题解析】 根据 sin的周期性知故应填 11 【正确答案】 (2y)ddy【试题解析】 令 y， v，则 2 ，y 2v ，于是有 f(，v)v( 1) 2v 所以，f( ，y) 2y 故 dz(2 y)ddy 故应填(2y)ddy12 【正确答案】 【试题解析】 令 2tu，则 0tf(2t)dt 2(2u)f(u)du 2(2u)f(u)du 2 2f(u)du 2uf(u)du 原方程化为 2 2f(u)du 2uf(u)du ln(1 2) 两边对 X 求导得 2 2f(u)duf() ， 令
12、 1，得 212f(u)duf(1) ，而f(1)1，所以 12f(u)du 故应填 13 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A-1 的特征值为 1，2，3，所以 A -11236，从而A 又因为 AA*AE E，所以 A* A-1 故 A*的特征值为所以 A11A 22A 33 1 故应填 114 【正确答案】 【试题解析】 故应填 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 方程 f()f() aa 可以改写为 f()f()a a 则 f()e 1de1d (aa)d Ce e (aa)d C e (ae C)Ce a 由f(0)1 得 C
13、1，所以 f()e a 旋转体的体积为 V(a) 01(ea)2d 01(e22ae a 22)d a22a (e21) V ( a2)0，解得驻点 a3 又 V (3) 0，知当 a3 时，V 取得最小值 即 a3 时，所求旋转体体积最小，此时 f()e 317 【正确答案】 () 令 g()f()1，则 g()在0，1上连续，且 g(0)10，g(1) 10，由零点定理知，存在 (0，1)，使得 g()0，即 f()10，从而有 f()1 ()因 f()在0，1上连续，在(0 ，)，(，1) 上可导， f()在0， 和，1上均满足拉格朗日中值定理的条件，应用拉格朗日中值定理可知，存在 (0
14、，)， (，1)，使得则 f()f() 118 【正确答案】 因为 3 2()()，而 ()f(，f(，2)f 1(，f(，2)f 2(，f(，2).f( ，2) f 1(，f(，2)f 2(，f( ，2).f1(，2) 2f 2(，2) 则 (1)f 1(1，f(1 ，2)f 2(1，f(1，2).f 1(1，2)2f 2(1，2) f 1(1，2)f 2(1，2)f 1(1，2)2f 2(1，2)34(3 24)47 所以， 3 2(1)(1)3f(1，f(1，2) 247141f(1，2)21414 564 19 【正确答案】 0f(sin)d 0()f(sin)(d) 0()f(sin
15、)d 0f(sin)d 0f(sin)d， 即 20f(sin)d 0f(sin)d，从而利用上述积分等式，由于 ，具有上述 f(sin)的形式故有20 【正确答案】 () 先求 B0 的基础解系，为此，首先要找出矩阵 B 的秩 由题目的已知信息可知：A0 的基础解系中含有两个向量，故 4R(A)2，即R(A) 2，而由(1 ，0，2， 1)T 是 A0 的解，可得 12 3 40，故4 12 3可知 4 能由 1， 2， 3 线性表示，故 R( 1， 2， 3， 4)R( 1， 2， 3)R(B)，即 R(B)2 因此，B0 的基础解系中仅含一个向量，求出 B0 的任一非零解即为其基础解系
16、由于 (1，0，2，1) T，(2 ，1，1，1) T均为 A0 的解，故它们的和(3，1，3，0) T 也为 A0 的解， 可知31 23 30，因此(3，1，3) T 为 B0 的解，也即(3，1，3) T 为 B0 的基础解系 最后，再求 Bb 的任何一个特解即可只需使得 Ab 的通解中 1 的系数为 0 即可 为此，令(1，1，1，1) Tk 1(1，0，2，1) Tk 2(2，1，1，1) T 中k10，k 21，得(3，2，2，0) T 是 Ab 的一个解，故(3，2，2) T 是 Bb 的一个解 可知 Bb 的通解为(3，2，2) Tk(3，1，3) T，kR ()与()类似，先
17、求C0 的基础解系 由于 C 即为线性方程组 Ab 的增广矩阵，故 R(C)R(A)2，可知 C0 的基础解系中含有 523 个线性无关的解向量，为此，需要找出 C0 的三个线性无关的解 由于(1，0，2，1) T，(2 ，1，1，1) T 均为 A0的解，可知(1，0，2，1，0) T，(2，1，11，0) T 均为 C0 的解而(1，1， 1，1) T 为 Ab 的解，可知 1 2 3 4b，也即1 2 3 4b0，故 (1，1，1，1，1) T 也为 C0 的解 这样，我们就找到了 C0 的三个解：(1，0，2，1，0) T，(2，1， 1，1，0)T， (1，1，l， 1，1) T，容
18、易验证它们是线性无关的，故它们即为 C0 的基础解系 最后，易知(0，0，0，0，1) T 为 Cb 的解，故 Cb 的通解为 (0，0， 00，1) Tk 1(1，0，2，1，0) Tk 2(2，1，1，1，0)T k3(1，1， 11，1) T，k iR，i1，2，321 【正确答案】 由E A (2)(1)(1)， 得 A的特征值为 2，1，1因此 A 相似于 进而求得对应于 2，1，1的特征向量分别为 令 P( 1， 2， 3)，则有 P-1AP 又因为 B 是下三角矩阵，所以特征值为 2，1，1 B 也相似于 进而求得对应 2，1，1 的特征向量分别为令 Q( 1， 2， 3)，则
19、Q-1BQ 因此 P-1APQ -1BQ，所以 BQP -1APQ-1(PQ -1)-1A(PQ-1)， 令 XPQ -1，X 即为所求22 【正确答案】 () 由概率分布的性质知a020 1b02 01c 1，即 abc04 (*) 由(X ，Y)的概率分布可写出 X 的边缘概率分布为故 E(X)(a02)(c01) 02，即 ac01 (*) 又因05PY0 X0 即 ab03 (*) 将(*)，(*)，(*)联立，解方程组得 a02，b01，c01 ()Z 的可能取值为2，1，0，1，2，则 PZ2PX 1，Y 1 02， PZ1PX1，Y0PX0，Y101， PZ0 PX1，Y 1PX0，Y0PX1，Y103， PZ1 PX1，Y 0PX0，Y103， PZ 2 PX 1，Y 1 01 故 Z 的概率分布为 ()PX ZPXXYPY0001010223 【正确答案】 () 区域 D 的面积为 SD 01( 2)d ，所以(X ，Y)的概率密度为 当 01 时，f() 6dy6( 2) 所以 X 的边缘概率密度为当 0y1 时，f Y1(y)所以 Y 的边缘概率密度为()E(XY)
