1、考研数学(数学三)模拟试卷 455 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 若 则( )(A)k=2,a=2(B) k=2,a= 2(C) k=2,a=2(D)k=一 2,a=22 的渐近线的条数为( )(A)2(B) 3(C) 4(D)53 设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域,z=f(x,y)在 D 上连续,在 D 内可偏导且满足若 f(x,y) 在 D 内没有零点,则 f(x,y)在 D 上( )(A)最大值和最小值只能在边界上取到(B)最大值和最小值只能在区域内部取到(C)有最小值无最大值(D)有最大值无最小值4 (A)发散(B)条件收敛(C)绝
2、对收敛(D)级数敛散性与 a 有关5 其中 a1,a 2,a 3,a 4 两两不等,下列命题正确的是 ( )(A)方程组 AX=0 只有零解(B)方程组 ATX=0 有非零解(C)方程组 ATAX=0 只有零解(D)方程组 AATX=0 只有零解6 设三阶矩阵 A 的特征值为1,1,3,其对应的线性无关的特征向量为1, 2, 3,令 P=(21+2, 1 2,2 3),则 P1 A*P=( ) 7 设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)严格递增,YU(0 ,1),则 Z=F1 (Y)的分布函数( ) (A)可导(B)连续但不一定可导且与 X 分布相同(C)只有一个间断点(D)有两个以上的间
3、断点8 二、填空题9 10 设 z=z(x,y)由 (x2z 2,e z+2y)=0 确定,其中 连续可偏导,则11 12 13 设 A,B 为三阶矩阵,AB, 1=1, 2=1 为矩阵 A 的两个特征值,又则14 设总体 XN(0,1) ,X 1,X 2,X 3,X 4 为来自总体的简单随机样本,则服从的分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 设 f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0,且 f(x)在0 ,1上的最小值为 1证明:存在(0, 1),使得 f“()817 求二重积分 其中 D=(x,y)0y1x,0x118 某企业生产某种商品的成本函数为
4、C=a+bQ+cQ2,收入函数为 R=lQsQ 2,其中常数 a,b,c,l,s 都是正常数,Q 为销售量,求: (I)当每件商品的征税额为 t 时,该企业获得最大利润时的销售量; ()当企业利润最大时,t 为何值时征税收益最大19 求幂级数 的收敛区域与和函数。20 设 已知 AX=B 有解 (1)求常数a,b (2)求 X21 设二次型 f(x1 1,x 2,x 3)=5x12+ax22+3x322x 1x2+6x1x36x 2x3 的矩阵合同于(I)求常数 a; ()用正交变换法化二次型 f(x1,x 2,x 3)为标准形22 设随机变量 XU(0,1),YE(1) ,且 X,Y 相互独
5、立,求 Z=X+Y 的密度函数fZ(z)23 设总体 X 的密度函数为 其中 1 是未知参数,X 1,X 2,X n 是来自总体 X 的简单随机样本 (I)求 的矩估计量; ()求 的最大似然估计量考研数学(数学三)模拟试卷 455 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 故k=2,a=2,选 A2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x,y) 在 D 上连续,所以 f(x,y)在 D 上一定取到最大值与最小值,不妨设 f(x,y)在 D 上的最大值 M 在 D 内的点(x 0,y 0)处取
6、到,即 f(x0,y 0)=M0,此时 矛盾,即f(x,y)在 D 上的最大值 M 不可能在 D 内取到,同理 f(x,y)在 D 上的最小值 m 不可能在 D 内取到,选 A4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 由 r(A)=3T)=r(A)=3,得方程组 ATX=0 只有零解,不选 B; 由 r(A)=r(ATA)=3TAX=0 有非零解,不选 C; 由 r(A)=r(AAT)=3,得方程组 AATX=0 只有零解,选 D6 【正确答案】 C【试题解析】 A=3,A *的特征值为3,3, 1,显然 1, 2, 3 也为 A*的线性无关的特征向量,且 21+2,
7、 1 2,2 3 为 A*的线性无关的特征向量,故应选 C7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 YU(0,1),所以 Y 的分布函数为则 Z=F1 (Y)的分布函数为 FZ(z)=PZz)=PF1 (Y)z)=PYF(z)=FYF(z), 因为 0F(z)1,所以 FZ(z)=F(z),即 Z 与 X 分布相同,选B8 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 (x 2z 2,e z+2y)=0 两边对 x 求偏导,得解得11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 因为
8、所以B=3,又因为 AB,所以 A,B 有相同的特征值,设 A 的另一个特征值为 3,由A =B = 123,得 3=3,因为A 一 3E 的特征值为4,2,6,所以A3E=48 14 【正确答案】 t(1)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 因为 f(x)在0 ,1上连续,所以 f(x)在0,1上取到最小值和最大值,又因为 f(0)=f(1)=0,且 f(x)在0,1上的最小值为1,所以存在 c(0,1),使得 f(c)=1,f(c)=0,由泰勒公式得 17 【正确答案】 方法一: 如图(1),在区域 D 内作圆 x2+y2
9、=x,将区域 D 分为D1,D 2,则 第一象限的角平分线将 D1 分为 D11 及 D12, 方法二: 如图(2),在区域 D 内作圆 x2+y2=x,将区域 D 分为 D1,D 2,则 18 【正确答案】 (I)利润函数为 L=R CtQ=lQ-sQ 2abQ-cQ 2-tQ 19 【正确答案】 20 【正确答案】 (I)因为 AX=B 有解,所以 r(AB)=r(A), ()令 X=(X1,X 2),B=(b 1,b 2), 21 【正确答案】 22 【正确答案】 X,Y 的边缘密度分别为 因为 X,Y 独立,所以(X, Y)的联合密度函数为 当 z0 时, FZ(z)=0; 23 【正确答案】 ()记样本观察值为 x1,x 2,x n,似然函数为
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