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[考研类试卷]考研数学(数学三)模拟试卷458及答案与解析.doc

1、考研数学(数学三)模拟试卷 458 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 下列无穷小中阶数最高的是( )(A)e xe tanx(B)(C) ln(1+x)sinx(D)2 下列命题正确的是( ) (A)若 f(x)在 x0 处可导,则一定存在 0,在xx 0 内 f(x)可导(B)若 f(x)在 x0 处连续,则一定存在 0,在xx 0 内 f(x)连续(C)若 存在,则 f(x)在 x0 处可导(D)若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导, f(x)在 x0 处连续,且 存在,则f(x)在 x0 处可导,且3 设 f(x)二阶连续可导,g(x)连续,

2、且则( )(A)f(0)为 f(x)的极大值(B) f(0)为 f(x)的极小值(C) (0,f(0)为 y=f(x)的拐点(D)f(0)不是 f(x)的极值,(0,f(0)也不是 y=f(x)的拐点4 设 f(x)=x33x+k 只有一个零点,则 k 的范围是( )(A)k1(B) k1(C) k2(D)k25 设则 B 等于 ( )(A)P 1P21 A(B) AP1P2 1(C) P1AP2 1(D)P 21 AP16 设 A 为 3 阶矩阵,B=( 1, 2, 3), 1 为 AX=0 的解, 2 不是 AX=0 的解,又r(AB)(A)0(B) 1(C) 2(D)37 对于任意两个随

3、机变量 X 和 Y,若 E(XY)=E(X)E(Y),则( )(A)D(XY)=D(X)D(Y) (B) D(X+Y)=D(X)D(Y)(C) X 和 Y 独立(D)X 和 Y 不相关8 设(X 1,X 2,X n)(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本,则( ) 二、填空题9 设 f(x)=exsin2x,则 f(4)(0)=_10 11 12 微分方程 的通解为_13 设 A 为三阶实对称矩阵, 为方程组 AX=0 的解, 为方程组(2EA)X=0 的一个解,E+A=0 ,则 A=_14 设 X1,X 2,X m 与 Y1,Y 2,Y n 分别为来自相互独立的标准正态总体 X与 Y 的

4、简单随机样本, 则 D(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0,2上连续,在 (0,2)内三阶可导,且 f(1)=1,f(2)=6证明:存在 (0,2),使得 f“()=9 16 设 u=f(x2+y2,xz),z=z(x ,y) 由 ex+ey=ez 确定,其中 f 二阶连续可偏导,求17 设 f(x)连续,且 f(1)=0,f(1)=2,求极限18 求幂级数 的收敛域与和函数19 求微分方程 y“+y2y=xe x+sin2x 的通解20 设 B 为三阶非零矩阵,为 BX=0 的解向量,且 AX=3 有解 (I) 求常数 a,b ()求 BX=0

5、的通解21 设二次型 f(xz,x 2,x 3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3 的秩为 1,且(0,1, 1)T 为二次型的矩阵 A 的特征向量 (I)求常数 a,b; ()求正交变换X=QY,使二次型 XTAX 化为标准形22 设随机变量 X 的分布律为 PX=k)=p(1p) k-1(k=1,2,),Y 在 1k 之间等可能取值,求 PY=3)23 设 X1,X 2,X n(n2)相互独立且都服从 N(0,1),Yi=Xi (i=1,2,n)求 (I)D(Y i)(i=1,2,n); ()Cov(Y 1,Y n); ()PY 1+Yn0)考研数学(数学三)

6、模拟试卷 458 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 e xe tanx=etanx(ex-tanx1) xtanx , 2 【正确答案】 D【试题解析】 得 f(x)在 x=0 处可导(也连续 ) 对任意的 a0,因为 不存在,所以 f(x)在 x=a 处不连续,当然也不可导,即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点,A ,B 不对; 所以 f(x)在 x=0 处不连续,当然也不可导, C 不对; 因为 f(x)在 x0 处连续且在 x0的去心邻域内可导,所以由微分中值定理有 选 D.3 【正确答案】 C【试题解析】

7、显然 得 g(0)=0,g(0)= 2 故(0, f(0)为 y=f(x)的拐点,选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)为三次函数,至少有一个零点,因为函数不单调,故要使函数只有一个零点,必须极小值大于零或极大值小于零F(x)=3(x 21)=0,得驻点x=1,且由图形可知, x=1 为极大值点,x=1 为极小值点故 f(1)=2+k k2,f(1)= 2+k0 k2,选 C5 【正确答案】 C【试题解析】 选 C6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 2 不是 AX=0 的解,所以 ABO,从而 r(AB)1; 显然 1, 2不成比例,则 r(B)2, 由 r(AB)7 【正确答案

8、】 D【试题解析】 因为 E(XY)=E(X)E(Y),所以 Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0 ,于是 XY=0,即 X,Y 不相关,应选 D8 【正确答案】 D【试题解析】 选 D.二、填空题9 【正确答案】 24【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 当 t=0 时,x=1 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 显然 为 A 的特征向量,其对应的特征值分别为 1=0, 2=2,因为 A 为实对称矩阵,所以考 1T2=k22k+1=0,解得 k=1,于是 又因为E+A=0,所以 3=1 为 A 的特征值,

9、 14 【正确答案】 2(m+n 2)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 得 f(0)=0,f(0)=2 作多项式 P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D,使得 P(0)=0,P (0)=2,P(1)=1,P(2)=6, 则 (x)在0,2上连续,在(0,2)内可导,且 (0)=(1)=(2)=0 因此 (x)在0 ,1和 1,2上都满足罗尔定理的条件,则存在 1(0,1), 2(1,2),使得 ( 1)=( 2)=0 又 (0)=0 ,由罗尔定理,存在 3(0, 1), 2(1, 2),使得 “(1)=“(2)=0,再由罗尔定理,存在(1, 2

10、) (0,2),使得 “(=0而 “(x)=f“(x)9,所以 f“()=916 【正确答案】 由 ex+ey=ez 得 17 【正确答案】 18 【正确答案】 由 得 R=+,原级数的收敛域为(,+) 19 【正确答案】 特征方程为 2+ 一 2=0, 特征值为 1=2, 2=1,y“+y2y=0的通解为 y=C1e-2x+C2ex 设 y“+y2y=xe x, (*) y“+y2y=sin 2x (*) 20 【正确答案】 由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)1,从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量,于是 解得 a=3b 由 AX=3 有解得 r(A)=r(A), 由解得 b=5,从而 a=15 由 1, 2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3r(B)2,从而r(B)1, 再由 r(B)1 得 r(B)=1, 1, 2 为 BX=0 的一个基础解系,故 BX=0 的通解为21 【正确答案】 22 【正确答案】 令 Ak=X=k(k=1,2,),B=Y=3,P(BA 1)=P(BA 2)=0, P(BA k)= (k3), 由全概率公式得 23 【正确答案】 因为 X1,X 2,X n 独立且都服从正态分布,所以 Y1+Yn 服从正态分布,

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