1、考研数学（数学三）模拟试卷 458 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列无穷小中阶数最高的是( )（A）e xe tanx（B）（C） ln(1+x)sinx（D）2 下列命题正确的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处可导，则一定存在 0，在xx 0 内 f(x)可导（B）若 f(x)在 x0 处连续，则一定存在 0，在xx 0 内 f(x)连续（C）若 存在，则 f(x)在 x0 处可导（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导， f(x)在 x0 处连续，且 存在，则f(x)在 x0 处可导，且3 设 f(x)二阶连续可导，g(x)连续，
2、且则( )（A）f(0)为 f(x)的极大值（B） f(0)为 f(x)的极小值（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点4 设 f(x)=x33x+k 只有一个零点，则 k 的范围是( )（A）k1（B） k1（C） k2（D）k25 设则 B 等于 ( )（A）P 1P21 A（B） AP1P2 1（C） P1AP2 1（D）P 21 AP16 设 A 为 3 阶矩阵，B=( 1， 2， 3)， 1 为 AX=0 的解， 2 不是 AX=0 的解，又r(AB)（A）0（B） 1（C） 2（D）37 对于任意两个随
3、机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（A）D(XY)=D(X)D(Y) （B） D(X+Y)=D(X)D(Y)（C） X 和 Y 独立（D）X 和 Y 不相关8 设(X 1，X 2，X n)(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则( ) 二、填空题9 设 f(x)=exsin2x，则 f(4)(0)=_10 11 12 微分方程 的通解为_13 设 A 为三阶实对称矩阵， 为方程组 AX=0 的解， 为方程组(2EA)X=0 的一个解，E+A=0 ，则 A=_14 设 X1，X 2，X m 与 Y1，Y 2，Y n 分别为来自相互独立的标准正态总体 X与 Y 的
4、简单随机样本， 则 D(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内三阶可导，且 f(1)=1，f(2)=6证明：存在 (0，2)，使得 f“()=9 16 设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x ，y) 由 ex+ey=ez 确定，其中 f 二阶连续可偏导，求17 设 f(x)连续，且 f(1)=0，f(1)=2，求极限18 求幂级数 的收敛域与和函数19 求微分方程 y“+y2y=xe x+sin2x 的通解20 设 B 为三阶非零矩阵，为 BX=0 的解向量，且 AX=3 有解 (I) 求常数 a，b ()求 BX=0
5、的通解21 设二次型 f(xz，x 2，x 3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3 的秩为 1，且(0，1， 1)T 为二次型的矩阵 A 的特征向量 (I)求常数 a，b； ()求正交变换X=QY，使二次型 XTAX 化为标准形22 设随机变量 X 的分布律为 PX=k)=p(1p) k-1(k=1，2，)，Y 在 1k 之间等可能取值，求 PY=3)23 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Yi=Xi (i=1，2，n)求 (I)D(Y i)(i=1，2，n)； ()Cov(Y 1，Y n)； ()PY 1+Yn0)考研数学（数学三）
6、模拟试卷 458 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 e xe tanx=etanx(ex-tanx1) xtanx ， 2 【正确答案】 D【试题解析】 得 f(x)在 x=0 处可导(也连续 ) 对任意的 a0，因为 不存在，所以 f(x)在 x=a 处不连续，当然也不可导，即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点，A ，B 不对； 所以 f(x)在 x=0 处不连续，当然也不可导， C 不对； 因为 f(x)在 x0 处连续且在 x0的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有 选 D.3 【正确答案】 C【试题解析】
7、显然 得 g(0)=0，g(0)= 2 故(0， f(0)为 y=f(x)的拐点，选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零F(x)=3(x 21)=0，得驻点x=1，且由图形可知， x=1 为极大值点，x=1 为极小值点故 f(1)=2+k k2，f(1)= 2+k0 k2，选 C5 【正确答案】 C【试题解析】 选 C6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 2 不是 AX=0 的解，所以 ABO，从而 r(AB)1； 显然 1， 2不成比例，则 r(B)2， 由 r(AB)7 【正确答案
8、】 D【试题解析】 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0 ，于是 XY=0，即 X，Y 不相关，应选 D8 【正确答案】 D【试题解析】 选 D.二、填空题9 【正确答案】 24【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 当 t=0 时，x=1 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 显然 为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为 1=0， 2=2，因为 A 为实对称矩阵，所以考 1T2=k22k+1=0，解得 k=1，于是 又因为E+A=0，所以 3=1 为 A 的特征值，
9、 14 【正确答案】 2(m+n 2)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 得 f(0)=0，f(0)=2 作多项式 P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得 P(0)=0，P (0)=2，P(1)=1，P(2)=6， 则 (x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 (0)=(1)=(2)=0 因此 (x)在0 ，1和 1，2上都满足罗尔定理的条件，则存在 1(0，1)， 2(1，2)，使得 ( 1)=( 2)=0 又 (0)=0 ，由罗尔定理，存在 3(0， 1)， 2(1， 2)，使得 “(1)=“(2)=0，再由罗尔定理，存在(1， 2
10、) (0，2)，使得 “(=0而 “(x)=f“(x)9，所以 f“()=916 【正确答案】 由 ex+ey=ez 得 17 【正确答案】 18 【正确答案】 由 得 R=+，原级数的收敛域为(，+) 19 【正确答案】 特征方程为 2+ 一 2=0， 特征值为 1=2， 2=1，y“+y2y=0的通解为 y=C1e-2x+C2ex 设 y“+y2y=xe x， (*) y“+y2y=sin 2x (*) 20 【正确答案】 由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)1，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量，于是 解得 a=3b 由 AX=3 有解得 r(A)=r(A)， 由解得 b=5，从而 a=15 由 1， 2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3r(B)2，从而r(B)1， 再由 r(B)1 得 r(B)=1， 1， 2 为 BX=0 的一个基础解系，故 BX=0 的通解为21 【正确答案】 22 【正确答案】 令 Ak=X=k(k=1，2，)，B=Y=3，P(BA 1)=P(BA 2)=0， P(BA k)= (k3)， 由全概率公式得 23 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y1+Yn 服从正态分布，
