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[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷296及答案与解析.doc

1、考研数学(数学二)模拟试卷 296 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)=x*tanx*esinx,则 f(x)是( )(A)偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数2 设对任意的 x,总有 (x)f(x)g(x),且 ( )(A)存在且等于零(B)存在但不一定为零(C)一定不存在(D)不一定存在3 下列各式中正确的是( ) 4 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围成的图形的面积可表示为 ( )5 设 ,其中D=(x,y) x 2+y21,则下列结论正确的是 ( )(A)I 1I 2 I3(B) I2I 3I 1(C)

2、 I1I 3I 2(D)I 3I 2 I16 二元函数 f(x,y)= 在点(0,0) 处( )(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)不连续,偏导数不存在7 齐次方程组 的系数矩阵为 A,若存在三阶矩阵 BD,使得AB=D,则( )(A)=-2 且B=0(B) =-2 且B0(C) =1 且B =0(D)=1 且B08 设 A,B 皆为 n 阶矩阵,则下列结论正确的是( )(A)AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=O(B) ABO 的充分必要条件是 AO 或 BO(C) AB=O 且 r(A)=n,则 B=O(D)若 ABO,则AO 或BO二、填空

3、题9 =_10 曲线 上对应于 t=/4 的点处的法线斜率为 _11 =_12 函数 的单调减少区间_13 微分方程 的通解是_14 设 A=(aij)nn 是正交矩阵,将 A 以行分块为 A=(a1,a 2,a n)T,则方程组AX=b,b=(b 1,b n)T 的通解为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 计算17 设函数 f(x)= ,问函数 f(x)在 x=1 处是否连续? 若不连续,修改函数在 x=1 处的定义使之连续18 设19 从点 P1(1,0)作 x 轴的垂线,交抛物线 y=x2 于点 Q1(1,1),再从 Q1 作这条抛物线的切线与 x 轴

4、交于 P2,然后又从 P2 作 x 轴的垂线,交抛物线于点 Q2,依次重复上述过程得到一系列的点 P1,Q 1,P 2,Q 2,P n,Q n,求20 设 f(x)在0,1上二阶可导且 f(x)0,证明:21 计算 ,其中 D 是曲线 y=-a+ 和直线 y=-x 所围成的区域22 考虑二次型 f=x12+4x22+4x32+2x1x2-2x1x3+4x2x3,问 取何值时,f 为正定二次型23 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 a1=(-1,2,-1) T,a 2=(0,-1,1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解 ()求 A 的特征值与特征向量; ()求正交矩阵 Q

5、和对角矩阵 A,使得 QTQ=L; ()求 A 及(A-(3/2)E) 6,其中 E 为三阶单位矩阵考研数学(数学二)模拟试卷 296 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因此 f(x)是无界函数,故应选(B)2 【正确答案】 D【试题解析】 本题可采取举反例的方法一一排除干扰项但 不存在,从而可排除(A) 、(B);又令 (x)=arctan(x-1),f(x)=arctanx,g(x)=arctan(x+1),则 (x)f(x)g(x), 因此(C)也可排除综上, 可能存在也可能不存在,所以选 (D)3 【正确答案】 A

6、【试题解析】 因为 故应选(A)4 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴的三个交点为 x=0,x=1 ,x=2,当 0x1 时,y0;当 1x2 时,y0,所以围成的面积可表示为(C)的形式,故选(C) 5 【正确答案】 A【试题解析】 在区域 D 中, 所以,I1I 2I 3(A)为答案6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 C【试题解析】 由已知 AB=D 且 BD,则 Ax=O 有非零解,从而A =O,即由此可排除(A)、(B)又由于 B 也是三阶矩阵且AB=0,假设 BO,则 B-1 存在,则 A=O,矛盾,所以B=0综上,选(C)8 【

7、正确答案】 C【试题解析】 取 ,显然 AB=O,故(A)、(B)都不对,取 ,但A =O 且B=O,故(D)不对,由 AB=O 得 r(A)+r(B)n,因为 r(A)=n,所以 r(B)=O,于是 B=O,所以选(C) 二、填空题9 【正确答案】 e【试题解析】 因为10 【正确答案】 【试题解析】 因 故斜率为11 【正确答案】 【试题解析】 原式12 【正确答案】 0x1/4【试题解析】 13 【正确答案】 y=Cxe x, C 为任意常数【试题解析】 微分方程 是可变量分离的一阶方程,分离变量得积分得 lny=lnx+x+C 1,即 y=e C1xe x,所以,原方程的通解为 y=C

8、xex,C 为任意常数14 【正确答案】 【试题解析】 因 A 为正交矩阵,故 A-1=AT,而方程组 AX=b 的解为:三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 所以16 【正确答案】 17 【正确答案】 因为18 【正确答案】 按照复合函数偏导的方法,得19 【正确答案】 依题意画图(如图) 由 y=x2 得 y=2x,任 给 a(0a1) ,抛物线 y=x2 在点(a,a 2)处的切线方程 为 y-a2=2a(x-a), 该切线与 x轴的交点为(a2,0),因此由 以此类推,知20 【正确答案】 由泰勒公式得21 【正确答案】 令22 【正确答案】 二次

9、型 f 的矩阵为 A= 二次型 f 正定的充分必要条件是:A 的顺序主子式全为正,事实上,A 的顺序主子式为:D 1=10,于是,二次型 f 正定的充分必要条件是 D20,D 32=4-20 得-22, 由 D3=-4(-1)(+2)0 得-2A1 于是,二次型 f 正定当且仅当2123 【正确答案】 () 依题意,因为 所以 3 是矩阵 A 的一个特征值,a=(1,1,1) T 是 A 属于 3 的特征向量,又因为 Aa1=0=0a1,Aa 2=0=0a2,所以a1,a 2 是矩阵 A 属于 =0 的特征向量,所以 A 的特征值是 3、0、0,且 =0 的特征向量为 k1,(-1,2,-1) T+k2(0,-1,1) T(k1,k 2 是不全为 0 的常数)=3 的特征向量为 k=(1,1,1)k 1(k0 为常数 )()由于 a1,a 2 不正交,所以要做 Schmidt 正交化: 1=a1=(-1,2,-1) T,

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