1、考研数学（数学二）模拟试卷 296 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)=x*tanx*esinx，则 f(x)是( )（A）偶函数（B）无界函数（C）周期函数（D）单调函数2 设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 ( )（A）存在且等于零（B）存在但不一定为零（C）一定不存在（D）不一定存在3 下列各式中正确的是( ) 4 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围成的图形的面积可表示为 ( )5 设 ，其中D=(x，y) x 2+y21，则下列结论正确的是 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I2I 3I 1（C）
2、 I1I 3I 2（D）I 3I 2 I16 二元函数 f(x，y)= 在点(0，0) 处( )（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在7 齐次方程组 的系数矩阵为 A，若存在三阶矩阵 BD，使得AB=D，则( )（A）=-2 且B=0（B） =-2 且B0（C） =1 且B =0（D）=1 且B08 设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=O（B） ABO 的充分必要条件是 AO 或 BO（C） AB=O 且 r(A)=n，则 B=O（D）若 ABO，则AO 或BO二、填空
3、题9 =_10 曲线 上对应于 t=/4 的点处的法线斜率为 _11 =_12 函数 的单调减少区间_13 微分方程 的通解是_14 设 A=(aij)nn 是正交矩阵，将 A 以行分块为 A=(a1，a 2，a n)T，则方程组AX=b，b=(b 1，b n)T 的通解为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 计算17 设函数 f(x)= ，问函数 f(x)在 x=1 处是否连续? 若不连续，修改函数在 x=1 处的定义使之连续18 设19 从点 P1(1，0)作 x 轴的垂线，交抛物线 y=x2 于点 Q1(1，1)，再从 Q1 作这条抛物线的切线与 x 轴
4、交于 P2，然后又从 P2 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 Q2，依次重复上述过程得到一系列的点 P1，Q 1，P 2，Q 2，P n，Q n，求20 设 f(x)在0，1上二阶可导且 f(x)0，证明：21 计算 ，其中 D 是曲线 y=-a+ 和直线 y=-x 所围成的区域22 考虑二次型 f=x12+4x22+4x32+2x1x2-2x1x3+4x2x3，问 取何值时，f 为正定二次型23 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 a1=(-1，2，-1) T，a 2=(0，-1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解 ()求 A 的特征值与特征向量； ()求正交矩阵 Q
5、和对角矩阵 A，使得 QTQ=L； ()求 A 及(A-(3/2)E) 6，其中 E 为三阶单位矩阵考研数学（数学二）模拟试卷 296 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因此 f(x)是无界函数，故应选(B)2 【正确答案】 D【试题解析】 本题可采取举反例的方法一一排除干扰项但 不存在，从而可排除(A) 、(B)；又令 (x)=arctan(x-1)，f(x)=arctanx，g(x)=arctan(x+1)，则 (x)f(x)g(x)， 因此(C)也可排除综上， 可能存在也可能不存在，所以选 (D)3 【正确答案】 A
6、试题解析】 因为 故应选(A)4 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴的三个交点为 x=0，x=1 ，x=2，当 0x1 时，y0；当 1x2 时，y0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，故选(C) 5 【正确答案】 A【试题解析】 在区域 D 中， 所以，I1I 2I 3(A)为答案6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 C【试题解析】 由已知 AB=D 且 BD，则 Ax=O 有非零解，从而A =O，即由此可排除(A)、(B)又由于 B 也是三阶矩阵且AB=0，假设 BO，则 B-1 存在，则 A=O，矛盾，所以B=0综上，选(C)8 【
7、正确答案】 C【试题解析】 取 ，显然 AB=O，故(A)、(B)都不对，取 ，但A =O 且B=O，故(D)不对，由 AB=O 得 r(A)+r(B)n，因为 r(A)=n，所以 r(B)=O，于是 B=O，所以选(C) 二、填空题9 【正确答案】 e【试题解析】 因为10 【正确答案】 【试题解析】 因 故斜率为11 【正确答案】 【试题解析】 原式12 【正确答案】 0x1/4【试题解析】 13 【正确答案】 y=Cxe x， C 为任意常数【试题解析】 微分方程 是可变量分离的一阶方程，分离变量得积分得 lny=lnx+x+C 1，即 y=e C1xe x，所以，原方程的通解为 y=C
8、xex，C 为任意常数14 【正确答案】 【试题解析】 因 A 为正交矩阵，故 A-1=AT，而方程组 AX=b 的解为：三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 所以16 【正确答案】 17 【正确答案】 因为18 【正确答案】 按照复合函数偏导的方法，得19 【正确答案】 依题意画图(如图) 由 y=x2 得 y=2x，任 给 a(0a1) ，抛物线 y=x2 在点(a，a 2)处的切线方程 为 y-a2=2a(x-a)， 该切线与 x轴的交点为(a2，0)，因此由 以此类推，知20 【正确答案】 由泰勒公式得21 【正确答案】 令22 【正确答案】 二次
9、型 f 的矩阵为 A= 二次型 f 正定的充分必要条件是：A 的顺序主子式全为正，事实上，A 的顺序主子式为：D 1=10，于是，二次型 f 正定的充分必要条件是 D20，D 32=4-20 得-22， 由 D3=-4(-1)(+2)0 得-2A1 于是，二次型 f 正定当且仅当2123 【正确答案】 () 依题意，因为 所以 3 是矩阵 A 的一个特征值，a=(1，1，1) T 是 A 属于 3 的特征向量，又因为 Aa1=0=0a1，Aa 2=0=0a2，所以a1，a 2 是矩阵 A 属于 =0 的特征向量，所以 A 的特征值是 3、0、0，且 =0 的特征向量为 k1，(-1，2，-1) T+k2(0，-1，1) T(k1，k 2 是不全为 0 的常数)=3 的特征向量为 k=(1，1，1)k 1(k0 为常数 )()由于 a1，a 2 不正交，所以要做 Schmidt 正交化： 1=a1=(-1，2，-1) T，
