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[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷412及答案与解析.doc

1、考研数学(数学二)模拟试卷 412 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= 且 g(0)=g(0)=0,则 f(x)在点 x=0 处( )(A)连续但不可导。(B)可导但 f(0)=0。(C)极限存在但不连续。(D)可微且 df(x)|x=0=0。2 已知 f(x)具有二阶连续导数,g(x) 为连续函数,且 f(x)=lncosx+0xg(x 一 t)dt,=一 2,则( )(A)x=0 为 f(x)的极大值点。(B) x=0 为 f(x)的极小值点。(C) (0,f(0)为曲线 y=f(x)的拐点。(D)x=0 不是 f(x)的极小值

2、点,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。3 设 f(x,y)为连续函数,D=(x,y)|x 2+y2t2,则 =( )(A)f(0,0)。(B)一 f(0,0) 。(C) f(0,0)。(D)不存在。4 函数 f(x)=2x 一 x2 一 1( )(A)至多有两个零点。(B)只有三个零点。(C)没有零点。(D)有无穷多个零点。5 以下四个命题,正确的个数为( ) 设 f(x)是(一,+)上连续的奇函数,则 +f(x)dx 必收敛,且 +f(x)dx=0。 设 f(x)在(一,+)上连续,且RRf(x)dx。 若 +f(x)dx 与 +g(x)dx 都发散,则 +f(x)+g(x)dx

3、 未必发散。 若 0f(x)dx 与 0+f(x)dx 都发散,则 +f(x)dx 未必发散。(A)1 个。(B) 2 个。(C) 3 个。(D)4 个。6 设 y=f(x)是0,)上单调增加的连续函数, f(0)=0,记它的反函数为 x=f1(y),a0,b0,令 I=0af(x)dx+0bf1(y)dy,则( )(A)Iab。(B) Iab。(C) Iab。(D)Iab。7 已知三阶矩阵 A 的特征值为 0,1,则下列结论中不正确的是( )(A)矩阵 A 是不可逆的。(B)矩阵 A 的主对角元素之和为 O。(C) 1 和一 1 所对应的特征向量相交。(D)Ax=0 的基础解系由一个向量构成

4、。8 设 A 为四阶实对称矩阵,且 A2+2A 一 3E=O,若 r(AE)=1,则二次型 xTAx 在正交变换下的标准形为( )(A)y 12+y22+y32 一 y42。(B) y12+y22+y32 一 3y42。(C) y12y223y32 一 3y42。(D)y 12+y223y32 一 3y42。二、填空题9 设 f(x)一阶可导,且 f(0)=f(0)=1,则 =_。10 累次积分 =_。11 设(x 0,y 0)是抛物线 y=ax2+bx+c 上的一点。若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是_。12 由曲线 y=xex 与直线 y=ex 所围成的图形的面积 S=_。13 设

5、方程 xyz+ ln2 确定隐函数 z=z(x,y),则在点(0,一1,1)的全微分出=_。14 设 A,B 均为三阶矩阵,E 是三阶单位矩阵,已知 AB=2A+3B,A=,则(B 一 2E)1=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算二重积分 dxdy,其中 D 是曲线 y=4x2 和 y=9x2 在第一象限所围成的区域。16 试在微分方程 =2y 一 x 的一切解中确定一个解 y=y(x),使得曲线 y=y(x)与直线 x=1,x=2 及 y=0 所围平面图形绕 y=0 旋转一周的旋转体体积最小。17 设 f(u,v)具有连续偏导数,且 fu(u,v)+f v(u,

6、v)=sin(u+v)e u+v,求 y(x)=e2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。18 设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b) 内可导,且 f(a)=f(b)=0,证明:()存在一点 (a,b),使得 f()+f()=0;()存在一点 (a,b) ,使得 f()+f()=0。19 一个瓷质容器,内壁和外壁的形状分别为抛物线 y=。把它铅直地浮在水中,再注入比重为 3 的溶液。问欲保持容器不沉没,注入液体的最大深度是多少?( 长度单位为厘米)20 求函数 f(x,y)=e 2x(x+y2+2y)的极值。21 设函数 f(x)连续,且满足 f(x)+J(x 一 2 一 t)

7、f(t)dt=6(x 一 2)ex,求 f(x)。22 (已知四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 2,它的三个解向量为1, 2, 3,且 1+22=(2,0,5,一 1)T, 1+23=(4,3,一 1,5)T, 3+21=(1,0,一 1,2) T,求方程组的通解。23 已知(1 ,一 1,0) T 是二次型 xTAx=ax12+x32 一 2x1x2+2x1x3+2bx2x3 的矩阵 A 的特征向量,利用正交变换将二次型 xTAx 化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。考研数学(数学二)模拟试卷 412 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1

8、 【正确答案】 D【试题解析】 由 g(0)=0 知 g(x)在 x=0 处可导,因此也可知 g(x)在 x=0 处连续,即故 f(x)在 x=0 处可导,即可微,且 df(x)|x=0,=0。可见应选 D。2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x,y) 在 D 上连续,由积分中值定理可知,在 D 上至少存在一点(,)使 f(x,y)d=t 2f(,)因为( ,) 在 D 上,所以当 t0 +时,(,)(0, 0)则 因此应选 A。4 【正确答案】 B【试题解析】 显然 f(0)=0,f(1)=0 ,此外 f(4)=一 10mf(5)=60,所以由零点定

9、理,至少有一点 x0(4,5),使得 f(x0)=0,即函数至少有三个零点。 以下证明函数只有这三个零点(反证法) : 假设函数 f(x)有四个零点,设为 x1x 2x 3x 4,由罗尔定理有 x1 1x 2 2x 3 3x 4,使得 f( 1)=f(2)=f(3)=0, 再用罗尔定理有 ,使得 f“()=f“()=0, 再用罗尔定理有 1 2,使得 f (3)()=0, 但 f(3)(x)=2x(ln2)30 恒成立,这与 f(3)()=0 矛盾,故函数只有三个零点。故选 B。5 【正确答案】 A【试题解析】 +f(x)dx 收敛存在常数 a,使 af(x)dx 和 a+f(x)dx 都收敛

10、,此时 +f(x)dx=af(x)dx+a+f(x)dx。 设 f(x)=x,则 f(x)是(一,+)上连续的奇函数,且 RRf(x)dx=0。但是 0f(x)dx=0xdx=一, 0+f(x)dx=0+xdx=+,故 +f(x)dx 发散,这表明命题, ,都不是真命题。设f(x)=x,g(x)=一 x,由上面讨论可知 +f(x)dx 与 +g(x)dx 都发散,但 +f(x)+g(x)dx 收敛,这表明命题是真命题。故选 A。6 【正确答案】 D【试题解析】 令 F(a)=0af(x)dx+0bf1(y)dyab,则 F(a)=f(a)一 b。 设 f(T)=b,则当 0aT 时,F(a)单

11、调减少;当 aT 时,F(a)单调增加,故 F(a) 在 a=T 处取最小值 0,所以 F(a)0,即 0af(x)dx+0bf1(y)dyab。故选 D。7 【正确答案】 C【试题解析】 根据|A|= 123=0,a 11+a22+a33=1+2+3=0,知 A,B 正确;而 1=0是单根,因此(0EA)x=一 Ax=0 只有一个线性无关的解向量,即 Ax=0 的基础解系只由一个线性无关解向量构成,D 也正确。因此应选 C。8 【正确答案】 B【试题解析】 由 A2+2A 一 3E=0 有(AE)(A+3E)=O,从而 r(A 一 E)+r(A+3E)4。 又因为 r(AE)+r(A+3E)

12、=r(E A)+r(A+3E) r(EA)+(A+3E) =r(4E)=4, 所以 r(AE)+r(A+3E)=4,则 r(A+3E)=3。 于是齐次线性方程组(A E)x=0 与(A+3E)x=0 分别有三个和一个线性无关的解,即 =1 与 =一 3 分别是矩阵 A 的三重和一重特征值。故选 B。二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 根据给出的极坐标二重积分,画出积分区域图形,把极坐标转化成直角坐标,则有11 【正确答案】 ax 02=c【试题解析】 直线过原点和(x 0,y 0)两点,则直线的斜率 k= ,由抛物线方程也可得(x 0,y 0)点处切线

13、的斜率为 k=2ax0+b,于是 解得 ax02=c。12 【正确答案】 一 1【试题解析】 当时 x0 时, 1,即 exe ,因此 xexex,此时两条线无交点。因此所围图形在第一象限,13 【正确答案】 2dx+dy【试题解析】 由一阶微分形式的不变性,方程两边求微分得14 【正确答案】 【试题解析】 由 AB=2A+3B 移项并提公因式,可得 A(B 一 2E)一 3B=O。再在等式两边同时加上 6E,可得 A(B 一 2E)一 3(B 一 2E)=6E,三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 区域 D 是无界的(如右图所示),设16 【正确答案】 原微分

14、方程可化为 =一 1。这是一阶线性微分方程,由通解公式知 y= +C)=x+Cx2。 由曲线 y=x+Cx2 与直线x=1,x=2 及 y=0 所围成平面图形绕 x 轴旋转一周的17 【正确答案】 由 y(x)=e2xf(x,x),有 y(x)=一 2e2xf(x,x)+e 2xf1(x,x)+f2(x,x),由已知条件 fu(u,v)+f v(u,v)=sin(u+v)e u+v,令 u=x,v=x,得 f1(x,x)+f2(x,x)=sin(2x)e 2x,于是 y(x)满足一阶线性微分方程 y(x)+2y(x)=sin2x。通解为y(x)=e2xsin2xe 2xdx+C,由分部积分公式

15、,可得 sin2xe 2xdx=(sin2xcos2x)+Ce2x;C 为任意实数。18 【正确答案】 () 设 (x)=xf(x),则 (x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且(a)=(b)=0,由罗尔定理得存在 (a,b),使 ()=0,即 f()+f()=0。 ()设F(x)= ,则 F(x)在a,b连续,在(a,b) 内可导,且 F(a)=F(b)=0,由罗尔定理得,存在 (a,b),使 F()= f()=0,即 f()+f()=0。19 【正确答案】 设容器体积为 V,容器的容积即由抛物线 y= +1 在1,10上绕y 轴旋转所得立体的体积 V1,则设注入液体的最大深度为 h,则

16、注入液体的重量为 3 1h+110(y1)dy=15h2,若液体和容器形成一体的比重为 1,则可保持其在水中不沉没,所以由 =1,可得 h2=25,h=5。20 【正确答案】 解方程组21 【正确答案】 由积分方程 f(x)+0x(x 一 2 一 t)f(t)dt=6(x 一 2)ex 可知 f(0)=一 12。 由 f(x)连续知上式中变上限积分可导,而初等函数 6(x 一 2)ex 是可导的,所以 f(x)也可导。在方程两边对 x 求导得 f(x)+ 0xf(t)dt 一 2f(x)=6(x 一 1)ex,且 f(0)=一 30。 同理可知 f(x)二次可导,上式两端对 x 求导得 f“(

17、x)一 2f(x)+f(x)=6xex。 该二阶常系数线性微分方程的特征方程是 2 一 2+1=0,故特征根是 1(二重),于是对应的齐次方程的通解为 F(x)=(C1+C2x)ex。因非齐次项 Q(x)=6xex,可设非齐次方程的一个特解为 f*(x)=(Ax+B)x2ex,代入 f“(x)一 2f(x)+f(x)=6xex 可求得 A=1,B=0,从而原方程的解为 f(x)=(C1+C2x+x3)ex。 利用初值条件 f(0)=一 12,f(0)=一 30 可得 C1=一12,C 2=一 18,故 f(x)=(x 3 一 18x 一 12)ex。22 【正确答案】 由 1+22=(2,0,5,一 1)T, 1+23=(4,3,一 1,5)T, 3+21=(1,0,一 1,2) T 可得显然以上两个向量是线性无关的,而四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 2,故基础解系只含有两个向量,所以方程组的通解为 x=c 1(3,3,0,3) T+c2(2,)T,其中 c1, c2 为任意常数。23 【正确答案】 由于三个其特征值互异,故它们分别对应的特征向量必正交。分别将其单位化得到

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