1、考研数学（数学二）模拟试卷 412 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= 且 g(0)=g(0)=0，则 f(x)在点 x=0 处( )（A）连续但不可导。（B）可导但 f(0)=0。（C）极限存在但不连续。（D）可微且 df(x)|x=0=0。2 已知 f(x)具有二阶连续导数，g(x) 为连续函数，且 f(x)=lncosx+0xg(x 一 t)dt，=一 2，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大值点。（B） x=0 为 f(x)的极小值点。（C） (0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点。（D）x=0 不是 f(x)的极小值
2、点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。3 设 f(x，y)为连续函数，D=(x，y)|x 2+y2t2，则 =( )（A）f(0，0)。（B）一 f(0，0) 。（C） f(0，0)。（D）不存在。4 函数 f(x)=2x 一 x2 一 1( )（A）至多有两个零点。（B）只有三个零点。（C）没有零点。（D）有无穷多个零点。5 以下四个命题，正确的个数为( ) 设 f(x)是(一，+)上连续的奇函数，则 +f(x)dx 必收敛，且 +f(x)dx=0。 设 f(x)在(一，+)上连续，且RRf(x)dx。 若 +f(x)dx 与 +g(x)dx 都发散，则 +f(x)+g(x)dx
3、 未必发散。 若 0f(x)dx 与 0+f(x)dx 都发散，则 +f(x)dx 未必发散。（A）1 个。（B） 2 个。（C） 3 个。（D）4 个。6 设 y=f(x)是0，)上单调增加的连续函数， f(0)=0，记它的反函数为 x=f1(y)，a0，b0，令 I=0af(x)dx+0bf1(y)dy，则( )（A）Iab。（B） Iab。（C） Iab。（D）Iab。7 已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，则下列结论中不正确的是( )（A）矩阵 A 是不可逆的。（B）矩阵 A 的主对角元素之和为 O。（C） 1 和一 1 所对应的特征向量相交。（D）Ax=0 的基础解系由一个向量构成
4、。8 设 A 为四阶实对称矩阵，且 A2+2A 一 3E=O，若 r(AE)=1，则二次型 xTAx 在正交变换下的标准形为( )（A）y 12+y22+y32 一 y42。（B） y12+y22+y32 一 3y42。（C） y12y223y32 一 3y42。（D）y 12+y223y32 一 3y42。二、填空题9 设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f(0)=1，则 =_。10 累次积分 =_。11 设(x 0，y 0)是抛物线 y=ax2+bx+c 上的一点。若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_。12 由曲线 y=xex 与直线 y=ex 所围成的图形的面积 S=_。13 设
5、方程 xyz+ ln2 确定隐函数 z=z(x，y)，则在点(0，一1，1)的全微分出=_。14 设 A，B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A=，则(B 一 2E)1=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算二重积分 dxdy，其中 D 是曲线 y=4x2 和 y=9x2 在第一象限所围成的区域。16 试在微分方程 =2y 一 x 的一切解中确定一个解 y=y(x)，使得曲线 y=y(x)与直线 x=1，x=2 及 y=0 所围平面图形绕 y=0 旋转一周的旋转体体积最小。17 设 f(u，v)具有连续偏导数，且 fu(u，v)+f v(u，
6、v)=sin(u+v)e u+v，求 y(x)=e2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。18 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：()存在一点 (a，b)，使得 f()+f()=0；()存在一点 (a，b) ，使得 f()+f()=0。19 一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线 y=。把它铅直地浮在水中，再注入比重为 3 的溶液。问欲保持容器不沉没，注入液体的最大深度是多少?( 长度单位为厘米)20 求函数 f(x，y)=e 2x(x+y2+2y)的极值。21 设函数 f(x)连续，且满足 f(x)+J(x 一 2 一 t)
7、f(t)dt=6(x 一 2)ex，求 f(x)。22 (已知四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 2，它的三个解向量为1， 2， 3，且 1+22=(2，0，5，一 1)T， 1+23=(4，3，一 1，5)T， 3+21=(1，0，一 1，2) T，求方程组的通解。23 已知(1 ，一 1，0) T 是二次型 xTAx=ax12+x32 一 2x1x2+2x1x3+2bx2x3 的矩阵 A 的特征向量，利用正交变换将二次型 xTAx 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。考研数学（数学二）模拟试卷 412 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
8、 【正确答案】 D【试题解析】 由 g(0)=0 知 g(x)在 x=0 处可导，因此也可知 g(x)在 x=0 处连续，即故 f(x)在 x=0 处可导，即可微，且 df(x)|x=0，=0。可见应选 D。2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x，y) 在 D 上连续，由积分中值定理可知，在 D 上至少存在一点(，)使 f(x，y)d=t 2f(，)因为( ，) 在 D 上，所以当 t0 +时，(，)(0， 0)则 因此应选 A。4 【正确答案】 B【试题解析】 显然 f(0)=0，f(1)=0 ，此外 f(4)=一 10mf(5)=60，所以由零点定
9、理，至少有一点 x0(4，5)，使得 f(x0)=0，即函数至少有三个零点。 以下证明函数只有这三个零点(反证法) ： 假设函数 f(x)有四个零点，设为 x1x 2x 3x 4，由罗尔定理有 x1 1x 2 2x 3 3x 4，使得 f( 1)=f(2)=f(3)=0， 再用罗尔定理有 ，使得 f“()=f“()=0， 再用罗尔定理有 1 2，使得 f (3)()=0， 但 f(3)(x)=2x(ln2)30 恒成立，这与 f(3)()=0 矛盾，故函数只有三个零点。故选 B。5 【正确答案】 A【试题解析】 +f(x)dx 收敛存在常数 a，使 af(x)dx 和 a+f(x)dx 都收敛
10、，此时 +f(x)dx=af(x)dx+a+f(x)dx。 设 f(x)=x，则 f(x)是(一，+)上连续的奇函数，且 RRf(x)dx=0。但是 0f(x)dx=0xdx=一， 0+f(x)dx=0+xdx=+，故 +f(x)dx 发散，这表明命题， ，都不是真命题。设f(x)=x，g(x)=一 x，由上面讨论可知 +f(x)dx 与 +g(x)dx 都发散，但 +f(x)+g(x)dx 收敛，这表明命题是真命题。故选 A。6 【正确答案】 D【试题解析】 令 F(a)=0af(x)dx+0bf1(y)dyab，则 F(a)=f(a)一 b。 设 f(T)=b，则当 0aT 时，F(a)单
11、调减少；当 aT 时，F(a)单调增加，故 F(a) 在 a=T 处取最小值 0，所以 F(a)0，即 0af(x)dx+0bf1(y)dyab。故选 D。7 【正确答案】 C【试题解析】 根据|A|= 123=0，a 11+a22+a33=1+2+3=0，知 A，B 正确；而 1=0是单根，因此(0EA)x=一 Ax=0 只有一个线性无关的解向量，即 Ax=0 的基础解系只由一个线性无关解向量构成，D 也正确。因此应选 C。8 【正确答案】 B【试题解析】 由 A2+2A 一 3E=0 有(AE)(A+3E)=O，从而 r(A 一 E)+r(A+3E)4。 又因为 r(AE)+r(A+3E)
12、=r(E A)+r(A+3E) r(EA)+(A+3E) =r(4E)=4， 所以 r(AE)+r(A+3E)=4，则 r(A+3E)=3。 于是齐次线性方程组(A E)x=0 与(A+3E)x=0 分别有三个和一个线性无关的解，即 =1 与 =一 3 分别是矩阵 A 的三重和一重特征值。故选 B。二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 根据给出的极坐标二重积分，画出积分区域图形，把极坐标转化成直角坐标，则有11 【正确答案】 ax 02=c【试题解析】 直线过原点和(x 0，y 0)两点，则直线的斜率 k= ，由抛物线方程也可得(x 0，y 0)点处切线
13、的斜率为 k=2ax0+b，于是 解得 ax02=c。12 【正确答案】 一 1【试题解析】 当时 x0 时， 1，即 exe ，因此 xexex，此时两条线无交点。因此所围图形在第一象限，13 【正确答案】 2dx+dy【试题解析】 由一阶微分形式的不变性，方程两边求微分得14 【正确答案】 【试题解析】 由 AB=2A+3B 移项并提公因式，可得 A(B 一 2E)一 3B=O。再在等式两边同时加上 6E，可得 A(B 一 2E)一 3(B 一 2E)=6E，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 区域 D 是无界的(如右图所示)，设16 【正确答案】 原微分
14、方程可化为 =一 1。这是一阶线性微分方程，由通解公式知 y= +C)=x+Cx2。 由曲线 y=x+Cx2 与直线x=1，x=2 及 y=0 所围成平面图形绕 x 轴旋转一周的17 【正确答案】 由 y(x)=e2xf(x，x)，有 y(x)=一 2e2xf(x，x)+e 2xf1(x，x)+f2(x，x)，由已知条件 fu(u，v)+f v(u，v)=sin(u+v)e u+v，令 u=x，v=x，得 f1(x，x)+f2(x，x)=sin(2x)e 2x，于是 y(x)满足一阶线性微分方程 y(x)+2y(x)=sin2x。通解为y(x)=e2xsin2xe 2xdx+C，由分部积分公式
15、，可得 sin2xe 2xdx=(sin2xcos2x)+Ce2x；C 为任意实数。18 【正确答案】 () 设 (x)=xf(x)，则 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且(a)=(b)=0，由罗尔定理得存在 (a，b)，使 ()=0，即 f()+f()=0。 ()设F(x)= ，则 F(x)在a，b连续，在(a，b) 内可导，且 F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使 F()= f()=0，即 f()+f()=0。19 【正确答案】 设容器体积为 V，容器的容积即由抛物线 y= +1 在1，10上绕y 轴旋转所得立体的体积 V1，则设注入液体的最大深度为 h，则
16、注入液体的重量为 3 1h+110(y1)dy=15h2，若液体和容器形成一体的比重为 1，则可保持其在水中不沉没，所以由 =1，可得 h2=25，h=5。20 【正确答案】 解方程组21 【正确答案】 由积分方程 f(x)+0x(x 一 2 一 t)f(t)dt=6(x 一 2)ex 可知 f(0)=一 12。 由 f(x)连续知上式中变上限积分可导，而初等函数 6(x 一 2)ex 是可导的，所以 f(x)也可导。在方程两边对 x 求导得 f(x)+ 0xf(t)dt 一 2f(x)=6(x 一 1)ex，且 f(0)=一 30。 同理可知 f(x)二次可导，上式两端对 x 求导得 f“(
17、x)一 2f(x)+f(x)=6xex。 该二阶常系数线性微分方程的特征方程是 2 一 2+1=0，故特征根是 1(二重)，于是对应的齐次方程的通解为 F(x)=(C1+C2x)ex。因非齐次项 Q(x)=6xex，可设非齐次方程的一个特解为 f*(x)=(Ax+B)x2ex，代入 f“(x)一 2f(x)+f(x)=6xex 可求得 A=1，B=0，从而原方程的解为 f(x)=(C1+C2x+x3)ex。 利用初值条件 f(0)=一 12，f(0)=一 30 可得 C1=一12，C 2=一 18，故 f(x)=(x 3 一 18x 一 12)ex。22 【正确答案】 由 1+22=(2，0，5，一 1)T， 1+23=(4，3，一 1，5)T， 3+21=(1，0，一 1，2) T 可得显然以上两个向量是线性无关的，而四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 2，故基础解系只含有两个向量，所以方程组的通解为 x=c 1(3，3，0，3) T+c2(2，)T，其中 c1， c2 为任意常数。23 【正确答案】 由于三个其特征值互异，故它们分别对应的特征向量必正交。分别将其单位化得到
