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[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷432及答案与解析.doc

1、考研数学(数学二)模拟试卷 432 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x) sint2dt,g(x) x 3+x4,当 x0 时, f(x)是 g(x)的( )(A)等价无穷小(B)同阶但非等价无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小2 设 f(x)满足 0,xf(x)x 2f2(x)1e -2x 且 f(x)二阶连续可导,则( )(A)x0 为 f(x)的极小点(B) x0 为 f(x)的极大点(C) x0 不是 f(x)的极值点(D)(0 ,f(0) 是 y=f(x)的拐点3 设 f(x) ,则 f(x)有( )(A)两个可去间断点(B)两

2、个无穷间断点(C)一个可去间断点,一个跳跃间断点(D)一个可去间断点,一个无穷间断点4 设 f(x,y) 则 f(x,y) 在(0 ,0)处( )(A)不连续(B)连续但不可偏导(C)可偏导但不可微(D)可微分5 考虑二元函数 f(x,y)在点(x 0,y 0)处的下面四条性质: 连续 可微 fx(x0,y 0)与 fy(x0,y 0)存在 fx(x,y)与 fy(x, y)连续 若用“P Q”表示可由性质 P 推出性质 Q,则有( )(A) (B) (C) (D) 6 设 yy(x)是微分方程 y+(x1)y+x 2ye x 满足初始条件 y(0)=0,y(0)1 的解,则 为( ) (A)

3、0(B) 1(C) 2(D)37 下列结论正确的是( ) (A)若 A,B 特征值相同,则 AB(B)矩阵 A 的秩与其非零特征值个数相等(C)若 A,B 特征值相同,则 A,B 等价(D)A,B 的特征值相同且 A,B 都可对角化,则 AB8 设 A 是 n 阶矩阵,下列结论正确的是( )(A)设 r (A)r,则 A 有 r 个非零特征值,其余特征值皆为零(B)设 A 为非零矩阵,则 A 一定有非零特征值(C)设 A 为对称矩阵,A 22A,r (A)r ,则 A 有 r 个特征值为 2,其余全为零(D)设 A,B 为对称矩阵,且 A,B 等价,则 A,B 特征值相同二、填空题9 =_10

4、 曲线 在 t=0 对应点处的法线方程为_11 设 y=y(x)由 dt=x+1y 确定,则 =_12 =_13 微分方程 y3y+2y=2e x 满足 =1 的特解为_14 已知三阶方阵 A,B 满足关系式 E+B=AB,A 的三个特征值分别为 3,3,0,则B -1+2E=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0,1上可导,且 f(0)=0,0 01f(x)dx2 01f3(x)dx16 设抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0,0)及(1 ,2),其中 a17 设 f(u)二阶连续可导,z=f(e xsiny),且 =e2xz+e3xsiny,求 f(

5、x)18 设 L: +y2=1(x0,y0),过 L 上一点作切线,求切线与抛物线所围成面积的最小值19 已知微分方程 =(yx)z ,作变换 u=x2+y2,v= ,w=lnz(x+y), 其中w=w(u,v) ,求经过变换后原方程化成的关于 w,u,v 的微分方程的形式20 计算二重积分 (x+y)d,其中区域 D 是由直线 x=2,y=0,y=2 及曲线 x=所围成的平面区域21 当陨石穿过大气层向地面高速坠落时,陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发,实验证明,陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比,现有一陨石是质量均匀的球体,且在坠落过程中始终保持球状若它在进

6、入大气层开始燃烧的前 3s 内,减少了体积的 ,问此陨石完全燃尽需要多长时间 ?22 设 ,问 a,b,c 为何值时,矩阵方程 AX=B 有解,有解时求出全部解23 设二次型 f(x1,x 2,x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=2y12y 22y 32,又A*=,其中 =(1,1, 1)T ()求矩阵 A; ( )求正交矩阵 Q,使得经过正交变换 X=QY,二次型 f(x1,x 2,x 3)=XTAX 化为标准形考研数学(数学二)模拟试卷 432 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ,所以正确答案为(B)

7、2 【正确答案】 A【试题解析】 由 =0 得 f(0)=0,f(0)=0当 x0时,由 xf(x)x 2f2(x)=1 e2x 得 f(x)=xf2(x) ,再由 f(x)二阶连续可导得 f(0)=20,故 x=0 为 f(x)的极小点,选(A)3 【正确答案】 C【试题解析】 显然 x=0,x=1 为 f(x)的间断点f(0+0)= =0,f(00)= =0,由 f(0+0)=f(00)=0,得 x=0 为 f(x)的可去间断点;f(10)= = 1,f(1+0)= =1,由 f(10)f(1+0) ,得 x=1 为 f(x)的跳跃间断点,选(C) 4 【正确答案】 C【试题解析】 当(x

8、,y)(0,0)时,0f(x ,y)=x x,由夹逼定理得 =0=f(0,0),从而 f(x,y) 在(0,0)处连续,(A)不对;由=0 得 fx(0,0)=0,由 =0 得fy(0,0)=0,(B)不对;令 = ,因为不存在,所以 f(x,y)在(0,0)处不可微分, (D)不对,选(C)5 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x,y)一阶连续可偏导,则 f(x, y)在(x 0,y 0)处可微, 若 f(x,y)在(x 0, y0)处可微,则 f(x,y)在(x 0,y 0)处连续,选(B)6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y(0)0,y(0)=1 ,所以由 y+(x1)y+x

9、2y=ex 得 y(0)=2,从而 =1,选(B)7 【正确答案】 D【试题解析】 令 A= ,B= ,因为EA =EB= 2(1),所以 A,B 特征值相同,但 r(A)=2r(B)=1,故 A,B 不相似,(A)不正确;对 A= ,显然 1=2=0, 3=1,而 r(A)=2,所以(B) 不正确;由(A) , A,B 特征值相同,A,B 的秩不一定相等,故(C) 不正确;设 A,B 的特征值相同且 A,B 都可对角化,令其特征值为 1, 2, n,因为A,B 都可对角化,所以存在可逆阵 P1,P 2,使得 ,从而有 ,于是 =B,令 P1P21 =P,则 P1 AP=B,即 AB,选(D)

10、 8 【正确答案】 C【试题解析】 取 A= ,显然 A 的特征值为 0,0,1,但 r(A)=2,(A)不对;设 A= ,显然 A 为非零矩阵,但 A 的特征值都是零,(B)不对; 两个矩阵等价,则两个矩阵的秩相等,但特征值不一定相同,(D)不对;选(C) 事实上,令 AX=X,由 A2=2A 得 A 的特征值为 0 或 2,因为 A 是对称矩阵,所以 A 一定可对角化,由 r(A)=r 得 A 的特征值中有 r 个 2,其余全部为零二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因为 ln(1+x)=x +o(x2),所以 x2xln(1+x)= +o(x3),于是10 【正确答案】 【试题解析

11、】 当 t=0 时,x=3,y=1,11 【正确答案】 【试题解析】 取 x=0 代入得1yeu2 du=1y,解得 y=1.12 【正确答案】 【试题解析】 二重积分的积分区域为 D=(x,y)1yx1+y 2,0y1 , 则13 【正确答案】 y=3e x+3e2x2xe x【试题解析】 特征方程为 23+2=0,特征值为 1=1, 2=2,y3y+2y=0 的通解为 y=C 1ex+C2e2x令原方程的特解为 y0(x)=Axex,代入原方程为 A=2,原方程的通解为 y=y=C1ex+C2e2x2xe x由 =1 得 y(0)=0,y(0)=1,代入通解得C1=3 ,C 2=3,特解为

12、 y=3e x3e 2x2xe x14 【正确答案】 -8【试题解析】 因为 A 的特征值为 3,3,0,所以 AE 的特征值为2,4,1,从而 AE 可逆,由 E+B=AB 得(AE)B=E,即 B 与 AE 互为逆阵,则 B 的特征值为 ,1,B 1 的特征值为 2,4,1,从而 B1 +2E的特征值为 4,2,1,于是B 1 +2E= 8三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 (x)=0xf(t)dt2 0xf3(t)dt,(0)=0.(x)=2f(x)0xf(t)dtf3(x)=f(x)20xf(t)dtf 2(x)再令 h(x)=20xf(t)dtf

13、 2(x),h(0)=0,h(x)=2f(x)1 f(x) 由 f(0)=0,0 f(x)1 得 f(x) 0(0x1),则 h(x)=2f(x)1f(x) 0(0x1),由得 h(x)0(0x1),从而 (x)0(0x1),再由得 (x)0(0x1),于是 (1)0,即 01f(x)dx2 01f3(x)dx16 【正确答案】 由抛物线 y=ax3+bx+c 过点(0,0)及(1,2)得 c=0,a+b=2 或b=2a,c=0因为 a0,由 ax2+bx=0 得 x1=0,x 2= 0令 S(a)=0 得 a=4,从而 b=6,故a=4,b=6,C=017 【正确答案】 18 【正确答案】

14、首先求切线与坐标轴围成的面积设 M(x,y) L,过点 M 的 L的切线方程为 X+yY=119 【正确答案】 w=lnz(x+y) 两边关于 x 求偏导得20 【正确答案】 设曲线 x= 与 y 轴围成的平面区域为 D0,21 【正确答案】 设陨石体积为 V,表面积为 S,半径为 r,它们都是时间 t 的函数,22 【正确答案】 令 X=(1, 2, 3),B=( 1, 2, 3),矩阵方程化为 A(1, 2, 3)=(1, 2, 3),23 【正确答案】 () 显然 A 的特征值为 1=2, 2=1, 3=1,A = 2,伴随矩阵 A*的特征值为 1=1, 2=2, 3=2由 A*= 得 AA*=A,即 A=2,即=(1, 1, 1)T 是矩阵 A 的对应于特征值 1=2 的特征向量 令 =(x1,x 2,x 3)T 为矩阵 A 的对应于特征值 2=1, 3=1 的特征向量,因为 A 为实对称矩阵,所以T=0,即 x1+x2x 3=0,于是 2=1, 3=1 对应的线性无关的特征向量为

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