1、考研数学（数学二）模拟试卷 432 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x) sint2dt，g(x) x 3+x4，当 x0 时， f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小2 设 f(x)满足 0，xf(x)x 2f2(x)1e -2x 且 f(x)二阶连续可导，则( )（A）x0 为 f(x)的极小点（B） x0 为 f(x)的极大点（C） x0 不是 f(x)的极值点（D）(0 ，f(0) 是 y=f(x)的拐点3 设 f(x) ，则 f(x)有( )（A）两个可去间断点（B）两
2、个无穷间断点（C）一个可去间断点，一个跳跃间断点（D）一个可去间断点，一个无穷间断点4 设 f(x，y) 则 f(x，y) 在(0 ，0)处( )（A）不连续（B）连续但不可偏导（C）可偏导但不可微（D）可微分5 考虑二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的下面四条性质： 连续 可微 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)存在 fx(x，y)与 fy(x， y)连续 若用“P Q”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )（A） （B） （C） （D） 6 设 yy(x)是微分方程 y+(x1)y+x 2ye x 满足初始条件 y(0)=0，y(0)1 的解，则 为( ) （A）
3、0（B） 1（C） 2（D）37 下列结论正确的是( ) （A）若 A，B 特征值相同，则 AB（B）矩阵 A 的秩与其非零特征值个数相等（C）若 A，B 特征值相同，则 A，B 等价（D）A，B 的特征值相同且 A，B 都可对角化，则 AB8 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）设 r (A)r，则 A 有 r 个非零特征值，其余特征值皆为零（B）设 A 为非零矩阵，则 A 一定有非零特征值（C）设 A 为对称矩阵，A 22A，r (A)r ，则 A 有 r 个特征值为 2，其余全为零（D）设 A，B 为对称矩阵，且 A，B 等价，则 A，B 特征值相同二、填空题9 =_10
4、 曲线 在 t=0 对应点处的法线方程为_11 设 y=y(x)由 dt=x+1y 确定，则 =_12 =_13 微分方程 y3y+2y=2e x 满足 =1 的特解为_14 已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，3，0，则B -1+2E=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，1上可导，且 f(0)=0，0 01f(x)dx2 01f3(x)dx16 设抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，0)及(1 ，2)，其中 a17 设 f(u)二阶连续可导，z=f(e xsiny)，且 =e2xz+e3xsiny,求 f(
5、x)18 设 L： +y2=1(x0，y0)，过 L 上一点作切线，求切线与抛物线所围成面积的最小值19 已知微分方程 =(yx)z ，作变换 u=x2+y2，v= ,w=lnz(x+y), 其中w=w(u，v) ，求经过变换后原方程化成的关于 w，u，v 的微分方程的形式20 计算二重积分 (x+y)d，其中区域 D 是由直线 x=2，y=0，y=2 及曲线 x=所围成的平面区域21 当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状若它在进
6、入大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的 ，问此陨石完全燃尽需要多长时间 ?22 设 ，问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B 有解，有解时求出全部解23 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=2y12y 22y 32，又A*=，其中 =(1，1， 1)T ()求矩阵 A； ( )求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 化为标准形考研数学（数学二）模拟试卷 432 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案为(B)
7、2 【正确答案】 A【试题解析】 由 =0 得 f(0)=0，f(0)=0当 x0时，由 xf(x)x 2f2(x)=1 e2x 得 f(x)=xf2(x) ，再由 f(x)二阶连续可导得 f(0)=20，故 x=0 为 f(x)的极小点，选(A)3 【正确答案】 C【试题解析】 显然 x=0，x=1 为 f(x)的间断点f(0+0)= =0，f(00)= =0，由 f(0+0)=f(00)=0，得 x=0 为 f(x)的可去间断点；f(10)= = 1，f(1+0)= =1，由 f(10)f(1+0) ，得 x=1 为 f(x)的跳跃间断点，选(C) 4 【正确答案】 C【试题解析】 当(x
8、，y)(0，0)时，0f(x ，y)=x x，由夹逼定理得 =0=f(0，0)，从而 f(x，y) 在(0，0)处连续，(A)不对；由=0 得 fx(0，0)=0，由 =0 得fy(0，0)=0，(B)不对；令 = ，因为不存在，所以 f(x，y)在(0，0)处不可微分， (D)不对，选(C)5 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x， y)在(x 0，y 0)处可微， 若 f(x，y)在(x 0， y0)处可微，则 f(x，y)在(x 0，y 0)处连续，选(B)6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y(0)0，y(0)=1 ，所以由 y+(x1)y+x
9、2y=ex 得 y(0)=2，从而 =1，选(B)7 【正确答案】 D【试题解析】 令 A= ,B= ，因为EA =EB= 2(1)，所以 A，B 特征值相同，但 r(A)=2r(B)=1，故 A，B 不相似，(A)不正确；对 A= ，显然 1=2=0， 3=1，而 r(A)=2，所以(B) 不正确；由(A) ， A，B 特征值相同，A，B 的秩不一定相等，故(C) 不正确；设 A，B 的特征值相同且 A，B 都可对角化，令其特征值为 1， 2， n，因为A，B 都可对角化，所以存在可逆阵 P1，P 2，使得 ，从而有 ，于是 =B，令 P1P21 =P，则 P1 AP=B，即 AB，选(D)
10、 8 【正确答案】 C【试题解析】 取 A= ，显然 A 的特征值为 0，0，1，但 r(A)=2，(A)不对；设 A= ，显然 A 为非零矩阵，但 A 的特征值都是零，(B)不对； 两个矩阵等价，则两个矩阵的秩相等，但特征值不一定相同，(D)不对；选(C) 事实上，令 AX=X，由 A2=2A 得 A 的特征值为 0 或 2，因为 A 是对称矩阵，所以 A 一定可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值中有 r 个 2，其余全部为零二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因为 ln(1+x)=x +o(x2)，所以 x2xln(1+x)= +o(x3)，于是10 【正确答案】 【试题解析
11、】 当 t=0 时，x=3，y=1，11 【正确答案】 【试题解析】 取 x=0 代入得1yeu2 du=1y，解得 y=1.12 【正确答案】 【试题解析】 二重积分的积分区域为 D=(x，y)1yx1+y 2，0y1 ， 则13 【正确答案】 y=3e x+3e2x2xe x【试题解析】 特征方程为 23+2=0，特征值为 1=1， 2=2，y3y+2y=0 的通解为 y=C 1ex+C2e2x令原方程的特解为 y0(x)=Axex，代入原方程为 A=2，原方程的通解为 y=y=C1ex+C2e2x2xe x由 =1 得 y(0)=0，y(0)=1，代入通解得C1=3 ，C 2=3，特解为
12、 y=3e x3e 2x2xe x14 【正确答案】 -8【试题解析】 因为 A 的特征值为 3，3，0，所以 AE 的特征值为2，4，1，从而 AE 可逆，由 E+B=AB 得(AE)B=E，即 B 与 AE 互为逆阵，则 B 的特征值为 ，1，B 1 的特征值为 2，4，1，从而 B1 +2E的特征值为 4，2，1，于是B 1 +2E= 8三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 (x)=0xf(t)dt2 0xf3(t)dt,(0)=0.(x)=2f(x)0xf(t)dtf3(x)=f(x)20xf(t)dtf 2(x)再令 h(x)=20xf(t)dtf
13、 2(x)，h(0)=0，h(x)=2f(x)1 f(x) 由 f(0)=0，0 f(x)1 得 f(x) 0(0x1)，则 h(x)=2f(x)1f(x) 0(0x1)，由得 h(x)0(0x1)，从而 (x)0(0x1)，再由得 (x)0(0x1)，于是 (1)0，即 01f(x)dx2 01f3(x)dx16 【正确答案】 由抛物线 y=ax3+bx+c 过点(0，0)及(1，2)得 c=0，a+b=2 或b=2a，c=0因为 a0，由 ax2+bx=0 得 x1=0，x 2= 0令 S(a)=0 得 a=4，从而 b=6，故a=4,b=6,C=017 【正确答案】 18 【正确答案】
14、首先求切线与坐标轴围成的面积设 M(x，y) L，过点 M 的 L的切线方程为 X+yY=119 【正确答案】 w=lnz(x+y) 两边关于 x 求偏导得20 【正确答案】 设曲线 x= 与 y 轴围成的平面区域为 D0，21 【正确答案】 设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t 的函数，22 【正确答案】 令 X=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，矩阵方程化为 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)，23 【正确答案】 () 显然 A 的特征值为 1=2， 2=1， 3=1，A = 2，伴随矩阵 A*的特征值为 1=1， 2=2， 3=2由 A*= 得 AA*=A，即 A=2，即=(1， 1， 1)T 是矩阵 A 的对应于特征值 1=2 的特征向量 令 =(x1，x 2，x 3)T 为矩阵 A 的对应于特征值 2=1， 3=1 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以T=0，即 x1+x2x 3=0，于是 2=1， 3=1 对应的线性无关的特征向量为
