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[考研类试卷]考研数学一(向量代数和空间解析几何、多元函数微分学)模拟试卷1及答案与解析.doc

1、考研数学一(向量代数和空间解析几何、多元函数微分学)模拟试卷1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x,y)= 则 f(x,y)在点 (0,0)处(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)不连续,偏导数不存在2 在曲线 的所有切线中,与平面 x+2y+z=4 平行的切线(A)只有一条(B)只有两条(C)至少有三条(D)不存在3 设 f(u)0,x 02+y020,则曲面 上点 P0(x0,y 0,z 0)(z0=)处的法线与 z 轴的关系是(A)平行(B)异面直线(C)垂直相交(D)不垂直相交二、填空题4 已知

2、 a1=1,2,一 3,a 2=2,一 3,x,a 3=一 2,x,6 (I)如 a1a2,则x=_; ()如 a1a3,则 x=_; ()如 a1,a 2,a 3 共面,则x=_5 直线 L1: 的夹角为_6 与 a1=1,2,3,a 2=1,一 3,一 2都垂直的单位向量为_7 两个平行平面 1:2xy 一 3z+2=0, 2:2x y 一 3z 一 5=0 之间的距离是_。8 设().=2,则(+)(+).(+)=_ 9 经过两个平面 1:x+y+1=0, 2:x+2y+2z=0 的交线,并且与平面 3:2x 一yz=0 垂直的平面方程是_10 经过点 A(一 1,0,4) ,与直线 L

3、1: 都相交的直线 L 的方程是_11 经过点 A(一 1,2,3) ,垂直于直线 L: 且与平面:7x+8y+9z+10=0 平行的直线方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 试举例说明()()13 已知 =2,一 1,1 ,=1,3,一 1,试在 , 所确定的平面内求与 垂直的单位向量 14 证明(,) 2222,并且等号成立的充要条件是 , , 两两垂直或者, 中有零向量15 证明 是异面直线,并求公垂线方程及公垂线的长16 求直线 在平面:x 一 y+2z 一 1=0 上的投影直线 L0 的方程,并求 L0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程17 设 a,b, c

4、 为非零常数,求以曲线 为准线,母线平行于l=(a,b,c)的柱面 S 的方程18 求下列极限:19 证明极限 不存在20 求下列函数在指定点处的二阶偏导数:21 设 z=f(u,v,x),u=(x,y),v=(y)都是可微函数,求复合函数 z=f(x,y),(y), x)的偏导数22 设 u=f(x, y,z,t)关于各变量均有连续偏导数,而其中由方程组确定 z,t 为 y 的函数,求23 设 u=u(x,y)有二阶连续偏导数,证明:在极坐标变换 x=rcos,y=rsin 下有24 设 z(z,y)=x 3+y3 一 3xy (I)一 x+ ,一y+,求 z(x,y)的驻点与极值点 ( )

5、D=(x,y)|0x2,一 2y2,求证:D 内的唯一极值点不是 z(x,y)在D 上的最值点25 求函数 z=x2y(4 一 x 一 y)在由直线 x+y=6,x 轴和 y 轴所围成的区域 D 上的最大值与最小值26 已知平面曲线 Ax2+2Bxy+Cy2=1 (C0,ACB 20)为中心在原点的椭圆,求它的面积27 求函数 在点 A(1,0,1)沿点 A 指向 8(3,一 2,2)方向的方向导数28 设有曲面 平面:2x+2y+z+5=0(I)在曲面 S 上求平行于平面的切平面方程; ()求曲面 S 与平面之间的最短距离29 求曲线 在点 M0(1,1,3)处的切线与法平面方程30 设 z

6、(x,y)满足求z(x, y)31 设32 设由方程 (bz一 cy,cx 一 az,ay 一 bx)=0 (*)确定隐函数 z=z(x,y),其中 对所有变量有连续偏导数,a,b,c 为非零常数,且 b1一 a20,求33 34 设 z=z(x,y)有连续的二阶偏导数并满足(I)作变量替换 u=3x+y,v=x+y,以 u,v 作为新的自变量,变换上述方程;()求满足上述方程的 z(x,y)35 在半径为 R 的圆的一切内接三角形中,求出其面积最大者36 在空间坐标系的原点处,有一单位正电荷,设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2,x+y+z=1 上移动,问两电荷间的引力何时最大,何时最小?3

7、7 曲面 2x2+3y2+z2=6 上点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量为 n,求函数 u=在点 P 处沿方向 n 的方向导数38 设 F(x,y,z)有连续偏导数,求曲面 S: 点(x 0,y 0,z 0)处的切平面方程,并证明切平面过定点39 证明曲线 :x=ae tcost,y=ae tsint,z=ae t 与锥面 S:x 2+y2=z2 的各母线(即锥面上点(x, y,z) 与顶点的连线)相交的角度相同,其中 a 为常数40 设 f(u)(u0)有连续的二阶导数且 满足方程 =16(x2+y2)z,求 f(u)考研数学一(向量代数和空间解析几何、多元函数微分学)模拟试卷1 答案与

8、解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 B【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 D【知识模块】 多元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 (I) ()x= 一 4()x=一 4 或一 6【知识模块】 向量代数和空间解析几何5 【正确答案】 【试题解析】 两条直线的夹角也就是这两条直线方向向量的夹角,L 1 的方向向量S1=1,一 2, 1已知,对 L2 应通过方程转换化其为标准方程或参数方程来求 L2 的方向向量 S2令 y=t,直线 L2 的参数方程是 得到 L2 的方向向量S2=1, 1,一

9、 2由于 所以 L1 与 L2 的夹角是【知识模块】 向量代数和空间解析几何6 【正确答案】 【试题解析】 用叉积,因为 ab 按定义与 a,b 都垂直,而可见与 a1,a 2 都垂直的向量是 c=l(i+j 一 k)(l 为任意常数) 再将其单位化 即为所求故应填:【知识模块】 向量代数和空间解析几何7 【正确答案】 【知识模块】 向量代数和空间解析几何8 【正确答案】 4【知识模块】 向量代数和空间解析几何9 【正确答案】 3x+4y+2z+2=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何10 【正确答案】 【知识模块】 向量代数和空间解析几何11 【正确答案】 【试题解析】 用交面式所求直线在

10、过点 A 以 L 的方向向量 S=4,5,6为法向量的平面 1 上,也在过 A 点以的法向量 n=7,8,9为法向量的平面 2 上 1: 4(x+1)+5(y 一 2)+6(z 一 3)=0, 2: 7(x+1)+8(y 一 2)+9(z 一 3)=0,故所求直线方程为【知识模块】 向量代数和空间解析几何三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 在平面上取三个彼此不平行的向量 ,于是 与 都是平面 的法向量按叉积的定义,() 与 ()都是平面上的向量前者垂直于 ,后者垂直于 ,显然它们不相等【知识模块】 向量代数和空间解析几何13 【正确答案】 n= =一 2,3,

11、7 是平面的法向量,设=x,y,z,则由 及 n,有 得通解 k(5,8,一 2)T再单位化得【知识模块】 向量代数和空间解析几何14 【正确答案】 按定义|=|sin 1, (,)=|.|cos 2,其中 1 是 与的夹角, 2 是 与 的夹角,从而 (,)2=|2|2|2sin21cos22|2|2|2=222,等号成立的充要条件是sin21=1=cos22由此得 , 2=0 或 即 ,且 ,于是即得结论【知识模块】 向量代数和空间解析几何15 【正确答案】 L 1 的方向向量 S1=1,2,3,经过点 P1(0,0,0),L 2 的方向向量 S2=1,1, 1,经过点 P2(1,一 1,

12、2)由于所以 L1,L 2 是异面直线 公垂线 L 的方向向量 S 与 S1,S 2 都垂直,令 那么,经过L1 并且与 S 平行的平面 1 的方程为 整理得 4x+y 一2z=0经过 L2 并且与 S 平行的平面 2 的方程为 整理得 x一 z+1=0而平面 1 与 2 的交线即是 L1 与 L2 的公垂线 L,故公垂线的长为【知识模块】 向量代数和空间解析几何16 【正确答案】 经过 L 作平面 1 与垂直,则 1 与的交线就是 L 在上的投影L 的方向向量 S=1,1,一 1,的法向量 n=1,一 1,2是平面 1 上的两个不共线向量,点 P0(1,0,1)是 L 上一定点设 P(x,y

13、,z) 是 1 上任一点,则共面,即 即 x 一 3y 一 2z+1=0.所以 L 在上的投影是【知识模块】 向量代数和空间解析几何17 【正确答案】 1 过 上 点(x 0,y 0,0),以 l=(a,b,c)为方向向量的直线方程是 x=x0+tay=y 0+tb,z=tc, cx 0=cx 一 az, cy 0=cybz 这些直线即柱面 S 上的点(x,y, z)满足 F(cx 0,cy 0)=F(cxaz,cybz)=0即 S 上 点(x,y,z)满足 F(cxaz,cybz)=0 2 设 (x0,y 0,z 0)满足方程 F(cx 0 一 az0,cy 0bz0)=0,要证(x0,y

14、0,z 0)在柱面 S 上该直线的方向向量 (x0,y 0,z 0)在柱面 S 上 因此,柱面 S 的方程是 F(cx 一 az, cybz)=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何18 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 (x,y) 沿不同的直线 y=kx 趋于(0 ,0),有再令(x,y)沿抛物线 y2=x 趋于(0,0),有 由二者不相等可知极限不存在【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 (I)按定义【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 由复合函数求导法可得【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 注意 z=z(y),t=t(y),于是

15、 因此,我们还要求 将方程组两边对 y 求导得记系数行列式为 W=(yt2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint),则【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 利用复合函数求导公式,有【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 (I)解方程组 得全部驻点(0,0)与(1,1) 再求因此z(x, y)的驻点是(0,0) ,(1,1),极值点是(1,1)且是极小值点 ()D 内唯一极值点(1, 1)是极小值点, z(1,1)=一 1D 的边界点(0,一 2)处 z(0 ,一 2)=(一 2)3=一 8z(1,1) 因 z(x,y)在有界闭区域 D 上连续,必存在最小值,又 z(

16、0,一 2)z(1 ,1),(0,一 2)D,z(1,1)不是 z(x,y)在 D 的最小值【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 区域 D 如图 81 所示,它是有界闭区域 z(x,y)在 D 上连续,所以在 D 上一定有最大值与最小值,它或在 D 内的驻点达到,或在 D 的边界上达到 为求 D 内驻点,先求 =2xy(4 一 x 一 y)一 x2y=xy(83x 一 2y), =x2(4 一x 一 y)一 x2y=x2(4 一 x 一 2y)再解方程组 得 z(x,y)在 D 内的唯一驻点(x ,y)=(2,1)且 z(2,1)=4 在 D 的边界 y=0,0x6 或x=0,0y6

17、 上 z(x,y)=0; 在边界 x+y=6(0x6)上将 y=6 一 x 代入得 z(x,y)=x 2(6一 x)(一 2)=2(x3 一 6x2),0x6令 h(x)=2(x3 一 6x2),则 h(x)=6(x24x),h(4)=0,h(0)=0,h(4)=一 64,h(6)=0 ,即 z(x,y)在边界 x+y=6(0x6)上的最大值为0,最小值为一 64【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 椭圆上点(x,y)到原点的距离平方为 d2=x2+y2,条件为Ax2+2Bxy+Cy2 一 1=0令 F(x,y,)=x 2+y2 一 (Ax2+2Bxy+Cy2 一 1),解方程组将式

18、乘 x,式乘 y,然后两式相加得 (1 一 A)x2 一 Bxy+一 Bxy+(1一 C)y2=0,即 x2+y2=(Ax2+2Bxy+Cy2) =,于是可得 从直观知道,函数 d2 的条件最大值点与最小值点是存在的,其坐标不同时为零,即联立方程组 Fx=0,F y=0 有非零解,其系数行列式应为零,即该方程一定有两个根1, 2,它们分别对应 d2 的最大值与最小值因此,椭圆的面积为【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 (I)先写出曲面 S 上任意点(x 0,y 0,z 0)处的切平面方程记 S 的方程为 F(x,y,z)=0 ,F(x

19、,y,z)= ,则 S 上点 M0(x0,y 0,z 0)处的切平面方程为 F x(M0)(x 一 x0)+Fy(M0)(y 一 y0)+Fz(M0)(zz0)=0,其中 Fx(M0)=x0, Fy(M0)=2y0, F z(M0)= 该切平面与平面 平行,它们的法向量共线即成比例且 2x 0+2y0+z0+50因为 M0(x0,y 0,z 0)在 S 上,所以它满足方程 即 42=1显然,(x 0,y 0,z 0)不在平面上相应的切平面方程是这就是曲面 S 上平行于平面 的切平面方程 ()椭球面 S 是夹在上述两个切平面之间,故曲面 S 上切点到平面 的距离最短或最长因此,曲面 S 到平面

20、的最短距离为【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 这两个曲面在点 M0 的法向量分别为 n1=(2x,0,2z)| (1,1,3)=2(1,0,3) , n2=(0,2y,2z)| (1,1,3)=2(0,1,3)切线的方向向量与它们均垂直,即有 可取方向向量 l=(3,3,一 1),因此切线方程为 法平面方程为 3(x 一 1)+3(y 一 1)一(z 一 3)=0,即3x+3yz 一 3=0【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 把 y 看作任意给定的常数,将等式两边对 x 求积分得其中 (y)为待定函数由式得+(y)=siny,故【知识模块】 多元函数微分学31 【正确

21、答案】 由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 将方程(*)看成关于 x,y 的恒等式,两边分别对 x,y 求偏导数得由a+b,可得【知识模块】 多元函数微分学33 【正确答案】 将方程组对 x 求偏导数得将方程组对 y 求偏导数同样可得【知识模块】 多元函数微分学34 【正确答案】 (I)将 z 对 x,y 的偏导数转换为 z 对 u,v 的偏导数由复合函数求导法得 这里 仍是 u,v 的函数,而 u,v 又是 x,y 的函数,因而将,代入原方程得()由题(I),在变量替换 u=3x+y,v=x+y 下,求解满足 的 z=z(x,y)转化为

22、求解满足的 z=z(u,v)由式 其中 f(u)为任意的有连续导数的函数再对 u 积分得 z=(u)+(v),其中 , 为任意的有连续的二阶导数的函数回到原变量得 z=(3x+y)+(x+y)【知识模块】 多元函数微分学35 【正确答案】 用 x,y,z 表示三角形各边所对的中心角,则三角形的面积 S 可用 x,y,z, R 表示为 其中 z=2一 x 一 y 将其代入得 sinx+sinysin(x+y),定义域是 D=(x,y)|x0,y0,x+y2现求 S(x,y)的驻点:解在 D 内部,又在 D 的边界上即 x=0或 y=0 或 x+y=2时 S(xy)=0 因此,S 在 取最大值因

23、x=y=,因此内接等边三角形面积最大【知识模块】 多元函数微分学36 【正确答案】 用拉格朗日乘子法令 F(x,y, z,) =x 2+y2+z2+(x2+y2 一 z)+(x+y+z1),从实际问题看,函数 g 的条件最大与最小值均存在,所以 g 在点 M1,M 2 分别达到最小值和最大值,因而函数 f 在点 M1,M 2 分别达到最大值和最小值,即两个点电荷问的引力当单位负电荷在点 M1 处最大,在点 M2 处最小【知识模块】 多元函数微分学37 【正确答案】 首先求出方向 n 及其方向余弦曲面 F(x,y,z)=2x 2+3y2+z26=0,在 P 处的两个法向量是 =(4x,6y,2z

24、)| p=2(2,3,1),点 P位于第一卦限,椭球面在 P 处的外法向的坐标均为正值,故可取 n=(2,3,1)它的方向余弦为【知识模块】 多元函数微分学38 【正确答案】 记 G(x,y,z)= 曲面 S 的方程可写为 G(x,y,z)=0,则 S 上任一点 M0(x0,y 0,z 0)处的法向量为于是曲面 S 上点 M0 处的切平面方程是上式左端中令 x=y=z=0 得即切平面通过定点(0,0,0)【知识模块】 多元函数微分学39 【正确答案】 曲线 的参数方程满足 x2+y2=z2,于是 在锥面 S 上, 上任一点(x, y,z) 处的母线方向 l=x,y,z,切向量 =x,y,z=ae t(costsint),aet(cost+sint),ae t=xy,x+y,z即曲线 与锥面 S 的各母线相交的角度相同【知识模块】 多元函数微分学40 【正确答案】 令 ,则有由题设条件,得 u 2f”(u)+uf(u)一 4f(u)=0 这是欧拉方程,令 u=et,方程化为解此二阶线性常系数齐次方程得 z=C1e2t+C2e-2t,即 z=f(u)=C1u2+ 其中 C1,C 2 为 常数【知识模块】 多元函数微分学

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