1、考研数学一（向量代数和空间解析几何、多元函数微分学）模拟试卷1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在点 (0，0)处（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在2 在曲线 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线（A）只有一条（B）只有两条（C）至少有三条（D）不存在3 设 f(u)0，x 02+y020，则曲面 上点 P0(x0，y 0，z 0)(z0=)处的法线与 z 轴的关系是（A）平行（B）异面直线（C）垂直相交（D）不垂直相交二、填空题4 已知
2、 a1=1，2，一 3，a 2=2，一 3，x，a 3=一 2，x，6 (I)如 a1a2，则x=_； ()如 a1a3，则 x=_； ()如 a1，a 2，a 3 共面，则x=_5 直线 L1： 的夹角为_6 与 a1=1，2，3，a 2=1，一 3，一 2都垂直的单位向量为_7 两个平行平面 1：2xy 一 3z+2=0， 2：2x y 一 3z 一 5=0 之间的距离是_。8 设().=2，则(+)(+).(+)=_ 9 经过两个平面 1：x+y+1=0， 2：x+2y+2z=0 的交线，并且与平面 3：2x 一yz=0 垂直的平面方程是_10 经过点 A(一 1，0，4) ，与直线 L
3、1： 都相交的直线 L 的方程是_11 经过点 A(一 1，2，3) ，垂直于直线 L： 且与平面：7x+8y+9z+10=0 平行的直线方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 试举例说明()()13 已知 =2，一 1，1 ，=1，3，一 1，试在 ， 所确定的平面内求与 垂直的单位向量 14 证明(，) 2222，并且等号成立的充要条件是 ， ， 两两垂直或者， 中有零向量15 证明 是异面直线，并求公垂线方程及公垂线的长16 求直线 在平面：x 一 y+2z 一 1=0 上的投影直线 L0 的方程，并求 L0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程17 设 a，b， c
4、 为非零常数，求以曲线 为准线，母线平行于l=(a，b，c)的柱面 S 的方程18 求下列极限：19 证明极限 不存在20 求下列函数在指定点处的二阶偏导数：21 设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)都是可微函数，求复合函数 z=f(x，y)，(y)， x)的偏导数22 设 u=f(x， y，z，t)关于各变量均有连续偏导数，而其中由方程组确定 z，t 为 y 的函数，求23 设 u=u(x，y)有二阶连续偏导数，证明：在极坐标变换 x=rcos，y=rsin 下有24 设 z(z，y)=x 3+y3 一 3xy (I)一 x+ ，一y+，求 z(x，y)的驻点与极值点 ( )
5、D=(x，y)|0x2，一 2y2，求证：D 内的唯一极值点不是 z(x，y)在D 上的最值点25 求函数 z=x2y(4 一 x 一 y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的区域 D 上的最大值与最小值26 已知平面曲线 Ax2+2Bxy+Cy2=1 (C0，ACB 20)为中心在原点的椭圆，求它的面积27 求函数 在点 A(1，0，1)沿点 A 指向 8(3，一 2，2)方向的方向导数28 设有曲面 平面：2x+2y+z+5=0(I)在曲面 S 上求平行于平面的切平面方程； ()求曲面 S 与平面之间的最短距离29 求曲线 在点 M0(1，1，3)处的切线与法平面方程30 设 z
6、(x，y)满足求z(x， y)31 设32 设由方程 (bz一 cy，cx 一 az，ay 一 bx)=0 (*)确定隐函数 z=z(x，y)，其中 对所有变量有连续偏导数，a，b，c 为非零常数，且 b1一 a20，求33 34 设 z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足(I)作变量替换 u=3x+y，v=x+y，以 u，v 作为新的自变量，变换上述方程；()求满足上述方程的 z(x，y)35 在半径为 R 的圆的一切内接三角形中，求出其面积最大者36 在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2,x+y+z=1 上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小?3
7、7 曲面 2x2+3y2+z2=6 上点 P(1，1，1)处指向外侧的法向量为 n，求函数 u=在点 P 处沿方向 n 的方向导数38 设 F(x，y，z)有连续偏导数，求曲面 S: 点(x 0，y 0，z 0)处的切平面方程，并证明切平面过定点39 证明曲线 ：x=ae tcost，y=ae tsint，z=ae t 与锥面 S：x 2+y2=z2 的各母线(即锥面上点(x， y，z) 与顶点的连线)相交的角度相同，其中 a 为常数40 设 f(u)(u0)有连续的二阶导数且 满足方程 =16(x2+y2)z，求 f(u)考研数学一（向量代数和空间解析几何、多元函数微分学）模拟试卷1 答案与
8、解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 B【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 D【知识模块】 多元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 (I) ()x= 一 4()x=一 4 或一 6【知识模块】 向量代数和空间解析几何5 【正确答案】 【试题解析】 两条直线的夹角也就是这两条直线方向向量的夹角，L 1 的方向向量S1=1，一 2， 1已知，对 L2 应通过方程转换化其为标准方程或参数方程来求 L2 的方向向量 S2令 y=t，直线 L2 的参数方程是 得到 L2 的方向向量S2=1， 1，一
9、 2由于 所以 L1 与 L2 的夹角是【知识模块】 向量代数和空间解析几何6 【正确答案】 【试题解析】 用叉积，因为 ab 按定义与 a，b 都垂直，而可见与 a1，a 2 都垂直的向量是 c=l(i+j 一 k)(l 为任意常数) 再将其单位化 即为所求故应填：【知识模块】 向量代数和空间解析几何7 【正确答案】 【知识模块】 向量代数和空间解析几何8 【正确答案】 4【知识模块】 向量代数和空间解析几何9 【正确答案】 3x+4y+2z+2=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何10 【正确答案】 【知识模块】 向量代数和空间解析几何11 【正确答案】 【试题解析】 用交面式所求直线在
10、过点 A 以 L 的方向向量 S=4，5，6为法向量的平面 1 上，也在过 A 点以的法向量 n=7，8，9为法向量的平面 2 上 1： 4(x+1)+5(y 一 2)+6(z 一 3)=0， 2： 7(x+1)+8(y 一 2)+9(z 一 3)=0，故所求直线方程为【知识模块】 向量代数和空间解析几何三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 在平面上取三个彼此不平行的向量 ，于是 与 都是平面 的法向量按叉积的定义，() 与 ()都是平面上的向量前者垂直于 ，后者垂直于 ，显然它们不相等【知识模块】 向量代数和空间解析几何13 【正确答案】 n= =一 2，3，
11、7 是平面的法向量，设=x，y，z，则由 及 n，有 得通解 k(5，8，一 2)T再单位化得【知识模块】 向量代数和空间解析几何14 【正确答案】 按定义|=|sin 1， (，)=|.|cos 2，其中 1 是 与的夹角， 2 是 与 的夹角，从而 (，)2=|2|2|2sin21cos22|2|2|2=222，等号成立的充要条件是sin21=1=cos22由此得 ， 2=0 或 即 ，且 ,于是即得结论【知识模块】 向量代数和空间解析几何15 【正确答案】 L 1 的方向向量 S1=1，2，3，经过点 P1(0，0，0)，L 2 的方向向量 S2=1，1， 1，经过点 P2(1，一 1，
12、2)由于所以 L1，L 2 是异面直线 公垂线 L 的方向向量 S 与 S1，S 2 都垂直，令 那么，经过L1 并且与 S 平行的平面 1 的方程为 整理得 4x+y 一2z=0经过 L2 并且与 S 平行的平面 2 的方程为 整理得 x一 z+1=0而平面 1 与 2 的交线即是 L1 与 L2 的公垂线 L，故公垂线的长为【知识模块】 向量代数和空间解析几何16 【正确答案】 经过 L 作平面 1 与垂直，则 1 与的交线就是 L 在上的投影L 的方向向量 S=1，1，一 1，的法向量 n=1，一 1，2是平面 1 上的两个不共线向量，点 P0(1，0，1)是 L 上一定点设 P(x，y
13、，z) 是 1 上任一点，则共面，即 即 x 一 3y 一 2z+1=0.所以 L 在上的投影是【知识模块】 向量代数和空间解析几何17 【正确答案】 1 过 上 点(x 0，y 0，0)，以 l=(a，b，c)为方向向量的直线方程是 x=x0+tay=y 0+tb,z=tc， cx 0=cx 一 az， cy 0=cybz 这些直线即柱面 S 上的点(x，y， z)满足 F(cx 0，cy 0)=F(cxaz，cybz)=0即 S 上 点(x，y，z)满足 F(cxaz，cybz)=0 2 设 (x0，y 0，z 0)满足方程 F(cx 0 一 az0，cy 0bz0)=0，要证(x0，y
14、0，z 0)在柱面 S 上该直线的方向向量 (x0，y 0，z 0)在柱面 S 上 因此，柱面 S 的方程是 F(cx 一 az， cybz)=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何18 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 (x，y) 沿不同的直线 y=kx 趋于(0 ，0)，有再令(x，y)沿抛物线 y2=x 趋于(0，0)，有 由二者不相等可知极限不存在【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 (I)按定义【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 由复合函数求导法可得【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 注意 z=z(y)，t=t(y)，于是
15、 因此，我们还要求 将方程组两边对 y 求导得记系数行列式为 W=(yt2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，则【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 利用复合函数求导公式，有【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 (I)解方程组 得全部驻点(0，0)与(1，1) 再求因此z(x， y)的驻点是(0，0) ，(1，1)，极值点是(1，1)且是极小值点 ()D 内唯一极值点(1， 1)是极小值点， z(1，1)=一 1D 的边界点(0，一 2)处 z(0 ，一 2)=(一 2)3=一 8z(1，1) 因 z(x，y)在有界闭区域 D 上连续，必存在最小值，又 z(
16、0，一 2)z(1 ，1)，(0，一 2)D,z(1，1)不是 z(x，y)在 D 的最小值【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 区域 D 如图 81 所示，它是有界闭区域 z(x，y)在 D 上连续，所以在 D 上一定有最大值与最小值，它或在 D 内的驻点达到，或在 D 的边界上达到 为求 D 内驻点，先求 =2xy(4 一 x 一 y)一 x2y=xy(83x 一 2y)， =x2(4 一x 一 y)一 x2y=x2(4 一 x 一 2y)再解方程组 得 z(x，y)在 D 内的唯一驻点(x ，y)=(2，1)且 z(2，1)=4 在 D 的边界 y=0，0x6 或x=0，0y6
17、 上 z(x，y)=0； 在边界 x+y=6(0x6)上将 y=6 一 x 代入得 z(x，y)=x 2(6一 x)(一 2)=2(x3 一 6x2)，0x6令 h(x)=2(x3 一 6x2)，则 h(x)=6(x24x)，h(4)=0，h(0)=0，h(4)=一 64，h(6)=0 ，即 z(x，y)在边界 x+y=6(0x6)上的最大值为0，最小值为一 64【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 椭圆上点(x，y)到原点的距离平方为 d2=x2+y2，条件为Ax2+2Bxy+Cy2 一 1=0令 F(x，y，)=x 2+y2 一 (Ax2+2Bxy+Cy2 一 1)，解方程组将式
18、乘 x，式乘 y，然后两式相加得 (1 一 A)x2 一 Bxy+一 Bxy+(1一 C)y2=0，即 x2+y2=(Ax2+2Bxy+Cy2) =，于是可得 从直观知道，函数 d2 的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组 Fx=0，F y=0 有非零解，其系数行列式应为零，即该方程一定有两个根1， 2，它们分别对应 d2 的最大值与最小值因此，椭圆的面积为【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 (I)先写出曲面 S 上任意点(x 0，y 0，z 0)处的切平面方程记 S 的方程为 F(x，y，z)=0 ，F(x
19、，y，z)= ，则 S 上点 M0(x0，y 0，z 0)处的切平面方程为 F x(M0)(x 一 x0)+Fy(M0)(y 一 y0)+Fz(M0)(zz0)=0，其中 Fx(M0)=x0， Fy(M0)=2y0， F z(M0)= 该切平面与平面 平行,它们的法向量共线即成比例且 2x 0+2y0+z0+50因为 M0(x0，y 0，z 0)在 S 上，所以它满足方程 即 42=1显然，(x 0，y 0，z 0)不在平面上相应的切平面方程是这就是曲面 S 上平行于平面 的切平面方程 ()椭球面 S 是夹在上述两个切平面之间，故曲面 S 上切点到平面 的距离最短或最长因此，曲面 S 到平面
20、的最短距离为【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 这两个曲面在点 M0 的法向量分别为 n1=(2x，0，2z)| (1,1,3)=2(1，0，3) ， n2=(0，2y，2z)| (1,1,3)=2(0，1，3)切线的方向向量与它们均垂直，即有 可取方向向量 l=(3，3，一 1)，因此切线方程为 法平面方程为 3(x 一 1)+3(y 一 1)一(z 一 3)=0，即3x+3yz 一 3=0【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 把 y 看作任意给定的常数，将等式两边对 x 求积分得其中 (y)为待定函数由式得+(y)=siny，故【知识模块】 多元函数微分学31 【正确
21、答案】 由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 将方程(*)看成关于 x，y 的恒等式，两边分别对 x，y 求偏导数得由a+b，可得【知识模块】 多元函数微分学33 【正确答案】 将方程组对 x 求偏导数得将方程组对 y 求偏导数同样可得【知识模块】 多元函数微分学34 【正确答案】 (I)将 z 对 x，y 的偏导数转换为 z 对 u，v 的偏导数由复合函数求导法得 这里 仍是 u，v 的函数，而 u，v 又是 x，y 的函数，因而将，代入原方程得()由题(I)，在变量替换 u=3x+y，v=x+y 下，求解满足 的 z=z(x，y)转化为
22、求解满足的 z=z(u，v)由式 其中 f(u)为任意的有连续导数的函数再对 u 积分得 z=(u)+(v)，其中 ， 为任意的有连续的二阶导数的函数回到原变量得 z=(3x+y)+(x+y)【知识模块】 多元函数微分学35 【正确答案】 用 x，y，z 表示三角形各边所对的中心角，则三角形的面积 S 可用 x，y，z， R 表示为 其中 z=2一 x 一 y 将其代入得 sinx+sinysin(x+y)，定义域是 D=(x，y)|x0，y0，x+y2现求 S(x，y)的驻点：解在 D 内部，又在 D 的边界上即 x=0或 y=0 或 x+y=2时 S(xy)=0 因此，S 在 取最大值因
23、x=y=，因此内接等边三角形面积最大【知识模块】 多元函数微分学36 【正确答案】 用拉格朗日乘子法令 F(x，y， z，) =x 2+y2+z2+(x2+y2 一 z)+(x+y+z1)，从实际问题看，函数 g 的条件最大与最小值均存在，所以 g 在点 M1，M 2 分别达到最小值和最大值，因而函数 f 在点 M1，M 2 分别达到最大值和最小值，即两个点电荷问的引力当单位负电荷在点 M1 处最大，在点 M2 处最小【知识模块】 多元函数微分学37 【正确答案】 首先求出方向 n 及其方向余弦曲面 F(x，y，z)=2x 2+3y2+z26=0，在 P 处的两个法向量是 =(4x，6y，2z
24、)| p=2(2，3，1)，点 P位于第一卦限，椭球面在 P 处的外法向的坐标均为正值，故可取 n=(2，3，1)它的方向余弦为【知识模块】 多元函数微分学38 【正确答案】 记 G(x，y，z)= 曲面 S 的方程可写为 G(x，y，z)=0，则 S 上任一点 M0(x0，y 0，z 0)处的法向量为于是曲面 S 上点 M0 处的切平面方程是上式左端中令 x=y=z=0 得即切平面通过定点(0，0，0)【知识模块】 多元函数微分学39 【正确答案】 曲线 的参数方程满足 x2+y2=z2，于是 在锥面 S 上， 上任一点(x， y，z) 处的母线方向 l=x，y，z，切向量 =x，y，z=ae t(costsint)，aet(cost+sint)，ae t=xy，x+y，z即曲线 与锥面 S 的各母线相交的角度相同【知识模块】 多元函数微分学40 【正确答案】 令 ，则有由题设条件，得 u 2f”(u)+uf(u)一 4f(u)=0 这是欧拉方程，令 u=et，方程化为解此二阶线性常系数齐次方程得 z=C1e2t+C2e-2t，即 z=f(u)=C1u2+ 其中 C1，C 2 为 常数【知识模块】 多元函数微分学
