1、考研数学一(向量)模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维列向量组 1,. m(m1, 2,., m 线性无关的充分必要条件为(A)向量组 1,. m 可由向量 1, 2,., m 线性表示(B)向量组 1,. m 可由向量 1, 2,., m 线性表示(C)向量组 1,. m 与向量组 1, 2,., m 等价(D)矩阵 A=(1,. m)与矩阵 B=(1, 2,., m)等价 2 设 ,其中 c1,c 2,c 3,c 4 为任意常数,则下列向量组线性相关的为(A) 1, 2, 3(B) 1, 2, 4(C) 1, 3, 4(D)
2、 2, 3, 4二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 设向量组 1=(1,0,1) T, 2=(0,1,1) T, 3=(1,3,5) T 不能由向量组 1=(1, 1,1) T, 2=(1,2,3) T, 3=(3,4,a) T 线性表示。3 求 a 的值;4 将 1, 2, 3 用 1, 2, 3 线性表示4 已知 1=(1, 4,0,2) T, 2=(2,7,1,3) T, 3=(0,1,-1,a) T,=(3 ,10, b,4) T.5 a,b 取何值时, 不能由 1, 2, 3 线性表出?6 a,b 取何值时, 可由 1, 2, 3 线性表出? 并写出此表示式6 设有
3、向量组(I): 1=(1,0,2) T, 2=(1,1,3) T, 3=(1,-1,a+2) T 和向量组():1=(1,2,a+3) T, 2=(2,1,a+6) T, 3=(2,1,a+4) T7 当 a 为何值时,向量组(I) 与()等价?8 当 a 为何值时,向量组(I) 与()不等价?9 确定常数 a,使向量组 1=(1,1,a) T, 2=(1,a,1) T, 3=(a,1,1) T 可由向 量组1=(1,1,a) T, 2=(-2,a,4) T 3=(-2,a,a) T 线性表示,但向量组 1, 2, 3 不能由向量组 1, 2, 3 线性表示10 设 i=(i1,i2, in)
4、。(i=1 ,2,r;r 1, 2, r,线性无关已知=(b1,b 2,b n)T 是线性方程组 的非零解向量试判断向量组 1, 2, r, 的线性相关性考研数学一(向量)模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 向量组 1, 2,., m 线性无关 向量组的秩 r(1, 2,., m)=m 根据定理“若 1,. m,可由 1, 2,., m 线性表出,则 r(1,. m)r(1, 2,., m)” 若 1,. m 可由 1, 2,., m 线性表示,则有 r(1,. m)r(1, 2,., m) 又因 1,. m
5、线性无关,知 r(1,. m)=m从而mr(1, 2, .,m) 又因 1, 2,., m 是 m 个向量,知 r(1, 2,., m)m故r(1, 2,., m)=m,即 1, 2,., m 线性无关可见(A) 是充分条件那么(A)是必要的吗?即 1,. m 与 1, 2,., m 均线性无关,能否推导出 1,. m 必可由1, 2,., m 线性表示? 12 与 12 1, 2 与 1, 2 均线性无关,但 1, 2 小能由 1, 2 线性表示 所以(A)只是充分条件并不必要 对于(B),有r(1, 2,., m)r(1,. m)=rn 因此由(B)不能推导 1, 2,., m 线性无关,
6、即充分性 A 成立同(A) 后之例,知(B)不是必要条件,所以(B)对于 1, 2,., m 线性无关是不充分义不必要的条件 至于(C),所谓 1,. m 与 1, 2,., m 等价,即这两个向量组出以互棉线性表出,m(A) 知它只是一个充分条件。【知识模块】 向量2 【正确答案】 C【知识模块】 向量二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 向量3 【正确答案】 因为丨 1, 2, 3 丨= ,所以 1, 2, 3 线性无关那么 1, 2, 3 不能由 1, 2, 3 线性表示 1, 2, 3 线性相关,即丨1, 2, 3 丨= 所以 a=5【知识模块】 向量4 【正
7、确答案】 如果方程组。x 11+x22+x33=j(j=1,2,3)都有解,即 1, 2, 3可由 1, 2, 3 线性表示对( 1, 2, 3; 1, 2, 3)作初等行变换,有所以 1=21+42-3, 2=1+22, 3=51+102-23【知识模块】 向量【知识模块】 向量5 【正确答案】 设 x11+x22+x33=因为对( 1, 2, 3;)作初等行变换有所以当 b2 时,线性方程组( 1, 2, 3)x= 无解,此时 不能 1, 2, 3 线性表出【知识模块】 向量6 【正确答案】 当 b=2,a1 时,线性方程( 1, 2, 3)x= 有唯一解,即 x=(x1,x 2,x 3)
8、T=(-1,2,0) T 可唯一表示为 =-1+22 当 b=2,a=1 时,线性方程组( 1, 2, 3)x= 有无穷多个解,即 X=(x 1,x 2,x 3)T=k(-2,1,1) T+(-1,2,0) T【知识模块】 向量【知识模块】 向量7 【正确答案】 对( 1, 2, 3 :1, 2, 3)作初等行变换,有( 1, 2, 3 :1, 2, 3)=当 a-1 时,行列式丨 1, 2, 3 丨=a+10,由克莱姆法则,知三个线性方程组x11+x22+x33=i(i=1,2,3)均有唯一解所以, 1, 2, 3 可由向量组(I)线性表出由于行列式丨 1, 2, 3 丨=方程组x11+x2
9、2+x33=j(j=1,2,3)恒有唯一解,即 1, 2, 3 总可由向量组()线性表出 因此,当 n-1 时,向量组(I)与( )等价【试题解析】 所谓向量组(I)与()等价,即向量组(I) 与()可以互相线性表 m若方程组 x11+x22+x33= 有解,即 可以由 1, 2, 3 线性表出若对同一个 a,三个方程组 x11+x22+x33=i(i=1,2,3)均有解,即向量组()可以由(I)线性表出【知识模块】 向量8 【正确答案】 当 a=-1 时,有( 1, 2, 3 :1, 2, 3)由于秩 r(1, 2, 3 )r(1, 2, 3 , 1),线性方程组x11+x22+x33=1
10、无解,故向量 1 不能由 1, 2, 3 线性表示因此,向量组(I)与()不等价【知识模块】 向量9 【正确答案】 解法一:因为 1, 2, 3 可由向量组 1, 2, 3 线性表示,故三个方程组 x11+x22+x33=i(i=1,2,3)均有解对增广矩阵作初等行变换,有可见 a4 且 a-2 时,1, 2, 3 可由 1, 2, 3 线性表示向量组 1, 2, 3 不能由向量组 1, 2, 3线性表示,即有方程组 x11+x22+x33=j(j=1,2,3)无解对增广矩阵作初等行变换,有 可见 a=1 或 a=-2时, 2, 3 不能由 1, 2, 3 线性表示因此 a=1 时向量组 1,
11、 2, 3 可由向量组1, 2, 3 线性表示,但 1, 2, 3 不能由 1, 2, 3 线性表示 解法二:因为1, 2, 3 可由 1, 2, 3 线性表出,所以 r(1, 2, 3)r(1, 2, 3).又因1, 2, 3 不能由 1, 2, 3 线性表出,故必有 r(1, 2, 3)1, 2, 3)于是r(1, 2, 3)1, 2, 3 丨= =-(a-1)(a+2)=0 解 a=1 a=-2.而( 1, 2, 3)=因此:当 a=-2 时,r( 1, 2, 3)=2,r( 1, 2, 3)=2,小满足 r(1, 2, 3)1, 2, 3),故 a=-2 应舍去当 a=1 时,1=2=
12、3=1,可由 1, 2, 3 由 1, 2, 3 线性表出但 2=(-2,1,4) T, 3=(-2,1,1) T 不能由 1=2=3=(1,1,1) T 线性表出,因此 a=1 为所求.【试题解析】 若方程组 x11+x22+x33=i 有解,则 i 可由 1, 2, 3 线性表示,若方程组 x 11+x22+x33=i 无解,则卢 不能由 1, 2, 3 线性表示.【知识模块】 向量10 【正确答案】 设 k11+k22+krr+l=0,因为 为方程组的非 0 解,有即 0, T1=0, Tr=0用 T 左乘,并把Tr=0 代入,得 lT=0因为 0,有 T0,故必有 l=0从而 式为k11+k22+krr=0,由于 1, 2, r 线性无关,所以有 k1=k2=kr=0因此向量组 1, 2, r, 线性无关【知识模块】 向量
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