1、考研数学一（向量）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维列向量组 1，. m(m1， 2，., m 线性无关的充分必要条件为（A）向量组 1，. m 可由向量 1， 2，., m 线性表示（B）向量组 1，. m 可由向量 1， 2，., m 线性表示（C）向量组 1，. m 与向量组 1， 2，., m 等价（D）矩阵 A=(1，. m)与矩阵 B=(1， 2，., m)等价 2 设 ，其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 3， 4（D）
2、 2， 3， 4二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组 1=(1， 1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，a) T 线性表示。3 求 a 的值；4 将 1， 2， 3 用 1， 2， 3 线性表示4 已知 1=(1， 4，0，2) T， 2=(2，7，1，3) T， 3=(0，1，-1，a) T，=(3 ，10， b，4) T.5 a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3 线性表出?6 a，b 取何值时， 可由 1， 2， 3 线性表出? 并写出此表示式6 设有
3、向量组(I)： 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，-1，a+2) T 和向量组()：1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2，1，a+4) T7 当 a 为何值时，向量组(I) 与()等价?8 当 a 为何值时，向量组(I) 与()不等价?9 确定常数 a，使向量组 1=(1，1，a) T， 2=(1，a，1) T， 3=(a，1，1) T 可由向 量组1=(1，1，a) T， 2=(-2，a，4) T 3=(-2，a，a) T 线性表示，但向量组 1， 2， 3 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示10 设 i=(i1,i2， in)
4、。(i=1 ，2，r；r 1， 2， r，线性无关已知=(b1，b 2，b n)T 是线性方程组 的非零解向量试判断向量组 1， 2， r, 的线性相关性考研数学一（向量）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 向量组 1， 2，., m 线性无关 向量组的秩 r(1， 2，., m)=m 根据定理“若 1，. m，可由 1， 2，., m 线性表出，则 r(1，. m)r(1， 2，., m)” 若 1，. m 可由 1， 2，., m 线性表示，则有 r(1，. m)r(1， 2，., m) 又因 1，. m
5、线性无关，知 r(1，. m)=m从而mr(1， 2， .,m) 又因 1， 2，., m 是 m 个向量，知 r(1， 2，., m)m故r(1， 2，., m)=m，即 1， 2，., m 线性无关可见(A) 是充分条件那么(A)是必要的吗?即 1，. m 与 1， 2，., m 均线性无关，能否推导出 1，. m 必可由1， 2，., m 线性表示? 12 与 12 1， 2 与 1， 2 均线性无关，但 1， 2 小能由 1， 2 线性表示 所以(A)只是充分条件并不必要 对于(B)，有r(1， 2，., m)r(1，. m)=rn 因此由(B)不能推导 1， 2，., m 线性无关，
6、即充分性 A 成立同(A) 后之例，知(B)不是必要条件，所以(B)对于 1， 2，., m 线性无关是不充分义不必要的条件 至于(C)，所谓 1，. m 与 1， 2，., m 等价，即这两个向量组出以互棉线性表出，m(A) 知它只是一个充分条件。【知识模块】 向量2 【正确答案】 C【知识模块】 向量二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 向量3 【正确答案】 因为丨 1， 2， 3 丨= ，所以 1， 2， 3 线性无关那么 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表示 1， 2， 3 线性相关，即丨1， 2， 3 丨= 所以 a=5【知识模块】 向量4 【正
7、确答案】 如果方程组。x 11+x22+x33=j(j=1，2，3)都有解，即 1， 2， 3可由 1， 2， 3 线性表示对( 1， 2， 3； 1， 2， 3)作初等行变换，有所以 1=21+42-3， 2=1+22， 3=51+102-23【知识模块】 向量【知识模块】 向量5 【正确答案】 设 x11+x22+x33=因为对( 1， 2， 3；)作初等行变换有所以当 b2 时，线性方程组( 1， 2， 3)x= 无解，此时 不能 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 向量6 【正确答案】 当 b=2，a1 时，线性方程( 1， 2， 3)x= 有唯一解，即 x=(x1，x 2，x 3)
8、T=(-1，2，0) T 可唯一表示为 =-1+22 当 b=2，a=1 时，线性方程组( 1， 2， 3)x= 有无穷多个解，即 X=(x 1，x 2，x 3)T=k(-2，1，1) T+(-1，2，0) T【知识模块】 向量【知识模块】 向量7 【正确答案】 对( 1， 2， 3 :1， 2， 3)作初等行变换，有( 1， 2， 3 :1， 2， 3)=当 a-1 时，行列式丨 1， 2， 3 丨=a+10，由克莱姆法则，知三个线性方程组x11+x22+x33=i(i=1，2，3)均有唯一解所以， 1， 2， 3 可由向量组(I)线性表出由于行列式丨 1， 2， 3 丨=方程组x11+x2
9、2+x33=j(j=1，2，3)恒有唯一解，即 1， 2， 3 总可由向量组()线性表出 因此，当 n-1 时，向量组(I)与( )等价【试题解析】 所谓向量组(I)与()等价，即向量组(I) 与()可以互相线性表 m若方程组 x11+x22+x33= 有解，即 可以由 1， 2， 3 线性表出若对同一个 a，三个方程组 x11+x22+x33=i(i=1，2，3)均有解，即向量组()可以由(I)线性表出【知识模块】 向量8 【正确答案】 当 a=-1 时，有( 1， 2， 3 :1， 2， 3)由于秩 r(1， 2， 3 )r(1， 2， 3 ， 1)，线性方程组x11+x22+x33=1
10、无解，故向量 1 不能由 1， 2， 3 线性表示因此，向量组(I)与()不等价【知识模块】 向量9 【正确答案】 解法一:因为 1， 2， 3 可由向量组 1， 2， 3 线性表示，故三个方程组 x11+x22+x33=i(i=1，2，3)均有解对增广矩阵作初等行变换，有可见 a4 且 a-2 时，1， 2， 3 可由 1， 2， 3 线性表示向量组 1， 2， 3 不能由向量组 1， 2， 3线性表示，即有方程组 x11+x22+x33=j(j=1,2,3)无解对增广矩阵作初等行变换,有 可见 a=1 或 a=-2时， 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表示因此 a=1 时向量组 1，
11、 2， 3 可由向量组1， 2， 3 线性表示，但 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表示 解法二:因为1， 2， 3 可由 1， 2， 3 线性表出，所以 r(1， 2， 3)r(1， 2， 3).又因1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表出，故必有 r(1， 2， 3)1， 2， 3)于是r(1， 2， 3)1， 2， 3 丨= =-(a-1)(a+2)=0 解 a=1 a=-2.而（ 1， 2， 3）=因此：当 a=-2 时，r( 1， 2， 3)=2，r( 1， 2， 3)=2，小满足 r(1， 2， 3)1， 2， 3)，故 a=-2 应舍去当 a=1 时，1=2=
12、3=1，可由 1， 2， 3 由 1， 2， 3 线性表出但 2=(-2，1，4) T， 3=(-2，1，1) T 不能由 1=2=3=(1，1，1) T 线性表出，因此 a=1 为所求.【试题解析】 若方程组 x11+x22+x33=i 有解，则 i 可由 1， 2， 3 线性表示，若方程组 x 11+x22+x33=i 无解，则卢 不能由 1， 2， 3 线性表示.【知识模块】 向量10 【正确答案】 设 k11+k22+krr+l=0，因为 为方程组的非 0 解，有即 0， T1=0， Tr=0用 T 左乘，并把Tr=0 代入，得 lT=0因为 0，有 T0，故必有 l=0从而 式为k11+k22+krr=0，由于 1， 2， r 线性无关，所以有 k1=k2=kr=0因此向量组 1， 2， r， 线性无关【知识模块】 向量
