1、考研数学一（n 维向量与向量空间）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维向量 1， 2， s，下列命题中正确的是（A）如果 1， 2， s 线性无关，那么 1+2， 2+3， s1 +s， s+1 也线性无关（B）如果 1， 2， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关（C）如果 1， 2， s 线性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么A1，A 2，A s 也线性相关（D）如果 1， 2， s 线性相关，那么 s 可由 1， 2， s1 线性表出2 已知 A= ，r(A *)=1，则（A）a=b0（B） ab 且 a+2b=0
2、（C） a+2b0（D）ab 且 a+2b03 设 A 是 mn 矩阵，r(A)=mn，则下列命题中不正确的是（A）A 经初等行变换必可化为(E m，0)（B） bRm，方程组Ax=b 必有无穷多解（C）如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0（D）行列式A TA=04 设 0=(x1 一 x2，y 1 一 y2，z 1 一 z2)， 1=(l1，m 1，n 1)， 2=(l2，m 2，n 2)，则空间中两条直线 交于一点的充要条件是（A）r( 0， 1， 2) =2（B） r(0， 1， 2)=r(1， 2)=1（C） r(0， 1， 2)=2，r( 1， 2)=1（D）r( 0， 1
3、， 2)=r(1， 2)=2二、填空题5 向量组 1=(1，0，1，2) T， 2=(1，1，3，1) T， 3=(2，一 1，a+1，5) T 线性相关，则 a=_6 已知 1=(a，a，a) T， 2=(一 a，a，b) T， 3=(一 a，一 a，一 b)T 线性相关，则a，b 满足关系式 _7 已知 1， 2， 3 线性相关， 1+2，a 2 3， 1 2+3 线性相关，则a=_8 若 =(1，3，0) T 不能由 1=(1，2，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2，一 2)T 线性表出，则 a=_9 任意 3 维向量都可用 1=(1，0，1) T， 2=(1，一 2
4、，3) T， 3=(a，1，2) T 线性表出，则 a 为_ 10 已知 1=(1，2，3，4) T， 2=(2，0，一 1，1) T， 3=(6，0，0，5) T，则向量组的秩 r(1， 2， 3)=_，极大线性无关组是_11 向量组 1=(1，一 1，3，0) T， 2=(一 2，1，a，1) T， 3=(1，1，一 5，一 2)T 的秩为 2，则 a=_12 已知 r(1， 2， s)=r(1， 2， s，)=r，r( 1， 2， s，)=r+1，则r(1， 2， s， ，)=_13 设 4 阶矩阵 A 的秩为 2则 r(A*)=_14 已知 A= 且 AXA*=B，秩 r(x)=2 则
5、a=_15 已知 A= ，B 是 3 阶非 0 矩阵，且 BAT=0，则 a=_16 与 1=(1，一 1，0，2) T， 2=(2，3，1，1) T， 3=(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是_17 已知三维向量空间的一组基是 1=(1，0，1)， 2=(1，一 1，0)， 3=(2，1，1)，则向量 =(3，2，1) 在这组基下的坐标是 _18 已知 A= ，则 Ax=0 解空间的规范正交基是 _19 已知 1， 2， 3 与 1， 2， 3 是三维向量空间的两组基，且 1=1+22 一3， 2=2+3， 3=1+32+23，则由基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵是
6、_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 已知 1=(1，1，0，2) T， 2=(一 1，1，2，4) T， 3=(2，3，a，7) T， 4=(一1，5，一 3，a+6) T，=(1，0，2，6) T，问 a，b 取何值时，() 不能由1， 2， 3， 4 线性表示?() 能用 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法唯一；() 能用 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式21 已知向量组有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表出，求 a，b 的值22 已知 1， 2， s 是互不相同的数，n 维向量 i=(1， i， )T(i=1，2，s
7、)，求向量组 1， 2， s 的秩23 如果秩 r(1， 2， s)=r(1， 2， s， s+1)，证明 s+1 可由1， 2， s 线性表出24 设 A 是 n 阶非零矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果AT=A*，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出25 证明 1， 2， s(其中 10)线性相关的充分必要条件是存在一个 i(1is)能由它前面的那些向量 1， 2， i1 线性表出26 已知 A 是 mn 矩阵，B 是 np 矩阵，如 AB=C，且 r(C)=m，证明 A 的行向量线性无关27 设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，C
8、是 ms 矩阵，满足 AB=C，如果秩 r(A)=n，证明秩 r(B)=r(C)28 用 Schmidt 正交化方法将下列向量组规范正交化： 1=(1，1，1) T， 2=(一1，0，一 1)T， 3=(一 1， 2，3) T29 设 A 是 n 阶反对称矩阵，x 是 n 维列向量，如 Ax=y，证明 x 与 y 正交30 设 W=(x1，x 2，x n)x 1 一 2x2+x3=0，求向量空间 W 的维数及一组规范正交基考研数学一（ n 维向量与向量空间）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 (A) ：当 s
9、为偶数时，命题不正确例如，1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性相关 (B)：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系 例如，1， 2， s 与 1， 2， s，0 等价，但后者必线性相关 (C)：因为(A1，A 2，A s)=A(1， 2， s)，于是 r(A 1，A 2，A s)=rA(1， 2， ， s)r(1， 2， s)s， 所以，A 1，A 2，A s 必线性相关故应选(C) 【知识模块】 n 维向量与向量空间2 【正确答案】 B【试题解析】 由 r(A*)= ，知本题 r(A*)=1 r(A)=2因为A=(A+2b)(a 一 b)2，若
10、 a=b，则 r(A)=1所以 ab 但 a+2b=0故选(B)【知识模块】 n 维向量与向量空间3 【正确答案】 D【试题解析】 经初等变换可以把矩阵 A 化为标准形，但一般应当既有初等行变换也有初等列变换，只用一种不一定能把 A 化为标准形例如， ，只用初等行变换就不能化为标准形(E 2，0)形式，(A)不正确故应选(A) 因为 A 是 mn矩阵，r(A)=m 说明矩阵 A 的行向量组必线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以 r =mn(B)正确由 BA=0 知 r(B)+r(A)m，又r(A)=m，故 r(B)=0，即 B=0(C) 正确A TA 是 n 阶矩阵，r(A TA)=r(A)
11、=mn ，故A TA=0，即(D)正确【知识模块】 n 维向量与向量空间4 【正确答案】 D【试题解析】 设 A(x1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)是直线 L1，L 2 上的点，那么 0 表示L1，L 2 上两个点连线的方向向量 秩 r(0， 1， 2)=2 表明 0， 1， 2 共面，因此L1，L 2 两直线共面但不重合(否则 r(0， 1， 2)=1)，此时 L1 与 L2 可能平行，亦可能交于一点 r( 1， 2)=1 表明 L1，L 2 的方向向量共线，因而 L1 与 L2 平行或重合 r( 1， 2)=2 表明 L1，L 2 的方向向量不平行，因而 L1 与 L2
12、相交或为异面直线 故(A)是 L1，L 2 交于一点的必要条件，(B)为两线重合，(C) 为两线平行故应选(D)【知识模块】 n 维向量与向量空间二、填空题5 【正确答案】 1【试题解析】 1， 2， 3 线性相关 齐次方程组( 1， 2， 3) =0 有非零解由于 故 a=1【知识模块】 n 维向量与向量空间6 【正确答案】 a=0 或 a=b【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关 1， 2， n=0而故 a=0 或 a=b【知识模块】 n 维向量与向量空间7 【正确答案】 2【试题解析】 记 1=1+2， 2=a2 一 3， 3=1 一 2+3，则 1， 2， 3 线性相关a=2【知识模
13、块】 n 维向量与向量空间8 【正确答案】 1【试题解析】 不能由 1， 2， 3 线性表出 方程组 x11+x22+x33= 无解又因为 a=1 时方程组无解，所以 a=1 时 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 n 维向量与向量空间9 【正确答案】 a3【试题解析】 任何 3 维向量 可由 1， 2， 3 线性表出 ，方程组x11+x22+x33= 有解 ，r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3，) r(1， 2， 3)=3因而 =2(a 一 3)0，所以 a3 时，任何 3 维向量均可由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 n 维向量与向量空间10 【正确答案】 3 1，
14、 2， 3【试题解析】 ( 1， 2， 3)= 线性无关，而知 1， 2， 3 线性无关(【定理 33】)，故秩 r(1， 2， 3)=3，极大线性无关组： 1， 2， 3【知识模块】 n 维向量与向量空间11 【正确答案】 2【试题解析】 r( 1， 2， 3)=2，即矩阵( 1， 2， 3)的秩 2，经初等变换矩阵秩不变，由 ，可知 a=2【知识模块】 n 维向量与向量空间12 【正确答案】 r+1【试题解析】 r( 1， 2， ， s)=r(1， 2， s，)=r 表明 可由1， 2， s 线性表出， r(1， 2， s，)=r+1 表明 不能由1， 2， s 线性表出作列变换有 (1，
15、 2， s， ，)( 1， 2， s，0，) ， 故 r( 1， 2， s，)=r+1 【知识模块】 n 维向量与向量空间13 【正确答案】 0【试题解析】 由 r(A*)= 知 r(A*)=0【知识模块】 n 维向量与向量空间14 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 可逆，知 A*可逆，那么 r(AXA*)=r(X)，从而 r(B)=2B 中已有 2 阶子式非 0，所以 r(B)=2 B=0于是【知识模块】 n 维向量与向量空间15 【正确答案】 【试题解析】 由 BAT=0 有 r(B)+r(AT)3，即 r(A)+r(B)3又 B0，有 r(B)1，从而 r(A)3，即A=0于是【知识
16、模块】 n 维向量与向量空间16 【正确答案】 (1，一 1，2，一 1)T【试题解析】 设 =(x1，x 2，x 3，x 4)T 与 1， 2， 3 均正交，则 Ti=0(i=1，2，3)，即 求出基础解系：(1，一 1，2，一 1)T，单位化得(1，一 1，2，一 1)T 为所求【知识模块】 n 维向量与向量空间17 【正确答案】 (一 1，0，2) T【试题解析】 设 x11+x22+x33=，由解出x1=1 ，x 2=0，x 3=2故 在基 1， 2， 3 的坐标是(一 1，0，2) T【知识模块】 n 维向量与向量空间18 【正确答案】 1= (1，3，一 20，10) T【试题解析
17、】 Ax=0 的基础解系是：(一 3，1，0，0) T，(1，0，一 2，1) TSchmidt 正交化处理，有 1=(一3，1，0，0) T， 2=(1，0，一 2，1) T (1，3，一 20，10)T单位化，得 1= (1，3，一 20，10) T【知识模块】 n 维向量与向量空间19 【正确答案】 【试题解析】 由于( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) 按过渡矩阵定义，知由1， 2， 3 到 1， 2， 3 的过渡矩阵是【知识模块】 n 维向量与向量空间三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 设 x11+x22+x33+x34=，对增广矩阵( 1， 2
18、， 3， 4 )作初等行变换，有()当 a=1，b2 或 a=10， b一 1 时，方程组均无解所以 不能由1， 2， 3， 4 线性表出 ()当 a1 且 a10 时， b 方程组均有唯一解所以 能用 1， 2， 3， 4 线性表示且表示法唯一 () 方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当 a=10，b=1 时，方程组有无穷多解：x 4=t，x 3=t+即 =3+t4(2)当 a=1，b=2 时，方程组有无穷多解：x 4= 即 =4【知识模块】 n 维向量与向量空间21 【正确答案】 因为 3 可由 1， 2， 3 线性表示，故方程组 x11+x22+x33= 有解由又由3=31+22，且
19、 1， 2 线性无关，知秩 r(1， 2， 3)=2于是 r(1， 2， 3)=2从而 1， 2， 3= a=15【知识模块】 n 维向量与向量空间22 【正确答案】 当 sn 时， 1， 2， s 必线性相关，但 1， 2， n是范德蒙行列式，故 1， 2， n 线性无关因而 r(1， 2， s)=n当 s=n时， 1， 2， ， n 线性无关，秩 r(1， 2， n)=n当 sn 时，记，则 1， 2， s 线性无关那么其延伸组 1， 2， s 必线性无关故 r(1， 2， s)=s【知识模块】 n 维向量与向量空间23 【正确答案】 设 r(1， 2， s)=r(1， 2， ， s， s
20、+1)=r，且i1， i2， ir 是向量组 1， 2， s 的极大线性无关组，那么i1， i2， ir 也是 1， 2， s， s+1 的极大线性无关组从而 s+1 可由i1， i2， ir 线性表出那么 s+1 可由 1， 2， s 线性表出 或者考察方程组 x11+x22+xss=s+1因为 r(1， 2， s)=r(1， 2， s， s+1)， 所以方程组：x 11+x22+xss=s+1 有解因此 s+1 可由 1， 2， s 线性表出【知识模块】 n 维向量与向量空间24 【正确答案】 因为 A*=AT，按定义有 Aij=aij( i，j=1，2，n)，其中 Aij 是行列式A中
21、aij 的代数余子式由于 A0，不妨设 a110，那么A=a 11A11+a12A12+a1nA1n= 0于是A=(1， 2， n)的 n 个列向量线性无关那么对任一 n 维列向量 ，恒有1， 2， n， 线性相关因此 必可由 1， 2， n 线性表出【知识模块】 n 维向量与向量空间25 【正确答案】 必要性因为 1， 2， s 线性相关，故有不全为 0 的k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss=0设 ks，k s1 ，k 2，k 1 中第一个不为 0的是 ki(即 ki0，而 ki+1=ks1 =ks=0)，且必有 i1(若 i=1 即 k10，k 2=ks=0，那么 k11=0
22、于是 1=0 与 10 矛盾)，从而 k11+k22+kii=0， k i0那么i= (k11+k22+ki1 i1 )充分性因为有 i=l11+l22+li1 i1 ，于是 l11+li1 i1 i+0i+1+0 s=0又因 l1， li1 ，一 1，0，0 不全为0，故 1， 2， s 线性相关【知识模块】 n 维向量与向量空间26 【正确答案】 (用秩) 因为 AB=C，所以 r(AB)r(A)，即 r(A)r(C)=m又 A 是mn 矩阵， r(A)m，从而 r(A)=m因为 r(A)=A 的行秩，所以 A 的行向量组线性无关【知识模块】 n 维向量与向量空间27 【正确答案】 对齐次
23、方程组()ABx=0， ()Bx=0，如 是 ()的解，有 B=0，那么 AB=0，于是 是()的解如 是 ()的解，有 AB=0，因为 A 是 mn 矩阵，秩 r(A)=n，所以 Ax=0 只有零解，从而 B=0于是 是 ()的解因此方程组() 与()同解那么 sr(AB)=sr(B)，即 r(AB)=r(B)所以 r(B)=r(C)【知识模块】 n 维向量与向量空间28 【正确答案】 先正交化：再单位化：【知识模块】 n 维向量与向量空间29 【正确答案】 因为 AT=A，Ax=y，所以(x，y)=x Ty=xTAx 又(y，x)=yTx=(Ax)Tx=x TAx，因此 xTAx=x TAx 故 xTAx=0 所以(x，y)=0 【知识模块】 n 维向量与向量空间30 【正确答案】 n 元齐次方程 x1 一 2x2+x3=0 的基础解系： 1=(2，1，0，0)T， 2=(一 1，0，1，0) T， 3=(0，0，0，1，0) T， n1 = (0，0， 0，1) T， 1=1， 2=2 一 (一 1，2，5，0，0)T单位化，得 1= (一 1，2，5，0)T， 3=(0，0， 0，1， 0)T， n1 =(0，0，0，1) T解空间的规范正交基是： 1， 2， n1 ，空间的维数是 n 一 1【知识模块】 n 维向量与向量空间
