1、考研数学一（N 维向量与向量空间）-试卷 2及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 Q= （分数：2.00）A.t=6时，r(P)=1B.t=6时，r(P)=2C.t6 时，r(P)=1D.t6 时，r(P)=23.设 A，B 为满足 AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（分数：2.00）A.A的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A的行向量组线性
2、相关，B 的列向量组线性相关4.设 1 ， 2 ， 3 是 3维向量空间 R 3 的一组基，则由基 1 ， 到基 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 的过渡矩阵为 （分数：2.00）A.B.C.D.5.设矩阵 是满秩的，则直线 = （分数：2.00）A.相交于一点B.重合C.平行但不重合D.异面6.设 i =(a i ，b i ，c i ) T ，i=1，2,3，则平面上三条直线 a 1 x+a 2 y+a 3 =0，b 1 x+b 2 y+b 3 =0，c 1 x+c 2 y+c 3 =0 交于一点的充分必要条件是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 =0B. 1 ， 2 ，
3、3 0C.r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 )D. 1 ， 2 线性无关，但 1 ， 2 ， 3 线性相关7.设向量组 ， 线性无关， 线性相关，则（分数：2.00）A. 必可由 ，艿线性表示B. 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示D. 必不可由 ， 线性表示8.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s ， s+1 线性无关D. 1 ， 2 ， s 中任一个向量均不能由其余 s一 1个向量线性表出9.设 1 ， 2 ， 3
4、 ， 4 是 3维非零向量，则下列说法正确的是（分数：2.00）A.若 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，则 1 + 3 ， 2 + 4 也线性相关B.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 线性无关C.若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关D.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 中任意三个向量均线性无关，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关10.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（分数：2.00）A. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 B. 1 + 2 ， 1 2
5、 ， 3 C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 1 D. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 11.设向量组 I： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组()必线性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组()必线性相关12.若 r( 1 ， 2 ， s )=r，则（分数：2.00）A.向量组中任意 r一 1个向量均线性无关B.向量组中任意 r个向量均线性无关C.向量组中任意 r+1个向量均线性相关D.向量组中向量个数必大于 r二、填空题(总题数：2，分数：4.0
6、0)13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.求向量组 1 =(1，1，4，2) T ， 2 =(1，一 1，一 2，4) T ， 3 =(一 3，2，3，一 11) T ， 4 =(1，3，10，0) T 的一个极大线性无关组（分数：2.00）_17.设 4维向量组 1 =(1+a，1，1，1) T ， 2 =(2，2+a，2，2) T ， 3 =(3，3，3+a，3) T ， 4 =(4，4，4，4+a) T ，问
7、a为何值时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关?当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出（分数：2.00）_18.已知向量组() 1 ， 2 ， 3 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 4 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，如果它们的秩分别为 r()=r()=3，r()=4，求 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 + 5 )（分数：2.00）_19.设 A是 n阶矩阵，证明 r(A * )= （分数：2.00）_20.设 A是 mn矩阵，B 是 ns矩阵，证明 r(AB)r(B)（分数：2.00）_21.设 ， 为 3维列向量
8、，矩阵 A= T + T ，其中 T ， T 分别是 ， 的转置，证明： ()秩 r(A)2； ()若 ， 线性相关，则秩 r(A)2（分数：2.00）_22.设 A是 n阶矩阵，A 2 =E，证明：r(A+E)+r(AE)=n（分数：2.00）_23.已知 A是 mn矩阵，B 是 nP矩阵，r(B)=n，AB=0，证明 A=0（分数：2.00）_24.设 A是 n阶实对称矩阵，且 A 2 =0，证明 A=0（分数：2.00）_25.判断下列 3维向量的集合是不是 R 3 的子空间，如是子空间，则求其维数与一组基： ()W 1 =(x，y，x)x0； ()W 2 =x，y，z)x=0； ()W
9、 3 =(x，y，z)x+y2z=0； ()W 4 ：(x，y，z)3x2y+z=1； ()W 5 =(x，y，z （分数：2.00）_26.已知 1 =(1，1，1，1) T ， 2 =(1，1，一 1，一 1) T ， 3 =(1，一 1，1，一 1) T ， 4 =(1，一 1，一 1，1) T 是 R4的一组基，求 =(1，2，1，1)在这组基下的坐标（分数：2.00）_27.已知 1 = 是 R 3 的一组基，证明 1 = 3 = （分数：2.00）_28.已知 R 3 的两组基 1 =(1，0，一 1) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(1，1，1) T 与 1 =(0
10、，1，1) T ， 2 =(一 1，1，0) T ， 3 =(1，2，1) T ()求由基 1 ， 2 ， 3 到基 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵； ()求 =(9，6，5) T 在这两组基下的坐标； ()求向量 ，使它在这两组基下有相同的坐标（分数：2.00）_29.设 x=Cy是坐标变换，证明 x 0 0 的充分必要条件是 y 0 0（分数：2.00）_30.设 B是秩为 2的 54矩阵， 1 =(1，1，2，3) T ， 2 =(一 1，1，4，一 1) T ， 3 =(5，一1，一 8，9) T 是齐次线性方程组 Bx=0的解向量，求 Bx=0的解空间的一个规范正交基（分数：2.00
11、）_31.已知 1 =(1，2，0，一 1) T ， 2 =(0，1，一 1，0) T ， 3 =(2，1，3，一 2) T ，试把其扩充为 R 4 的一组规范正交基（分数：2.00）_32.设空间中有三个平面 a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0， a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0， a 3 x+b 3 y+c 3 z+d 3 =0， 求 r( （分数：2.00）_考研数学一（N 维向量与向量空间）-试卷 2答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（
12、分数：2.00）_解析：2.已知 Q= （分数：2.00）A.t=6时，r(P)=1B.t=6时，r(P)=2C.t6 时，r(P)=1 D.t6 时，r(P)=2解析：解析：若 A是 mn矩阵，B 是 ns矩阵，且 AB=0，则由 B的每列都是 Ax=0的解，可有 r(A)+r(B)n，从而 r(P)3 一 r(Q) 如 t=6，则 r(Q)=1，得 r(P)2因此(A)，(B)应排除如 t6，则 r(Q)=2，得 r(P)1 因此(D)不正确，而 P非零，r(P)1，故仅(C)正确3.设 A，B 为满足 AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（分数：2.00）A.A的列向量组线性相关，B 的行
13、向量组线性相关 B.A的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关解析：解析：设 A是 mn矩阵，B 是 nS矩阵，满足 AB=0，且 A，B 均为非零矩阵，那么 r(A)+r(B)n， r(A)1， r(B)1 所以必有 r(A)n 且 r(B)n 因为，秩 r(A)=A的列秩n， r(B)=B 的行秩n，故 A的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关应选(A)4.设 1 ， 2 ， 3 是 3维向量空间 R 3 的一组基，则由基 1 ， 到基 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 的过渡矩
14、阵为 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：按过渡矩阵概念：(新基)=(旧基)过渡矩阵，那么过渡矩阵 C应满足关系式 ( 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 )=( 1 ， 3 )C 由于 ( 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 )=( 1 ， 2 ， 3 ) ( 1 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 又( 1 ， 2 ， 3 )可逆，从而 5.设矩阵 是满秩的，则直线 = （分数：2.00）A.相交于一点 B.重合C.平行但不重合D.异面解析：解析：初等变换不改变矩阵的秩，由 可知，后者的秩仍应是 3所以直线的方向向量 S 1 =(a 1 一 a 2 ，b 1
15、 一 b 2 ，c 1 一 c 2 )， S 2 =(a 2 一 a 3 ，b 2 b 3 ，c 2 一 c 3 )线性无关，因此排除(B)，(C) 究竟是相交还是异面呢?在这两条直线上各取一点(a 3 ，b 3 ，c 3 )与(a 1 ，b 1 ，c 1 )，可构造向量 S=(a 3 一 a 1 ，b 3 b 1 ，c 3 一 c 1 )，如果 S，S 1 ，S 2 共面，则两直线相交，如 S 1 ，S 2 ，S 3 不共面，则两直线异面而三个向量的共面问题可用向量的混合积或线性相关性来判断例如 6.设 i =(a i ，b i ，c i ) T ，i=1，2,3，则平面上三条直线 a 1
16、x+a 2 y+a 3 =0，b 1 x+b 2 y+b 3 =0，c 1 x+c 2 y+c 3 =0 交于一点的充分必要条件是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 =0B. 1 ， 2 ， 3 0C.r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 )D. 1 ， 2 线性无关，但 1 ， 2 ， 3 线性相关 解析：解析：三条直线交于一点的充要条件是方程组 有唯一解，即 3 可由 1 ， 2 线性表出且表示法唯一故(D)正确 (B)肯定错，它表示 1 ， 2 ， 3 线性无关，于是 r(A)r 7.设向量组 ， 线性无关， 线性相关，则（分数：2.00）A. 必可由 ，艿线性表示B.
17、 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示 D. 必不可由 ， 线性表示解析：解析：8.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s ， s+1 线性无关D. 1 ， 2 ， s 中任一个向量均不能由其余 s一 1个向量线性表出 解析：解析：(A)，(B)均是线性无关的必要条件例如， 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(2，3，4) T ，虽 1 ， 2 ， 3 均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但 1 +
18、 2 一 3 =0， 1 ， 2 ， 3 线性相关 (C)是线性无关的充分条件由 1 ， 2 ， s ， s+1 线性无关 1 ， 2 ， s 线性无关，但由 1 ， 2 ， ， s 线性无关 9.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 3维非零向量，则下列说法正确的是（分数：2.00）A.若 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，则 1 + 3 ， 2 + 4 也线性相关B.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 线性无关C.若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 D.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 中任意
19、三个向量均线性无关，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关解析：解析：若 1 =(1，0)， 2 =(2，0)， 3 =(0，2)， 4 =(O，3)，则 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，但 1 + 3 =(1，2)， 2 + 4 =(2，3)线性无关故(A)不正确 对于(B)，取 4 = 1 ，即知(B)不对 对于(D)，可考察向量组(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(一 1，一 1，一 1)，可知(D)不对 至于(C)，因为 4个 3维向量必线性相关，如若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 4 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表出现在 4 不能由 1 ， 2
20、， 3 线性表出，故 1 ， 2 ， 3 必线性相关故应选(C)10.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（分数：2.00）A. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 B. 1 + 2 ， 1 2 ， 3 C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 1 D. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 解析：解析：用观察法由 ( 1 一 2 )+( 2 一 3 )+( 3 一 1 )=0， 可知 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 线性相关故应选(D) 至于(A)，(B)，(C)线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为 0来判断 例如，(A)中 r( 1 ， 1 + 2
21、 ， 1 + 2 + 3 )=r( 1 ， 1 + 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=3 或( 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 ) 由行列式 11.设向量组 I： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组()必线性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组()必线性相关 解析：解析：用【定理 36】，若多数向量可用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关故应选(D)请举例说明(A)，(B)，(C)均不正确12.若
22、 r( 1 ， 2 ， s )=r，则（分数：2.00）A.向量组中任意 r一 1个向量均线性无关B.向量组中任意 r个向量均线性无关C.向量组中任意 r+1个向量均线性相关 D.向量组中向量个数必大于 r解析：解析：秩 r( 1 ， 2 ， s )=r 向量组 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组为 r个向量 二、填空题(总题数：2，分数：4.00)13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 AB=0，有 r(A)+r(B)3又因 B0，有 r(B)1 从而 r(A)3，因此行列式A=0又 所以 a=14.设 A= （分数：2.00）填空项
23、1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，2，一 1) T +k 2 (1，0，1) T）解析：解析：由于A=0，秩 r(A)=2，知 r(A * )=1 那么 nr(A * )=31=2从而 A * x=0的通解形式为：k 1 1 +k 2 2 又 A * A=AE=0，故 A的列向量是 A * x=0的解 所以 A * x=0的通解为：k 1 (1，2，一 1) T +k 2 (1，0，1) T 三、解答题(总题数：18，分数：36.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.求向量组 1 =(1，1，4，2) T ， 2 =(1，一 1，一
24、 2，4) T ， 3 =(一 3，2，3，一 11) T ， 4 =(1，3，10，0) T 的一个极大线性无关组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把行向量组成矩阵，用初等行变换化成阶梯形，有 )解析：17.设 4维向量组 1 =(1+a，1，1，1) T ， 2 =(2，2+a，2，2) T ， 3 =(3，3，3+a，3) T ， 4 =(4，4，4，4+a) T ，问 a为何值时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关?当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=(
25、1 ， 2 ， 3 ， 4 )，则 那么，当 a=0或 a=10 时，A=0，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 当 a=0时， 1 为向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组，且 2 =2 1 ， 3 =3 1 ， 4 =4 1 当 a=10 时，对 A作初等行变换，有 )解析：18.已知向量组() 1 ， 2 ， 3 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 4 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，如果它们的秩分别为 r()=r()=3，r()=4，求 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 + 5 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r()=r()=3，知 1 ，
26、 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，故 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出设 4 =l 1 1 +l 2 2 +l 3 3 如果 4 + 5 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，设 4 + 5 =k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 ，则 5 =(k 1 一 l 1 ) 1 +(k 2 一 l 2 ) 2 +(k 3 一 l 3 ) 3 于是 5 =可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，即 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性相关，与已知 r()=4 相矛盾所以 4 + 5 不能用 1 ， 2 ， 3 线性表出，由秩的定义知 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 + 5
27、 )=4)解析：解析：由于 r()=3，得 1 ， 2 ， 3 线性无关，那么向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 + 5 的秩至少是 3，能否是 4?关键就看 4 + 5 能否用 1 ， 2 ， 3 线性表出，或者看向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 + 5 是线性相关还是线性无关19.设 A是 n阶矩阵，证明 r(A * )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 r(A)=n，则A0，A 可逆，于是 A * =AA 1 )可逆，故 r(A * )=n 若 r(A)n 一 2，则A中所有 n一 1阶行列式全为 0于是 A * =0，即 r(A * )=0 若 r(A)=n一 1，则A
28、=0，但存在 n一 1阶子式不为 0，因此 A * 0，r(A * )1，又因 AA * =AE=0， 有 r(A)+r(A * )n，即 r(A * )n 一 r(A)=1，从而 r(A * )=1)解析：20.设 A是 mn矩阵，B 是 ns矩阵，证明 r(AB)r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 AB=C，C 是 ms矩阵，对 B，C 均按行分块，记为 用分块矩阵乘法，得 )解析：21.设 ， 为 3维列向量，矩阵 A= T + T ，其中 T ， T 分别是 ， 的转置，证明： ()秩 r(A)2； ()若 ， 线性相关，则秩 r(A)2（分数：2.00）_正确答案：
29、(正确答案：()利用 r(A+B)r(A)+r(B)和 r(AB)min(r(A)，r(B)，有 r(A)=r( T + T )r( T )+r( T )r()+r() 又 ， 均为 3维列向量，则 r()1，r()1故 r(A)2 ()方法 1当 ， 线性相关时，不妨设 =k，则 r(A)=r( T +K 2 T )=r(1+k 2 ) T =r( T )r()12 方法 2因为齐次方程组 T x=0有 2个线性无关的解，设为 1 ， 2 ，那么 T 1 =0， T 2 =0 若 ， 线性相关，不妨设 =k，那么 T 1 =(k) T 1 =k T 1 =0， T 2 =(k) T 2 =k
30、 T 2 =0 于是 A 1 =( T + T ) 1 =0， A 2 =( T + T ) 2 =0， 即 Ax=0至少有 2个线性无关的解，因此 nr(A)2，即 r(A)12)解析：22.设 A是 n阶矩阵，A 2 =E，证明：r(A+E)+r(AE)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 =E，得 A 2 一 E=0，即(AE)(A+E)=0故 r(AE)+r(A+E)n 又 r(AE)+r(A+E)=r(E一 A)+r(A+E)r(EA)+(A+E)=r(2E)=r(E)=n， 所以 r(AE)+r(A+E)=n)解析：23.已知 A是 mn矩阵，B 是 nP矩阵，
31、r(B)=n，AB=0，证明 A=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r(B)=n，知 B的列向量中有 n个是线性无关的，设为 1 ， 2 ， n 令 B 1 =( 1 ， 2 ， n )，它是 n阶矩阵，其秩是 n，因此 B 1 可逆由 AB=0，知 AB 1 =0，那么右乘 ，得 A=(AB 1 ) )解析：24.设 A是 n阶实对称矩阵，且 A 2 =0，证明 A=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A T =A，A 2 =0，即 AA T =0，而 于是由 =0，a 1j 均是实数，知 a 11 =a 12 =a 1n =0同理知 a 2j 0，a nj 0，
32、 )解析：25.判断下列 3维向量的集合是不是 R 3 的子空间，如是子空间，则求其维数与一组基： ()W 1 =(x，y，x)x0； ()W 2 =x，y，z)x=0； ()W 3 =(x，y，z)x+y2z=0； ()W 4 ：(x，y，z)3x2y+z=1； ()W 5 =(x，y，z （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()W 1 不是子空间，因为 W 1 对数乘向量不封闭例如 =(1，2，3)W 1 ，但 k0 时，k=(k，2k，3k) W 1 ()W 2 是子空间因为 =(0，a，b)，=(0，c，d)W 2 ，而 +=(0，a+c，b+d)W 2 ， k=(0，ka，kb
33、)W 2 ， 即 W 2 对于运算封闭，W 2 是子空间又(0，1，0)，(0，0，1)线性无关且能表示 W 2 中任一向量，因而是 W 2 的一组基，那么 dimW 2 =2 ()W 3 是子空间，如 ，W 3 ，即 ， 是齐次方程 x+y一 2z=0的解由于 +，k 仍是解，故+W 3 ， kW 3 ，W 3 对运算封闭，是子空间 (1，1，0)，(2，0，1)是基础解系，也就是W 3 的一组基，那么 dimW 3 =2 ()W 4 不是子空间因为非齐次方程组的解相加不再是此方程组的解，即 W 4 对加法不封闭 ()W 5 不是子空间，因为条件等同于 )解析：解析： 要判断 W是不是子空间
34、，就是要检查 W对于向量的加法及数乘这两个运算是否封闭如 W是子空间，则 W中向量的极大线性无关组就是一组基，而向量组的秩就是子空间的维数26.已知 1 =(1，1，1，1) T ， 2 =(1，1，一 1，一 1) T ， 3 =(1，一 1，1，一 1) T ， 4 =(1，一 1，一 1，1) T 是 R4的一组基，求 =(1，2，1，1)在这组基下的坐标（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 =，按分量写出，有 因此， 在基 1 ， 2 ， 3 ， 4 下的坐标是 )解析：解析：求 在基 1 ， 2 ， 3 ， 4 下的坐标，
35、也就是求 用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出时的组合系数27.已知 1 = 是 R 3 的一组基，证明 1 = 3 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 ， 2 ， 3 = =40，所以 1 ， 2 ， 3 线性无关，因此它是 3维空间 R 3 的一组基 设由基 1 ， 2 ， 3 到基 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵为C，则( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )C，故 C=( 1 ， 2 ， 3 ) 1 ( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：解析：要证 1 ， 2 ， 3 是 3维空间的一组基，也就是要证 1 ， 2 ， 3 线性无关28.已知 R 3 的两组基 1 =(1，0，一 1) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(1，1，1) T 与 1 =(0，1，1) T ， 2 =(一 1，1，0) T ， 3 =(1
