1、考研数学一（向量）-试卷 1 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.现有四个向量组 (1，2，3) T ，(3，1，5) T ，(0，4，2) T ，(1，3，0) T ； (a，1，b，0，0) T ，(c，0，d，2，0) T ，(e，0，f，0，3) T ； (a，1，2，3) T ，(b，1，2，3) T ，(c，3，4，5) T ，(d，0，0，0) T ； (1，0，3，1) T ，(1，3，0，2) T ，(2，1，7，2) T ，(4，
2、2，14，5) T 则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为3.设向量组()： 1 (a 11 ，a 12 ，a 13 )， 2 (a 21 ，a 22 ，a 23 )， 3 (a 31 ，a 32 ，a 33 )；向量组()： 1 (a 11 ，a 12 ，a 13 ，a 14 )， 2 (a 21 ，a 22 ，a 23 ，a 24 )， 3 (a 31 ，a 32 ，a 33 ，a 34 ，)，则正确的命题是( )（分数
3、：2.00）A.()相关B.()无关C.()无关D.()相关4.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 B. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 C. 1 2 ，3 1 5 2 ，5 1 9 2 D. 1 2 ，2 1 3 2 4 3 ， 1 2 2 3 5.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，且满足 ABE，则( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关B.A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关D.A 的行向量组线
4、性无关，B 的行向量组线性无关6.设向量组 1 ， 2 ， 3 ，线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关B. 1 ， 2 ， 2 线性无关C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 2 线性相关7.设 A，B 为 n 阶方阵，设 P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 BAQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价B.若 BPA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价C.若 BPAQ，则 A
5、的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价D.若 A 的行(列)向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价8.向量组 1 (1，3，5，1) T ， 2 (2，1，3，4) T ， 3 (6，4，4，6) T ， 4 (7，7，9，1) T ， 5 (3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 5 B. 1 ， 3 ， 5 C. 2 ， 3 ， 4 D. 3 ， 4 ， 5 9.设 n(n3)阶矩阵 （分数：2.00）A.1B.C.1D.10.设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（分数：2.00）A.当Aa(a0)时，
6、BaB.当Aa(a0)时，BaC.当A0 时，B0D.当A0 时，B011.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)n，那么在 A 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示12.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性相关C.当 rs 时，向量组必线性相关D.当 rs 时，向量组必线性相关二、填空题(总题数：8，
7、分数：16.00)13.已知向量组 （分数：2.00）填空项 1:_14.从 R 2 的基 1 ， 2 到基 1 ， 2 （分数：2.00）填空项 1:_15.任意一个 3 维向量都可以用 1 (1，0，1) T ， 2 (1，2，3) T ， 3 (a，1，2) T 线性表示，则 a 的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.已知向量组 1 (1，2，1，1) T ， 2 (2，0，t，0) T ， 3 (0，4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_17.若 1 (1，0，5，2) T ， 2 (3，2，3，4) T ， 3 (1，1，t，3)
8、 T 线性相关，则未知数 t 1（分数：2.00）填空项 1:_18.向量组 1 (1，2，0，3) T ， 2 (2，5，3，6) T ， 3 (0，1，3，0) T ， 4 (2，1，4，7) T 的一个极大线性无关组是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.若向量组 1 (1，1，2，4) T ， 2 (0，3，1，2) T ， 3 (3，0，7，0) T ， 4 (1，2，2，0) T 线性无关，则未知数 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设 1 (1，2，1，0) T ， 2 (1，1，0，2) T ， 3 (2，1，1，0) T ，若由 1 ， 2 ， 3
9、 形成的向量空间的维数是 2，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k 0 有解向量 ，且 A k-1 0证明：向量组 ，A，A k-1 是线性无关的（分数：2.00）_23.设 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 e 1 ，e 2 ，e n 能由它们线性表示，证明 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关（分数：2.00）_24.设 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n 维向
10、量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示（分数：2.00）_25.设向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，且 a 1 0，证明存在某个向量 a k (2km)，使 a k 能由 a 1 ，a 2 ，a k1 线性表示（分数：2.00）_26.设向量组 B：b 1 ，b r 能由向量组 A：a 1 ，a s 线性表示为 (b 1 b r )(a 1 ，a s )K， 其中 K 为 sr 矩阵，且向量组 A 线性无关证明向量组 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)r（分数：2.00）_27.设 （分数：2.00）_28.已知 n 元齐次线性方程
11、组 A 1 0 的解全是 A 2 0 的解，证明 A 2 的行向量可以由 A 1 的行向量线性表示（分数：2.00）_29.设 3 阶矩阵 A 的特征值 1 1， 2 2， 3 3 对应的特征向量依次为 1 (1，1，1) T ， 2 (1，2，4) T ， 3 (1，3，9) T (1)将向量 (1，1，3) T 用 1 ， 2 ， 3 ，线性表示；(2)求 A n （分数：2.00）_考研数学一（向量）-试卷 1 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解
12、析：2.现有四个向量组 (1，2，3) T ，(3，1，5) T ，(0，4，2) T ，(1，3，0) T ； (a，1，b，0，0) T ，(c，0，d，2，0) T ，(e，0，f，0，3) T ； (a，1，2，3) T ，(b，1，2，3) T ，(c，3，4，5) T ，(d，0，0，0) T ； (1，0，3，1) T ，(1，3，0，2) T ，(2，1，7，2) T ，(4，2，14，5) T 则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为D.线性相关的向
13、量组为；线性无关的向量组为 解析：解析：向量组是四个 3 维向量，从而线性相关，可排除 B 由于(1，0，0)，(0，2，0)，(0，0，3)线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组线性无关所以应排除 C 向量组中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1 ， 2 ， 4 线性相关，那么添加 3 后，向量组必线性相关应排除 A 由排除法，所以应选 D3.设向量组()： 1 (a 11 ，a 12 ，a 13 )， 2 (a 21 ，a 22 ，a 23 )， 3 (a 31 ，a 32 ，a 33 )；向量组()： 1 (a 11 ，a 12 ，a 13 ，a 14 )， 2 (
14、a 21 ，a 22 ，a 23 ，a 24 )， 3 (a 31 ，a 32 ，a 33 ，a 34 ，)，则正确的命题是( )（分数：2.00）A.()相关B.()无关 C.()无关D.()相关解析：解析：由于 A、C 两个命题互为逆否命题，一个命题与它的逆否命题同真同假，而本题要求有且仅有一个命题是正确的，所以 A、C 均错误如设有向量组： 1 (1，0，0)， 2 (0，1，0)， 3 (0，0，0)与 1 (1，0，0，0)， 2 (0，1，0，0)， 3 (0，0，0，1)显然 r( 1 ， 2 ， 3 )2，r( 1 ， 2 ， 3 )3 即当 1 ， 2 ， 3 线性相关时，其
15、延伸组 1 ， 2 ， 3 可以线性无关，因此，A、C 错误 如果 1 ， 2 ， 3 线性相关，即有不全为 0 的 1 ， 2 ， 3 ，使 1 1 2 2 3 3 0，即方程组 有非零解，那么齐次方程组 4.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 B. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 C. 1 2 ，3 1 5 2 ，5 1 9 2 D. 1 2 ，2 1 3 2 4 3 ， 1 2 2 3 解析：解析：通过已知选项可知 ( 1 2 )( 2 3 )( 3 1 )0， ( 1 2 )( 2 3 )( 3
16、 1 )0， 因此选项 A、B 中的向量组均线性相关 对于选项 C，可设 1 1 2 ， 2 3 1 5 2 ， 3 5 1 9 2 ，即 1 ， 2 ， 3 三个向量可由 1 ， 2 两个向量线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 必线性相关，即 1 2 ，3 1 5 2 ，5 1 9 2 必线性相关 因而用排除法可知应选 D5.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，且满足 ABE，则( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关B.A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关 D.A 的行向量组线性无关，B
17、的行向量组线性无关解析：解析：因为 ABE 是 m 阶方阵，所以 r(AB)m 且有 r(A)r(AB)m，又因 r(A)m，故 r(A)m 于是根据矩阵的性质，A 的行秩r(A)m，所以 A 的行向量组线性无关 同理，B 的列秩r(B)m，所以 B 的列向量组线性无关 所以应选 C6.设向量组 1 ， 2 ， 3 ，线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关B. 1 ， 2 ， 2 线性无关 C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1
18、2 线性相关解析：解析：由于 1 ， 2 ， 3 线性无关， 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示知， 1 ， 2 ， 3 ， 2 线性无关，从而部分组 1 ， 2 ， 2 线性无关，故 B 为正确答案下面证明其他选项的不正确性 取 1 (1，0，0，0) T ， 2 (0，1，0，0) T ， 3 (0，0，1，0) T ， 2 (0，0，0，1) T ， 1 1 知选项 A 与 C 错误 对于选项 D，由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，若 1 ， 2 ， 3 ， 1 2 线性相关，则 1 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，从而 2 可
19、由 1 ， 2 ， 3 线性表示，与假设矛盾，从而 D 错误 所以应选 B7.设 A，B 为 n 阶方阵，设 P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 BAQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价B.若 BPA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价C.若 BPAQ，则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价 D.若 A 的行(列)向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价解析：解析：将等式 BAQ 中的 A、B 按列分块，设 A( 1 ， 2 ， n )，B( 1 ， 2 ， n )，则有 ( 1 ， 2 ， n )(
20、 1 ， 2 ， n ) 表明向量组 1 ， 2 ， n 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示，表示的系数依次为 Q 的第一列至第 n列所对应的各元素由于 Q 可逆，从而有 ABQ -1 ，即( 1 ， 2 ， n )( 1 ， 2 ， n )Q -1 ，表明向量组 1 ， 2 ， n 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确 类似地，对于 PAB，将 A 与 B 按行分块可得出 A 与 B的行向量组等价，从而选项 B 的命题正确 下例可表明选项 C 的命题不正确 设 ， 则 P、Q 均为可逆矩阵，且 BPAQ 8.向量组 1 (1，3，5，1
21、) T ， 2 (2，1，3，4) T ， 3 (6，4，4，6) T ， 4 (7，7，9，1) T ， 5 (3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 5 B. 1 ， 3 ， 5 C. 2 ， 3 ， 4 D. 3 ， 4 ， 5 解析：解析：对向量组的列向量作初等行变换，有 可见秩 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )3 又因为 3 阶子式 9.设 n(n3)阶矩阵 （分数：2.00）A.1B. C.1D.解析：解析：对矩阵 A 的行列式作初等列变换，即把行列式A的第 2，3，n 列加到第 1 列上，提取公因式(n1)a1，得 令A0
22、，得 a1 或 a10.设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（分数：2.00）A.当Aa(a0)时，BaB.当Aa(a0)时，BaC.当A0 时，B0D.当A0 时，B0 解析：解析：因为当A0 时，r(A)n，又由题设，矩阵 A 与 B 等价，故 r(B)n，从而B0，所以应选 D11.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)n，那么在 A 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关 B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示解析：解析：由矩阵秩的定义可知，A 的 n
23、 个行向量组成的向量组的秩也为 r，再由向量组秩的定义，这n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量，所以应选 A12.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性相关C.当 rs 时，向量组必线性相关D.当 rs 时，向量组必线性相关 解析：解析：因为向量组可由向量组线性表示，故 r()r()s 又因为当 rs 时，必有 r()r，即向量组的秩小于其所含向量的个数，此时向量组必线性相关，所以应选 D二、填空题(总题数：8，分数：16.00)13.已知向量组 （分数：2.0
24、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：对向量组构成的矩阵作初等行交换14.从 R 2 的基 1 ， 2 到基 1 ， 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据定义，从 R 2 的基 1 ， 2 到基 1 ， 2 的过渡矩阵为 15.任意一个 3 维向量都可以用 1 (1，0，1) T ， 2 (1，2，3) T ， 3 (a，1，2) T 线性表示，则 a 的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a3）解析：解析：任意一个 3 维向量都可以用 1 (1，0，1) T ， 2 (1，2，3) T ， 3 (a
25、，1，2) T 线性表示，即对于任意的向量 ，方程组 1 1 2 2 3 3 有解，也就是对于任意的 ，r( 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 ，)3，因此 1 ， 2 ， 3 16.已知向量组 1 (1，2，1，1) T ， 2 (2，0，t，0) T ， 3 (0，4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(，)）解析：解析：由于向量的个数与维数不相等，因此不能用行列式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，或者矩阵的秩的特性来分析 令 A 1 ， 2 ， 3 17.若 1 (1，0，5，2) T ， 2 (3，2，3
26、，4) T ， 3 (1，1，t，3) T 线性相关，则未知数 t 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 线性相关的充分必要条件是齐次方程组 1 1 2 2 3 3 0 有非零解将系数矩阵通过初等变换化为阶梯形矩阵，则有 18.向量组 1 (1，2，0，3) T ， 2 (2，5，3，6) T ， 3 (0，1，3，0) T ， 4 (2，1，4，7) T 的一个极大线性无关组是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 ， 2 ， 4）解析：解析：用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有 19.若向量组
27、 1 (1，1，2，4) T ， 2 (0，3，1，2) T ， 3 (3，0，7，0) T ， 4 (1，2，2，0) T 线性无关，则未知数 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a14）解析：解析：n 个 n 维向量线性无关的充分必要条件是以这 n 个向量组成的矩阵对应的行列式不为 0，由于已知的四个向量对应的矩阵行列式为 ，计算该行列式可得20.设 1 (1，2，1，0) T ， 2 (1，1，0，2) T ， 3 (2，1，1，0) T ，若由 1 ， 2 ， 3 形成的向量空间的维数是 2，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
28、：正确答案：6）解析：解析：由题意知向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，而其中两个向量线性无关，所以 r( 1 ， 2 ， 3 )2，故由初等变换 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k 0 有解向量 ，且 A k-1 0证明：向量组 ，A，A k-1 是线性无关的（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有常数 0 ， 1 ， k-1 ，使得 0 1 1 A k-1 A k-1 0， 则有 A k-1 ( 0 1 A k-1 A k-1 )
29、0， 从而得到 0 A k-1 0由题设A k-1 0，所以 0 0 类似地可以证明 1 2 k-1 0，因此向量组，A，A k-1 是线性无关的)解析：23.设 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 e 1 ，e 2 ，e n 能由它们线性表示，证明 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n 维单位向量 e 1 ，e 2 ，e n 线性无关，有 r(e 1 ，e 2 ，e n )n 又因为 n 维单位坐标向量 e 1 ，e 2 ，e n 能由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，则可得 nr(e 1 ，e 2 ，e
30、 n )r(a 1 ，a 2 ，a n ) 又 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n 维向量，因此 r(a 1 ，a 2 ，a n )n 综上所述 r( 1 ， 2 ， n )n故 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关)解析：24.设 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性： a 1 ，a 2 ，a n 是线性无关的一组 n 维向量，因此 r(a 1 ，a 2 ，a n )n对任一 n 唯向量 b，因为 a 1 ，a 2 ，a n ，b 的维数 n 小于向量的个数 n1
31、，故 a 1 ，a 2 ，a n ，b 线性相关 综上所述 r(a 1 ，a 2 ，a n ，b)n 又因为 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关，所以 n 维向量 b 可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示 充分性： 已知任一 n 维向量 b 都可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，则单位向量组： 1 ， 2 ， 3 可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，即 r( 1 ， 2 ， n )nr(a 1 ，a 2 ，a n )， 又 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n 维向量，有 r(a 1 ，a 2 ，a n )n 综上，r(a 1 ，a 2 ，a n )n所以 a 1 ，
32、a 2 ，a n 线性无关)解析：25.设向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，且 a 1 0，证明存在某个向量 a k (2km)，使 a k 能由 a 1 ，a 2 ，a k1 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，由定义知，存在不全为零的数 1 ， 2 ， m ，使 1 a 1 2 a 2 m a m 0 设 k 0，当 k1 时，代入上式有 1 a 1 0又因为 a 1 0，所以 1 0，与假设矛盾，故 k1 当 k 0 且 k2 时，有 a k )解析：26.设向量组 B：b 1 ，b r 能由向量组 A：a 1
33、，a s 线性表示为 (b 1 b r )(a 1 ，a s )K， 其中 K 为 sr 矩阵，且向量组 A 线性无关证明向量组 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)r（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性： 令 B(b 1 ，b r )，A(a 1 ，a s )，则有 BAK，由定理 r(B)r(AK)minr(A)，r(K)， 结合向量组 B：b 1 ，b 2 ，b r 线性无关知 r(B)r，故 r(K)r 又因为 K 为 rs 阶矩阵，则有 r(K)rainr，s 且由向量组 B：b 1 ，b 2 ，b r 能由向量组 A：a 1 ，a 2 ，a s 线性表示
34、，则有 rs，即 minr，sr 综上所述 rr(K)r，即 r(K)r 充分性：已知 r(K)r，向量组 A 线性无关，r(A)s，因此 A 的行最简矩阵为 ，存在可逆矩阵 P 使 PA ， 于是有 PBPAK 由矩阵秩的性质 r(B)r(PB)r )解析：27.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设向量组 1 ， 2 ， n 和 1 ， 2 ， n 依次构成矩阵 A和 B，由条件知 BAK，则 r(B)r(A)且 r(A)r(A，B)其中系数矩阵 K 为 )解析：28.已知 n 元齐次线性方程组 A 1 0 的解全是 A 2 0 的解，证明 A 2 的行向量可以由 A 1 的行向
35、量线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 1 0 的解全是 A 2 0 的解，所以 A 1 0 与 同解那么nr(A 1 )nr ，即 r(A 1 )r )解析：29.设 3 阶矩阵 A 的特征值 1 1， 2 2， 3 3 对应的特征向量依次为 1 (1，1，1) T ， 2 (1，2，4) T ， 3 (1，3，9) T (1)将向量 (1，1，3) T 用 1 ， 2 ， 3 ，线性表示；(2)求 A n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 1 1 2 2 3 3 ，即 故 2 1 2 2 3 (2)A2A 1 2A 2 A 3 ，则由题设条件 A n B2A n 1 2A n 2 A n 3 2 1 22 n 2 3 n 3 )解析：
