1、考研数学一（N 维向量与向量空间）-试卷 1及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列向量组 1 ， 2 ， n 中，线性无关的是（分数：2.00）A.(1，2，3，4)，(4，3，2，1)，(0，0，0，0)B.(a，b，c)，(b，c，d)，(c，d，e)，(d，e，f)C.(a，1，b，0，0)，(c，0，d，2，3)，(e，4，f，5，6)D.(a，1，2，3)，(b，1，2，3)，(c，4，2，3)，(d，0，0，0)3.已知向量组 1 ， 2
2、 ， 3 ， 4 线性无关，则命题正确的是（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关B. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关D. 1 + 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关4.设 1 ， 2 ， s 是 n维向量，则下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如 s 不能用 1 ， 2 ， s1 线性表出，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.如 1 ， 2 ， s 线性相关， s 不能由 1 ， 2 ， s1 线性表
3、出，则 1 ， 2 ， s1 线性相关C.如 1 ， 2 ， s 中，任意 s一 1个向量都线性无关，则 1 ， 2 ， s 线性无关D.零向量 0不能用 1 ， 2 ， s 线性表出5.设向量组 I： 1 ， 2 ， r 可由向量组 II： 1 ， 2 ， s 线性表出，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.若向量组 I线性无关，则 rsB.若向量组 I线性相关，则 rsC.若向量组 II线性无关，则 rsD.若向量组 II线性相关，则 rs6.已知 A= （分数：2.00）A.B.5C.一 1D.17.设 n(n3)阶矩阵 A= （分数：2.00）A.1B.C.一 1D.二、填空题(总题
4、数：6，分数：12.00)8.若 1 =(1，0，5，2) T ， 2 =(3，2，3，4) T ， 3 =(1，1，t，3) T 线性相关，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.若 1 =(1，一 1，2，4) T ， 2 =(0，3，1，2) T ， 3 =(3，0，7，a) T ， 4 =(1，一2，2，0) T 线性无关，则 a的取值范围为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.若 =(1，2，t) T 可由 1 =(2，1，1) T ， 2 =(1，2，7) T ， 3 =(1，1，4) T 线性表出，则 t= 1；（分数：2.00）填空项 1:_11.设 1 =(1，2
5、，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，2) T ，若 1 =(1，3，4) T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出， 2 =(0，1，2) T 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 1 =(2，3，4，5) T ， 2 =(3，4，5，6) T ， 3 =(4，5，6，7) T ， 4 =(5，6，7，8) T ，则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )= 1；（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 n阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)14.解答题解
6、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.若 i1 ， i2 ， ir 与 j1 ， j2 ， jt 都是 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组，则 r=t（分数：2.00）_16.设 A，B 都是 mn矩阵，则 r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）_17.设 A是 mn矩阵B 是 np矩阵如 AB=0则 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_18.设 1 =(1，1) T ， 2 =(1，0) T 和 1 =(2，3) T ， 2 =(3，1) T ，求由 1 ， 2 到 1 ， 2 的过渡矩阵（分数：2.00）_19.判断 1 =(1，0，2，3) T
7、， 2 =(1，1，3，5) T ， 3 =(1，1，a+2，1) T ， 4 =(1，2，4，a+9) T 的线性相关性（分数：2.00）_20.已知 1 =(1，一 1，1) T ， 2 =(1，t，一 1) T ， 3 =(t，1，2) T ，=(4，t 2 ，一 4) T ，若 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出且表示法不唯一，求 t及 的表达式（分数：2.00）_21.已知 可用 1 ， 2 ， m 线性表示，但不能用 1 ， 2 ， m1 表出，试判断：() m 能否用 1 ， 2 ， m1 ， 线性表示； () m 能否用 1 ， 2 ， m1 线性表示，并说明理由（分数：2.
8、00）_22.若向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，向量组 2 ， 3 ， 4 线性无关，试问 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表出?并说明理由（分数：2.00）_23.已知线性方程组 （分数：2.00）_24.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明 2 1 +3 2 ， 2 一 3 ， 1 + 2 + 3 线性无关（分数：2.00）_25.设 A是 n阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k x=0有解向量 ，且 A k1 0 证明：向量组 ，A，A k1 是线性无关的（分数：2.00）_26.设 A是 nm矩阵，B 是 mn矩阵，其中 nm，若 AB=E，证明 B的列向量线性
9、无关（分数：2.00）_27.设 A是 n阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 n维列向量，且 1 0，A 1 =k 1 ，A 2 =l 1 +k 2 ，A 3 =l 2 +k 3 ，l0，证明 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_28.证明 n维列向量 1 ， 2 ， n 线性无关的充要条件是 （分数：2.00）_29.已知向量 可以由 1 ， 2 ， s 线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_30.设 i =( i1 ， i2 ， in ) T (i=l，2，r；rn)是 n维实向量，且 1 ， 2 ， r 线性无关，已知 =(
10、b 1 ，b 2 ，b n ) T 是线性方程组 （分数：2.00）_31.设 n维列向量 1 ， 2 ， n1 ， 线性无关，且与非零向量 1 ， 2 都正交证明 1 ， 2 线性相关， 1 ， 2 ， n1 ， 1 线性无关（分数：2.00）_32.设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 为 A的分别属于特征值一 1，1 的特征向量，向量 3 满足 A 3 = 2 + 3 ，证明 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_考研数学一（N 维向量与向量空间）-试卷 1答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中
11、，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列向量组 1 ， 2 ， n 中，线性无关的是（分数：2.00）A.(1，2，3，4)，(4，3，2，1)，(0，0，0，0)B.(a，b，c)，(b，c，d)，(c，d，e)，(d，e，f)C.(a，1，b，0，0)，(c，0，d，2，3)，(e，4，f，5，6) D.(a，1，2，3)，(b，1，2，3)，(c，4，2，3)，(d，0，0，0)解析：解析：有零向量的向量组肯定线性相关，任意 n+1个 n维向量必线性相关因此(A)，(B)均线性相关 对于(D)，若 d=0，肯定线性相关；若 d0，则 (a，1，2，3)一(b，1，2
12、，3)= (d，0，0，0)，即 1 ， 2 ， 4 线性相关，而线性相关的向量组再增加向量肯定仍是线性相关，因此不论哪种情况，(D)是线性相关的 由排除法可知(C)入选另一方面，若能观察出 1 =(1，0，0)， 2 =(0，2，3)， 3 =(4，5，6)所构成的行列式 3.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则命题正确的是（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关B. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关D. 1 + 2
13、 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关 解析：解析：由观察法可知( 1 + 2 )( 2 + 3 )+( 3 + 4 )一( 4 + 1 )=0，即(A)线性相关 对于(B)，( 1 一 2 )+( 2 一 3 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )=0，即(B)线性相关 而(C)中，( 1 + 2 )一( 2 + 3 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )：0，即(C)线性相关 由排除法可知(D)正确4.设 1 ， 2 ， s 是 n维向量，则下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如 s 不能用 1 ， 2 ， s1 线性表出，则 1 ， 2 ， s 线性无关B
14、.如 1 ， 2 ， s 线性相关， s 不能由 1 ， 2 ， s1 线性表出，则 1 ， 2 ， s1 线性相关 C.如 1 ， 2 ， s 中，任意 s一 1个向量都线性无关，则 1 ， 2 ， s 线性无关D.零向量 0不能用 1 ， 2 ， s 线性表出解析：解析：(A)，(C)，(D)均错，仅(B)正确 (A)中当 s 不能用 1 ， 2 ， s1 线性表出时，并不保证每一个向量 i (i=1，2，s1)都不能用其余的向量线性表出例如， 1 =(1，0)， 2 =(2，0)， 3 =(0，3)，虽 3 不能用 1 ， 2 线性表出，但 2 1 一 2 +0 3 =0， 1 ， 2
15、， 3 是线性相关的 (C)如 1 ， 2 ， s 线性无关，可知它的任何一个部分组均线性无关但任一部分组线性无关并不能保证该向量组线性无关例如 e 1 =(1，0，0，0)，e 2 =(0，1，0，0)，e n =(0，0，0，1)，=(1，1，1，1)， 其中任意 n个都是线性无关的，但这 n+1个向量是线性相关的 (D)在线性表出的定义中，对组合系数没有任何约束条件，因此，零向量可以用任何向量组线性表出，最多组合系数全取为 0，即 0=0 1 +0 2 +0 s 其实，零向量 0用 1 ， 2 ， s 表示时，如果组合系数可以不全为 0，则表明 1 ， 2 ， s 是线性相关的，否则线性
16、无关 关于(B)，由于 1 ， 2 ， s 线性相关，故存在不全为 0的 k i (i=1，2，s)，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 显然，k s =0(否则 s 可由 1 ， s1 线性表出)，因此 1 ， 2 ， s1 线性相关5.设向量组 I： 1 ， 2 ， r 可由向量组 II： 1 ， 2 ， s 线性表出，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.若向量组 I线性无关，则 rs B.若向量组 I线性相关，则 rsC.若向量组 II线性无关，则 rsD.若向量组 II线性相关，则 rs解析：解析：因为 I可由线性表出，故 r()r()当向量组 I线性无关时，有 r(
17、)=r( 1 ， 2 ， r )=r由向量组秩的概念自然有 r()=r( 1 ， 2 ， s )s从而(A)正确 6.已知 A= （分数：2.00）A.B.5C.一 1 D.1解析：解析：经初等变换矩阵的秩不变，对矩阵 A作初等行变换，有 由 5+4a 一 a 2 =(a+1)(5a)，2a 2 3a一 5=(2a一 5)(a+1)， 可见 a=一 1时，A 7.设 n(n3)阶矩阵 A= （分数：2.00）A.1B. C.一 1D.解析：解析：由伴随矩阵秩的公式 r(A * )= 知 r(A)=n一 1，那么A=0 且有 n一 1阶子式不为0 如 a=1，显然A的二阶子式全为 0，故(A)不
18、入选而 a1 时，由题设有 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.若 1 =(1，0，5，2) T ， 2 =(3，2，3，4) T ， 3 =(1，1，t，3) T 线性相关，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 线性相关的充要条件是齐次方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =0有非零解 对系数矩阵高斯消元，化为阶梯形，于是有 9.若 1 =(1，一 1，2，4) T ， 2 =(0，3，1，2) T ， 3 =(3，0，7，a) T ， 4 =(1，一2，2，0) T 线性无关，则 a的取值范围为 1（分
19、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a14）解析：解析：n 个 n维向量 1 ， 2 ， n 线性无关 1 ， 2 ， n 0因为 10.若 =(1，2，t) T 可由 1 =(2，1，1) T ， 2 =(1，2，7) T ， 3 =(1，1，4) T 线性表出，则 t= 1；（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析： 可以由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表出的充要条件是线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 有解 对增广矩阵高斯消元，化为阶梯形，即 方程组有解 11.设 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T
20、， 3 =(1，a+2，2) T ，若 1 =(1，3，4) T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出， 2 =(0，1，2) T 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：依题意，方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 1 有解，而方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 2 无解因为两个方程组的系数矩阵相同，故可合并一次加减消元，即 12.已知 1 =(2，3，4，5) T ， 2 =(3，4，5，6) T ， 3 =(4，5，6，7) T ， 4 =(5，6，7，8) T ，则 r(
21、 1 ， 2 ， 3 ， 4 )= 1；（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )= 13.已知 n阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 A 2 一 A=A(AE)，又矩阵 A可逆，故 r(A 2 一 A)=r(AE)，易见 r(AE)=1三、解答题(总题数：19，分数：38.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.若 i1 ， i2 ， ir 与 j1 ， j2 ， jt 都是 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组，则 r=t（
22、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 i1 ， i2 ， ir 是极大线性无关组，所以添加 j1 后 i1 ， ir ， j1 必线性相关那么 j1 可由 i1 ， i2 ， ir 线性表出类似地， j2 ， jt 也都可由 i1 ， i2 ， ir 线性表出 又因 j1 ， j2 ， jt 线性无关，得知 tr同理，rt所以，r=t)解析：16.设 A，B 都是 mn矩阵，则 r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A的列向量中 i1 ， i2 ， ir 是其一个极大线性无关组， j1 ， j2 ， jt 是 B的列向量的一个极大线性无关组那么，A
23、 的每一个列向量均可以由 i1 ， i2 ， ir 线性表出，B 的每一个列向量均能用 j1 ， j2 ， jt 线性表出于是 A+B的每一个列向量 K + K 都能用 i1 ， i2 ， ir ， j1 ， j2 ， jt 线性表出因此，A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于向量组 i1 ， i2 ， ir ， j1 ， j2 ， jt 中向量个数，即 r(A+B)r+t=r(A)+r(B)解析：17.设 A是 mn矩阵B 是 np矩阵如 AB=0则 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造齐次方程组 Ax=0，对矩阵 B按列分块，记 B=( 1 ， 2 ，
24、 p )，那么 AB=A( 1 ， 2 ， p )=(A 1 ，A 2 ，A p )=(0，0，0)， 于是 1 ， 2 ， p )解析：18.设 1 =(1，1) T ， 2 =(1，0) T 和 1 =(2，3) T ， 2 =(3，1) T ，求由 1 ， 2 到 1 ， 2 的过渡矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 =3 1 一 2 ， 2 = 1 +2 2 ，所以由 1 ， 2 到 1 ， 2 的过渡矩阵是 或者，按定义( 1 ， 2 )=( 1 ， 2 )C，即 C，于是有 )解析：19.判断 1 =(1，0，2，3) T ， 2 =(1，1，3，5) T ，
25、3 =(1，1，a+2，1) T ， 4 =(1，2，4，a+9) T 的线性相关性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 =0，按分量写出，有 对系数矩阵高斯消元，有 )解析：20.已知 1 =(1，一 1，1) T ， 2 =(1，t，一 1) T ， 3 =(t，1，2) T ，=(4，t 2 ，一 4) T ，若 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出且表示法不唯一，求 t及 的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，按分量写出为 对增广矩阵高斯消元，得 由于 可由 1 ，
26、 2 ， 3 线性表出且表示法不唯一，所以方程组有无穷多解，故 r(A)=r 3，从而 t=4此时，增广矩阵可化为 解出 x 3 =u，x 2 =4一 u，x 1 =3u，所以=3u 1 +(4一 u) 2 +u 3 ， )解析：21.已知 可用 1 ， 2 ， m 线性表示，但不能用 1 ， 2 ， m1 表出，试判断：() m 能否用 1 ， 2 ， m1 ， 线性表示； () m 能否用 1 ， 2 ， m1 线性表示，并说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： m 不能用 1 ， 2 ， m1 线性表示，但能用 1 ， 2 ， m1 ， 线性表示 因为 可用 1 ， 2 ，
27、m 线性表示可设 x 1 1 +x 2 2 +x m m =， (*) 则必有 x m 0，否则 可用 1 ， 2 ， m1 线性表示，与已知矛盾所以 m = )解析：22.若向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，向量组 2 ， 3 ， 4 线性无关，试问 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表出?并说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不能因为已知 2 ， 3 ， 4 线性无关，那么 2 ， 3 线性无关，又因 1 ， 2 ， 3 线性相关，所以 1 可由 2 ， 3 线性表出设 1 =l 2 2 +l 3 3 ，如 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，那么 4 =k 1 1
28、 +k 2 2 +k 3 3 =(k 1 l 2 +k 2 ) 2 +(k 1 l 3 +k 3 ) 3 ， 即 4 可由 2 ， 3 线性表出，则 2 ， 3 ， 4 线性相关，与已知矛盾因此， 4 不能用 1 ， 2 ， 3 线性表出)解析：23.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表出因 k(1，一 1，2，0) T 是相应齐次方程组 Ax=0的通解，则 ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) )解析：解析：从线性方程组的通解可看出相应齐次方程组的通解，亦可得到列向量组的秩及列向量 a i 之间的联系24.已知 1 ， 2 ， 3
29、 线性无关，证明 2 1 +3 2 ， 2 一 3 ， 1 + 2 + 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(定义法，拆项重组) 若 x 1 (2 1 +3 2 )+x 2 ( 2 一 3 )+x 3 ( 1 + 2 + 3 )=0，整理得 (2x 1 +x 3 ) 1 +(3x 1 +x 2 +x 3 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 3 =0 由已知条件 1 ， 2 ， 3 线性无关，故组合系数必全为 0，即 )解析：25.设 A是 n阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k x=0有解向量 ，且 A k1 0 证明：向量组 ，A，A k1 是线性无关的（分数：2.
30、00）_正确答案：(正确答案：(定义法，同乘) 设有常数 l 1 ，l 2 ，l k ，使得 l 1 +l 2 A+l k A k1 =0， 用 A k1 左乘上式，得 A k1 (l 1 +l 2 A+l k A k1 )=0 由 A k =0，知 A k+1 =A k+2 =0，从而有 l 1 A k1 =0因为 A k1 0，所以 l 1 =0 类似可证 l 2 =l 3 =l k =0，故向量组 ，A，A k1 线性无关)解析：26.设 A是 nm矩阵，B 是 mn矩阵，其中 nm，若 AB=E，证明 B的列向量线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(定义法，同乘) 对矩阵
31、 B按列分块，记 B=( 1 ， 2 ， n )，若 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0，用分块矩阵可写成 ( 1 ， 2 ， n ) )解析：27.设 A是 n阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 n维列向量，且 1 0，A 1 =k 1 ，A 2 =l 1 +k 2 ，A 3 =l 2 +k 3 ，l0，证明 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0，用 A一 KE左乘有 k 1 (AkE) 1 +k 2 (AkE) 2 +k 3 (AkE) 3 =0， 即 k 2 l 1 +k 3 l 2 =0， 亦即
32、k 2 1 +k 3 2 =0 再用A一 KE左乘，可得 k 3 1 =0 由 1 0，故必有 k 3 =0，依次往上代入得 k 2 =0及 k 1 =0，所以 1 ， 2 ， 3 线性无关)解析：解析：对 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0，如何证明组合系数 k 1 =k 2 =k 3 =0呢?要作恒等变形就应仔细分析已知条件，A i 的条件其实就是 (AkE) 1 =0， (AkE) 2 =l 1 ， (AkE) 3 =l 2 这启发我们应用 AkE左乘来作恒等变形28.证明 n维列向量 1 ， 2 ， n 线性无关的充要条件是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 A
33、=( 1 ， 2 ， n )，则 D=A T A那么 D=A T A=A T A=A 2 可见A0 的充要条件是 D0，即 1 ， 2 ， n 线性无关的充要条件是 D0)解析：解析：要证 n个 n维向量线性无关，可利用充要条件 1 ， 2 ， n 0由于内积 (，) =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a n b n =(a 1 ，a 2 ，a n ) 29.已知向量 可以由 1 ， 2 ， s 线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 必要性(反证法) 如 1 ， 2 ， s 线性相关，则存在不全为 0的数 l 1 ，l 2 ，l s ，使 l 1 1 +l 2 2 +l s s =0 因已知 可由 1 ， 2 ， s 线性表
