1、考研数学一（N 维向量与向量空间）-试卷 3及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n维向量 1 ， 2 ， s ，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么 1 + 2 ， 2 + 3 ， s1 + s ， s + 1 也线性无关B.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关C.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，A 是 mn非零矩阵，那么 A 1 ，A 2 ，A s 也线性相关D.如果
2、1 ， 2 ， s 线性相关，那么 s 可由 1 ， 2 ， s1 线性表出3.已知 A= （分数：2.00）A.a=b0B.ab 且 a+2b=0C.a+2b0D.ab 且 a+2b04.设 A是 mn矩阵，r(A)=mn，则下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.A经初等行变换必可化为(E m ，0)B.C.如 m阶矩阵 B满足 BA=0，则 B=0D.行列式A T A=05.设 0 =(x 1 一 x 2 ，y 1 一 y 2 ，z 1 一 z 2 )， 1 =(l 1 ，m 1 ，n 1 )， 2 =(l 2 ，m 2 ，n 2 )，则空间中两条直线 （分数：2.00）A.r( 0
3、， 1 ， 2 ) =2B.r( 0 ， 1 ， 2 )=r( 1 ， 2 )=1C.r( 0 ， 1 ， 2 )=2，r( 1 ， 2 )=1D.r( 0 ， 1 ， 2 )=r( 1 ， 2 )=2二、填空题(总题数：15，分数：30.00)6.向量组 1 =(1，0，1，2) T ， 2 =(1，1，3，1) T ， 3 =(2，一 1，a+1，5) T 线性相关，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.已知 1 =(a，a，a) T ， 2 =(一 a，a，b) T ， 3 =(一 a，一 a，一 b) T 线性相关，则 a，b 满足关系式 1（分数：2.00）填空项 1:_8.
4、已知 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 + 2 ，a 2 3 ， 1 2 + 3 线性相关，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.若 =(1，3，0) T 不能由 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，一 2) T 线性表出，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.任意 3维向量都可用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，一 2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表出，则a为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知 1 =(1，2，3，4) T ， 2 =(2，0，一 1，1) T ， 3 =(6，0，0，5)
5、 T ，则向量组的秩r( 1 ， 2 ， 3 )= 1，极大线性无关组是 2（分数：2.00）填空项 1:_12.向量组 1 =(1，一 1，3，0) T ， 2 =(一 2，1，a，1) T ， 3 =(1，1，一 5，一 2) T 的秩为2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r，r( 1 ， 2 ， s ，)=r+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 4阶矩阵 A的秩为 2则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 A= （分数：2.0
6、0）填空项 1:_16.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.与 1 =(1，一 1，0，2) T ， 2 =(2，3，1，1) T ， 3 =(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知三维向量空间的一组基是 1 =(1，0，1)， 2 =(1，一 1，0)， 3 =(2，1，1)，则向量=(3，2，1)在这组基下的坐标是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_20.已知 1 ， 2 ， 3 与 1 ， 2 ， 3 是三维向量空间的两组基，且 1 = 1 +2 2 一 3 ， 2 = 2 +
7、 3 ， 3 = 1 +3 2 +2 3 ，则由基 1 ， 2 ， 3 到基 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.已知 1 =(1，1，0，2) T ， 2 =(一 1，1，2，4) T ， 3 =(2，3，a，7) T ， 4 =(一 1，5，一 3，a+6) T ，=(1，0，2，6) T ，问 a，b 取何值时，() 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示?() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法唯一；() 能用
8、 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式（分数：2.00）_23.已知向量组 （分数：2.00）_24.已知 1 ， 2 ， s 是互不相同的数，n 维向量 i =(1， i ， （分数：2.00）_25.如果秩 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ， s+1 )，证明 s+1 可由 1 ， 2 ， s 线性表出（分数：2.00）_26.设 A是 n阶非零矩阵，A * 是 A的伴随矩阵，A T 是 A的转置矩阵，如果 A T =A * ，证明任一 n维列向量均可由矩阵 A的列向量线性表出（分数：2.00）_27.证明 1 ， 2 ， s (其
9、中 1 0)线性相关的充分必要条件是存在一个 i (1is)能由它前面的那些向量 1 ， 2 ， i1 线性表出（分数：2.00）_28.已知 A是 mn矩阵，B 是 np矩阵，如 AB=C，且 r(C)=m，证明 A的行向量线性无关（分数：2.00）_29.设 A是 mn矩阵，B 是 ns矩阵，C 是 ms矩阵，满足 AB=C，如果秩 r(A)=n，证明秩 r(B)=r(C)（分数：2.00）_30.用 Schmidt正交化方法将下列向量组规范正交化： 1 =(1，1，1) T ， 2 =(一 1，0，一 1) T ， 3 =(一 1，2，3) T （分数：2.00）_31.设 A是 n阶反
10、对称矩阵，x 是 n维列向量，如 Ax=y，证明 x与 y正交（分数：2.00）_32.设 W=(x 1 ，x 2 ，x n )x 1 一 2x 2 +x 3 =0，求向量空间 W的维数及一组规范正交基（分数：2.00）_考研数学一（N 维向量与向量空间）-试卷 3答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n维向量 1 ， 2 ， s ，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么 1 + 2 ， 2 + 3 ，
11、s1 + s ， s + 1 也线性无关B.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关C.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，A 是 mn非零矩阵，那么 A 1 ，A 2 ，A s 也线性相关 D.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，那么 s 可由 1 ， 2 ， s1 线性表出解析：解析：(A)：当 s为偶数时，命题不正确例如， 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性相关 (B)：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系 例如， 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， s ，0 等价，但后者必线性相关
12、(C)：因为(A 1 ，A 2 ，A s )=A( 1 ， 2 ， s )，于是 r(A 1 ，A 2 ，A s )=rA( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s )s， 所以，A 1 ，A 2 ，A s 必线性相关故应选(C)3.已知 A= （分数：2.00）A.a=b0B.ab 且 a+2b=0 C.a+2b0D.ab 且 a+2b0解析：解析：由 r(A * )= ，知本题 r(A * )=1 4.设 A是 mn矩阵，r(A)=mn，则下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.A经初等行变换必可化为(E m ，0)B.C.如 m阶矩阵 B满足 BA=0，则 B=0D.行列式A
13、T A=0 解析：解析：经初等变换可以把矩阵 A化为标准形，但一般应当既有初等行变换也有初等列变换，只用一种不一定能把 A化为标准形例如， ，只用初等行变换就不能化为标准形(E 2 ，0)形式，(A)不正确故应选(A) 因为 A是 mn矩阵，r(A)=m 说明矩阵 A的行向量组必线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以 r 5.设 0 =(x 1 一 x 2 ，y 1 一 y 2 ，z 1 一 z 2 )， 1 =(l 1 ，m 1 ，n 1 )， 2 =(l 2 ，m 2 ，n 2 )，则空间中两条直线 （分数：2.00）A.r( 0 ， 1 ， 2 ) =2B.r( 0 ， 1 ， 2 )=
14、r( 1 ， 2 )=1C.r( 0 ， 1 ， 2 )=2，r( 1 ， 2 )=1D.r( 0 ， 1 ， 2 )=r( 1 ， 2 )=2 解析：解析：设 A(x 1 ，y 1 ，z 1 )，B(x 2 ，y 2 ，z 2 )是直线 L 1 ，L 2 上的点，那么 0 表示 L 1 ，L 2 上两个点连线的方向向量 秩 r( 0 ， 1 ， 2 )=2表明 0 ， 1 ， 2 共面，因此L 1 ，L 2 两直线共面但不重合(否则 r( 0 ， 1 ， 2 )=1)，此时 L 1 与 L 2 可能平行，亦可能交于一点 r( 1 ， 2 )=1表明 L 1 ，L 2 的方向向量共线，因而 L
15、 1 与 L 2 平行或重合 r( 1 ， 2 )=2表明 L 1 ，L 2 的方向向量不平行，因而 L 1 与 L 2 相交或为异面直线 故(A)是 L 1 ，L 2 交于一点的必要条件，(B)为两线重合，(C)为两线平行故应选(D)二、填空题(总题数：15，分数：30.00)6.向量组 1 =(1，0，1，2) T ， 2 =(1，1，3，1) T ， 3 =(2，一 1，a+1，5) T 线性相关，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 线性相关 齐次方程组( 1 ， 2 ， 3 ) =0有非零解由于 7.已知 1 =(a，
16、a，a) T ， 2 =(一 a，a，b) T ， 3 =(一 a，一 a，一 b) T 线性相关，则 a，b 满足关系式 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=0 或 a=b）解析：解析： n 个 n维向量线性相关 1 ， 2 ， n =0而 8.已知 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 + 2 ，a 2 3 ， 1 2 + 3 线性相关，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：记 1 = 1 + 2 ， 2 =a 2 一 3 ， 3 = 1 一 2 + 3 ，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 9.若 =(1，3，0) T 不
17、能由 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，一 2) T 线性表出，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出 方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =无解又 10.任意 3维向量都可用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，一 2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表出，则a为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a3）解析：解析：任何 3维向量 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出 ，方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3
18、 3 = 有解 ，r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 ，) r( 1 ， 2 ， 3 )=3 因而 11.已知 1 =(1，2，3，4) T ， 2 =(2，0，一 1，1) T ， 3 =(6，0，0，5) T ，则向量组的秩r( 1 ， 2 ， 3 )= 1，极大线性无关组是 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3 1 ， 2 ， 3）解析：解析：( 1 ， 2 ， 3 )= 12.向量组 1 =(1，一 1，3，0) T ， 2 =(一 2，1，a，1) T ， 3 =(1，1，一 5，一 2) T 的秩为2，则 a= 1（分数：2.00）填空项
19、 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：r( 1 ， 2 ， 3 )=2，即矩阵( 1 ， 2 ， 3 )的秩 2，经初等变换矩阵秩不变，由 13.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r，r( 1 ， 2 ， s ，)=r+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：r+1）解析：解析：r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r 表明 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，r( 1 ， 2 ， s ，)=r+1 表明 不能由 1 ， 2 ， s 线性表出作列变换有 ( 1 ， 2
20、 ， s ，)( 1 ， 2 ， s ，0，)， 故 r( 1 ， 2 ， s ，)=r+114.设 4阶矩阵 A的秩为 2则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 r(A * )= 15.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 A可逆，知 A * 可逆，那么 r(AXA * )=r(X)，从而 r(B)=2 B 中已有 2阶子式非 0，所以 r(B)=2 B=0于是 16.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 BA T =0有 r(B)+
21、r(A T )3，即 r(A)+r(B)3 又 B0，有 r(B)1，从而 r(A)3，即A=0于是 17.与 1 =(1，一 1，0，2) T ， 2 =(2，3，1，1) T ， 3 =(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T 与 1 ， 2 ， 3 均正交，则 T i =0(i=1，2，3)，即 求出基础解系：(1，一 1，2，一 1) T ，单位化得 18.已知三维向量空间的一组基是 1 =(1，0，1)， 2 =(1，一 1，0)， 3 =(2，1，1)，
22、则向量=(3，2，1)在这组基下的坐标是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1，0，2) T）解析：解析：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，由 19.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 = ）解析：解析： Ax=0的基础解系是：(一 3，1，0，0) T ，(1，0，一 2，1) T Schmidt 正交化处理，有 1 =(一 3，1，0，0) T ， 2 =(1，0，一 2，1) T (1，3，一 20，10) T 单位化，得 1 = 20.已知 1 ， 2 ， 3 与 1 ， 2 ， 3 是三维向量空间的两组
23、基，且 1 = 1 +2 2 一 3 ， 2 = 2 + 3 ， 3 = 1 +3 2 +2 3 ，则由基 1 ， 2 ， 3 到基 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 按过渡矩阵定义，知由 1 ， 2 ， 3 到 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵是 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.已知 1 =(1，1，0，2) T ， 2 =(一 1，1，2，4) T ， 3 =(2，
24、3，a，7) T ， 4 =(一 1，5，一 3，a+6) T ，=(1，0，2，6) T ，问 a，b 取何值时，() 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示?() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法唯一；() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 3 4 =，对增广矩阵( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )作初等行变换，有 ()当 a=1，b2 或 a=10，b一 1时，方程组均无解所以 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出 ()当
25、a1 且 a10 时， b方程组均有唯一解所以 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示且表示法唯一 ()方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当 a=10，b=1 时，方程组有无穷多解： x 4 =t，x 3 =t+ 即 = 3 +t 4 (2)当 a=1，b=2 时，方程组有无穷多解：x 4 = 即 = )解析：23.已知向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，故方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 有解由 又由 3 =3 1 +2 2 ，且 1 ， 2 线性无关，知秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=2 于是 r( 1
26、 ， 2 ， 3 )=2 从而 1 ， 2 ， 3 = )解析：24.已知 1 ， 2 ， s 是互不相同的数，n 维向量 i =(1， i ， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 sn 时， 1 ， 2 ， s 必线性相关，但 1 ， 2 ， n 是范德蒙行列式，故 1 ， 2 ， n 线性无关因而 r( 1 ， 2 ， s )=n 当s=n时， 1 ， 2 ， n 线性无关，秩 r( 1 ， 2 ， n )=n 当 sn 时，记 ， )解析：25.如果秩 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ， s+1 )，证明 s+1 可由 1 ， 2 ， s 线性表出（分数
27、：2.00）_正确答案：(正确答案：设 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ， s+1 )=r，且 i1 ， i2 ， ir 是向量组 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组，那么 i1 ， i2 ， ir 也是 1 ， 2 ， s ， s+1 的极大线性无关组从而 s+1 可由 i1 ， i2 ， ir 线性表出那么 s+1 可由 1 ， 2 ， s 线性表出 或者考察方程组 x 1 1 +x 2 2 +x s s = s+1 因为 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ， s+1 )，所以方程组：x 1 1 +x 2 2 +x s s = s+1 有解因
28、此 s+1 可由 1 ， 2 ， s 线性表出)解析：26.设 A是 n阶非零矩阵，A * 是 A的伴随矩阵，A T 是 A的转置矩阵，如果 A T =A * ，证明任一 n维列向量均可由矩阵 A的列向量线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A * =A T ，按定义有 A ij =a ij ( i，j=1，2，n)，其中 A ij 是行列式A中 a ij 的代数余子式 由于 A0，不妨设 a 11 0，那么 A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 1n A 1n = )解析：27.证明 1 ， 2 ， s (其中 1 0)线性相关的充分必要条件是存在一个 i (
29、1is)能由它前面的那些向量 1 ， 2 ， i1 线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性因为 1 ， 2 ， s 线性相关，故有不全为 0的 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 设 k s ，k s1 ，k 2 ，k 1 中第一个不为0的是 k i (即 k i 0，而 k i+1 =k s1 =k s =0)，且必有 i1(若 i=1即 k 1 0，k 2 =k s =0，那么 k 1 1 =0于是 1 =0与 1 0 矛盾)，从而 k 1 1 +k 2 2 +k i i =0， k i 0那么 i = )解析：28.已知 A是
30、 mn矩阵，B 是 np矩阵，如 AB=C，且 r(C)=m，证明 A的行向量线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(用秩) 因为 AB=C，所以 r(AB)r(A)，即 r(A)r(C)=m又 A是 mn矩阵，r(A)m，从而 r(A)=m因为 r(A)=A的行秩，所以 A的行向量组线性无关)解析：29.设 A是 mn矩阵，B 是 ns矩阵，C 是 ms矩阵，满足 AB=C，如果秩 r(A)=n，证明秩 r(B)=r(C)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对齐次方程组()ABx=0， ()Bx=0， 如 是()的解，有 B=0，那么AB=0，于是 是()的解 如 是()的
31、解，有 AB=0，因为 A是 mn矩阵，秩 r(A)=n，所以Ax=0只有零解，从而 B=0于是 是()的解 因此方程组()与()同解那么 sr(AB)=sr(B)，即 r(AB)=r(B) 所以 r(B)=r(C)解析：30.用 Schmidt正交化方法将下列向量组规范正交化： 1 =(1，1，1) T ， 2 =(一 1，0，一 1) T ， 3 =(一 1，2，3) T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先正交化： 再单位化： )解析：31.设 A是 n阶反对称矩阵，x 是 n维列向量，如 Ax=y，证明 x与 y正交（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A T =A，
32、Ax=y，所以(x，y)=x T y=x T Ax 又(y，x)=y T x=(Ax) T x=x T Ax，因此 x T Ax=x T Ax 故 x T Ax=0 所以(x，y)=0)解析：32.设 W=(x 1 ，x 2 ，x n )x 1 一 2x 2 +x 3 =0，求向量空间 W的维数及一组规范正交基（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n 元齐次方程 x 1 一 2x 2 +x 3 =0的基础解系： 1 =(2，1，0，0) T ， 2 =(一 1，0，1，0) T ， 3 =(0，0，0，1，0) T ， n1 = (0，0，0，1) T ， 1 = 1 ， 2 = 2 一 (一 1，2，5，0，0) T 单位化，得 1 = )解析：
