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[考研类试卷]考研数学一(多元函数积分学中的基本公式及其应用)模拟试卷1及答案与解析.doc

1、考研数学一(多元函数积分学中的基本公式及其应用)模拟试卷 1 及答案与解析一、填空题1 设 L 是区域 D:x 2+y22x 的正向边界,则 I=L(x3y)dx+(xy 3)dy=_2 设 L 是平面上从圆周 x2+y2=a2 上 一点到圆周 x2+y2=b2 上 一点的一条光滑曲线(a 0,b0),r= 则 I=Lr3(xdx+ydy)=_3 设 r= ,常数 使得曲线积分 dy=0 对上半平面的任何光滑闭曲线 L 成立,则 =_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 设 r=(x,y ,z),r=r, r0 时 f(r)有连续的导数,求下列各量:()rotf(r)r;()d

2、iv gradf(r)(r0 时 f(r)有二阶连续导数) 5 求 I= dy,其中 C+是以 A(1,1),B(2,2)和 E(1,3)为顶点的三角形的正向边界线6 设曲线 L:x 2+y2+x+y=0,取逆时针方向,证明:I= Lysinx 2dx+xcosy2dy7 设 (y)有连续导数,L 为半圆周: (yx),从点 O(0,0)到点 A(,)方向,求曲线积分 I=L(y)cosxydx+(y)sinx1dy8 求 I= dy,其中 L 是以原点为圆心,R 为半径的圆周,取逆时针方向,R19 求曲面积分 I= x2dydz+y2dzdx+z2dxdy,其中 S 是长方体:0xa,0yb

3、,0zC 的表面外侧10 求 I= ,其中为上半球 z=的上侧,a 0 为常数11 求曲线积分 I=L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz,其中 L 是球面 x2+y2+z2=2bx 与柱面 x2+y2=2ax(ba 0)的交线(zO)L 的方向规定为沿 L 的方向运动时,从 z 轴正向往下看,曲线 L 所围球面部分总在左边(如图 109)12 设 D0 是单连通区域,点 M0D0,D=D 0M 0(即 D 是单连通区域 D0 除去一个点 M0),若 p(x,y) ,Q(x ,y) 在 D 有连续的一阶偏导数且 (x,y)D) ,问:() LPdx+Qdy 是否一定在 D

4、 上与路径无关;()若又存在一条环绕 M0 的分段光滑闭曲线 C0 使得 C0Pdx+Qdy=0, LPdx+Qdy)是否一定在 D 上与路径无关13 判断下列曲线积分在指定区域上是否与路径无关:() ,区域D:y0;() ,区域 D:x 2+y2 014 设(P(x,y),Q(x ,y)= ,n 为常数,问 LPdx+Qdy 在区域 D=(x,y)(x,y)R 2,(x,y)(0 ,0) 是否与路径无关15 设 Pdx+Qdy= dy,求 u(x,y),使 du=Pdx+Qdy16 设 f(s)在(,+)内有连续的导数,计算其中 L 为从点 a(3, )到 B(1,2)的直线段17 计算曲线

5、积分 I= ,其中 L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(R1),取逆时针方向18 求曲面积分 I= xz2dydzsinxdxdy,其中 S 为曲线 (1z2)绕 z 轴旋转而成的旋转面,其法向量与 z 轴正向的夹角为锐角19 求 I= ,其中 S 是椭球面 =1,取外侧20 求曲线积分 I=L2yzdx+(2zz 2)dy+(y2+2xy+3y)dz,其中 L 为闭曲线从原点向 L 看去,L 沿顺时针方向21 下面连续可微的向量函数P(x,y),Q(x,y)在指定的区域 D 上是否有原函数u(x,y)(du=Pdx+Qdy 或 gradu=P,Q)若有,求出原函数 P,Q=,D=(

6、x,y)yx 22 选择常数 取的值,使得向量 A(x,y)=2xy(x 4+y2)ix 2(x4+y2)j 在如下区域 D为某二元函数 u(x,y) 的梯度: ()D=(x ,y)y 0,并确定函数 u(x,y)的表达式: ( )D=(x,y)x 2+y2023 计算曲线积分 I= dy,其中 L 是从点 A(a,0)经上半椭圆=1(y0)到点 B(a,0)的弧段24 设 Q(x,y)在 Dxy 平面有一阶连续偏导数,积分 L2xydx+Q(x,y)dy 与路径无关 t 恒有 2xydx+Q(x,y)dy, (*)求 Q(x,y)25 设曲线积分 L2x(y)+(y)dx+x2(y)+2xy

7、22x(y)dy=0,其中 L 为任意一条平面分段光滑闭曲线,(y),(y)是连续可微的函数()若 (0)=2,(0)=1,试确定函数 (y)与 (y);()计算沿 L 从点 O(0,0)到 M(, )的曲线积分26 设有数量函数 u(x,y,z) 及向量函数 F(x,y,z)=P(x,y,z),Q(x ,y,z),R(x,y,z),其中 P,Q,R,u 在 上有连续的二阶偏导数,证明:()divgradu= =u;( )div(rotF)=0;()rot(gradu)=027 设 S 是上半空间 z0 中任意光滑闭曲面,S 围成区域 ,函数 u=w()(=在上半空间有连续的二阶偏导数,满足求

8、 w()28 设平面上有界闭区域 D 由光滑曲线 C 围成,C 取正向(如图 1018) ()P(x,y),Q(x,y) 在 D 有连续的一阶偏导数,证明格林公式的另一种形式: dxdy=C(Pcos+Qcos)ds,其中 n=(cos,cos)是 C 的单位外法向量()设 u(x,y),v(x ,y)在 D 有连续的二阶偏导数,求证:(107)()设 u(x,y)在 D 有连续的二阶偏导数且满足 求证:u(x,y)=0(x,y)D)29 I=Ly22xysin(x 2)dx+cos(x2)dy,其中 L 为椭圆 =1 的右半部分,从A(0, b)到 B(0,b)30 I= ,其中 A(0,1

9、),B(1,0), 为单位圆在第四象限部分31 I= ,其中 是沿椭圆 =1 正向从 A(a,0)到(0,b)的一段弧,a1 32 I= dy,其中 L 是椭圆周 =1取逆时针方向33 I=L(exsinymyy)dx+(e xcosymx)dy,其中 L: t 从 0 到,a 034 I= dzdx,其中 为由曲面 y=x2+z2 与平面 y=1,y=2 所围立体表面的外侧35 I= (z+1)dxdy+xydzdx,其中 1 为圆柱面 x2+y2=a2 上 x0,0z1 部分,法向量与 x 轴正向成锐角, 2 为 Oxy 平面上半圆域 x2+y2a2,x0 部分,法向量与 z 轴正向相反3

10、6 I= (x2y 2)dydz+(y2 z2)dzdx+(z2x 2)dxdy,S 是 =1(z0)的上侧37 I=Lyzdx+3zxdyxydz,其中 L 是曲线 且顺着 x 轴的正向看是沿逆时针方向38 I=(x2yz)dx+(y 2xz)dy+(z 2xy)dz,其中 是沿螺线 x=acos,y=asin,z=,从 A(a,0,0)到 B(a,0,h)的有向曲线39 判断下列曲线积分在指定区域 D 是否与路径无关,为什么 ?() Lf(x2+y2)(xdx+ydy),其中 f(u)为连续函数,D:全平面() ,D=(x,y)全平面除去x0,y=040 设 (x)在(0,+)有连续导数,

11、()=1试确定 (x),使积分 I=dx+(x)dy 在 x0 与路径无关,并求当 A,B 分别为(1,1),(,)时的积分值41 求 Pdx+Qdy 在指定区域 D 上的原函数,其中P,Q=,D=(x,y)x042 选择 a,b ,使 Pdx+Qdy 在区域 D=(x,y)x 2+y20内为某函数 u(x,y)的全微分,其中 P= (x2+2xy+by2)43 已知 E= ,其中 r=x,y,z,r= r,q 为常数,求 divE 与 rotE考研数学一(多元函数积分学中的基本公式及其应用)模拟试卷 1 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 2【试题解析】 把线积分表成 LPdx+Qdy,则

12、 =1 一(一 1)=2,D 是圆域:(x+1)2+y21,于是由格林公式 I= 2dxdy=2【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用2 【正确答案】 【试题解析】 r 3(xdx+ydy)= I=(b5 一 a5)【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用3 【正确答案】 1【试题解析】 把线积分表成 LPdx+Qdy=0 ,(上半平面是单连通区域),即 一 2r2 一 x2=r 2+y2 r 2=r2= 1【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 ()()直接由梯度与散度的计算公式得【知识模块】 多元

13、函数积分学中的基本公式及其应用5 【正确答案】 记 I= Pdx+Qdy,则 记 D为三角形区域 ABE,则直接由格林公式得 用先 y后 x 的积分顺序,D=(x ,y)J 1x2,xy x+4,则【试题解析】 直接用格林公式 求左端的曲线积分转化为求右端的二重积分,若这个二重积分容易计算则达目的D 是闭曲线 C 所围成的区域(见图 104) 【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用6 【正确答案】 L 是圆周: 它围成区域 D用格林公式其中 D 关于直线y=x 对称 cosx2d【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用7 【正确答案】 若要用格林公式求非闭曲线 L 上的线积分

14、 LPdx+Qdy 时,先要添加定向辅助线 L1 使 LL1 构成闭曲线,所围区域为 D,若是正向边界,则dxdy若是负向边界,则求 LPdx+Qdy 转化为求 L1 上的线积分和一个二重积分,如果它们都容易计算的话,则达目的 如图 105 所示,L 是非闭曲线,再加直线段 ,使它们构成沿顺时针方向的闭曲线,并把它们围成的区域记为 DL 与 构成 D 的负向边界记 P(x,y)=(y)cosx y,Q(x,y)=(y)sinx1,则 又因此,在 D 上用格林公式得 于是【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用8 【正确答案】 令 P= ,易计算得若R1(见图 106),在 L 所围的有

15、界闭区域 D 上,P ,Q 有连续的一阶偏导数且,则 I=LPdx+Qdy= dxdy=0 若 R1(见图 107),在 L 所围的有界闭区域 D 内含点(1,0),P,Q 在此点无定义,不能在 D 上用格林公式若以(1,0)为圆心,0 充分小为半径作圆周 C(x+1)2+y2=2),使得 C 在 L 所围的圆内在 L 与 C 所围的区域 D 上利用格林公式得其中 L 与 C 均是逆时针方向因此【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用9 【正确答案】 直接用高斯公式I= (x+y+z)dxdydz化三重积分为累次积分:记长方体分别在 yz 平面, zx 平面与 xy 平面上的投影区域为

16、 Dyz,D zx,D xy,则【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用10 【正确答案】 添加一块有向曲面 S:z=0 (x2+y2a2),法向量朝下,S 与所围区域为 (见图 108),则由高斯公式得(这里 边界取外法向,S 在xy 平面上投影区域 D:x 2+y2a2=0,S 与 yz 平面,zx 平面均垂直,Qdzdx=0)因所以 I= a4【试题解析】 首先(x,y,z) ,x 2+y2+z2=a2,被积函数简化为于是 I= Pdydz+Qdzdx+Rdxdy直接化第二类曲面积分为二重积分,再化为定积分的公式稍微复杂些这里 相对于半球域来说较简单,若用高斯公式求曲面积分,则较

17、为简单因为不是封闭曲面,所以要添加辅助曲面【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用11 【正确答案】 若写出 L 的参数方程直接计算比较复杂,可考虑用斯托克斯公式来计算记 L 所围的球面部分为 ,按 L 的方向与右手法则,取的法向量朝上,先利用曲线方程简化被积函数,然后用斯托克斯公式,得 I=L(2bxx 2)dx+(2bxy 2)dy+2axdz 注意,关于 zx 平面对称,被积函数 1 对 y 为偶函数,于是 dzdx=0记 在 xy 平面的投影区域为 Dxy:(xa)2+y2a2因此 I=2b dxdy=2ba2【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用12 【正确答案】

18、() 这里 D 不是单连通区域,所以不能肯定积分 LPdX+Qdy 在 D上与路径无关例如:积分 ,由于 P(x,y)=则即在全平面除原点外 P(x,y),Q(x,y) 均有连续的一阶偏导数,且 但若取 L 为 C+即逆时针方向的以原点为圆心的单位圆周,则 sin(cos)+cos(sin)d=20,因此,该积分不是与路径无关()能肯定积分在 D 上与路径无关按挖去奇点的思路,我们作以 M0 为心, 0 为半径的圆周 C,使 C 在C0 所围区域内C 和 C 所围区域记为 D(见图 1010)在 D 上用格林公式得其中 C0,C 均是逆时针方向所以 因此,0 充分小,只要C 在 C0 所围区域

19、内,均有 Pdx+Qdy=0 现在我们可证:对 D 内任意分段光滑闭曲线 C,均有 CPdx+Qdy=o 若 C 不包围 M0,在 C 所围的区域上用格林公式,立即可得式成立若 C 包围 M0 点,则可作以 M0 为心, 0 为半径的小圆周 C,使得 C 在 C 所围区域内且 成立在 C 与 C 所围的区域上用格林公式同理可证 CPdx+Qdy= Pdx+Qdy=0【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用13 【正确答案】 () 这是单连通区域,只需验证 是否成立依题设有又则该积分在 D 上与路径无关() 这里 D:R 2(0,0)是非单连通区域,由 (x,y)(0,0)得不出积分与路

20、径无关但可以计算xdx+ydy=0 (在 x2+y21 上用格林公式)【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用14 【正确答案】 先验证 是否成立因此,当 n1 时积分不是与路径无关当 n=1 时虽有 (x,y) D),但 D 不是单连通区域,还需进一步讨论取 C 为以(0,0)为心的单位圆周,逆时针方向,则所以积分也不是与路径无关【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用15 【正确答案】 不定积分法由 ,对 y 积分,得 u= +C(x) (注意代替积分常数是 x 的任意函数 C(x)由,进而 C(x)= +C因此,原函数 u(x,y)= +C【知识模块】 多元函数积分学中的

21、基本公式及其应用16 【正确答案】 先验算积分是否与路径无关若是,便可选择适当的积分路径,使积分化简令 P(x,y)= y2f(xy)1,易验证:这是单连通区域,故积分与路径无关,可以选择从 A 到 B 的任何一条位于戈轴上方的曲线作为积分路径为了简化计算,我们选择积分路径为折线 ACB,其中 C(1, ),见图 1012注意到, :y= ,x 从 3 到 1,dy=0; x=1,y 从23 到 2,dx=0则【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用17 【正确答案】 设 R1,则 I=LPdx+Qdy= dxdy=0设 R1,取0 充分小使椭圆 C(取逆时针方向 )4x2+y2=2

22、含于 L 所围区域 D 内,记 L 与 C围成区域为 D,在 D 上用格林公式得【试题解析】 记 P= ,当 x2+y20 时,记 L 围成的区域为 D,若 D 不含原点(R1),则可在 D 上用格林公式若 D 含原点(R1),则不能在 D 上用格林公式,要在 D 内挖去含原点的某区域后再用格林公式(见图 1013)【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用18 【正确答案】 在 SS1S2 围成的区域 上应用高斯公式,因边界取内法向,故其中 为z2+1=x2+y2 与 z=1,z=2 所围,圆 D(z)的半径为 又xz2dydzsinxdxdy= sinxdxdy= sinxdxdy=

23、0(i=1 时公式取“-”,i=2 时公式取“+”),其中 Si 与 yz 平面垂直(i=1,2),D i 为 Si 在 xy 平面上的投影区域分别是圆域 x2+y25, x2+y22因此 I=【试题解析】 首先求出曲面 S 的方程:x 2+y2=1+z2(1z2),法向量朝上记P=xz2,Q=O,R=sinx,则 =z2 较简单,但 S 不是封闭曲面,为了用高斯公式,添加辅助面 S1:z=2(x 2+y25),法向量朝下;S 2:z=1(x 2+y22),法向量朝上在 SS1S2 围成的区域 上可用高斯公式来计算【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用19 【正确答案】 作以原点为心

24、,0 为半径的小球面 S,0 充分小使 S 位于S 所围的椭球内记 S 与 S 所围的区域为 ,S 取 的内法向(即小球的外法向),见示意图 1014(用平面图示意立体图),在 上用高斯公式得Pdydz+Qdzdx+Rdxdy由于在 上,P,Q,R 有连续的一阶偏导数且 =0,于是【试题解析】 直接计算较复杂,若把积分记为 I= Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,容易验证 因此想到应用高斯公式若椭球面S 围成的区域记为 ,它含原点 (0,0,0) ,而 P, Q,R 在(0,0,0) 无定义,因而不能在 上直接应用高斯公式如果我们作以原点为心的小球面 S位于 内,在S 与 S所围的区域 上就

25、可用高斯公式,把求 S 上的曲面积分转化为 S上的曲面积分【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用20 【正确答案】 用斯托克斯公式平面 x+y+z= 上 L 围成的平面区域记为,按右手法则,法向量 n 朝上且 n= (1,1,1)=(cos,cos,cos),于是其中 是的面积这里把坐标轴的名称互换,的方程不变,于是L 是平面(x+y+z= )与球面(x2+y2+z2=1)的交线,它是圆周现求它的半径 r,原点 O 到平面 x+y+z=因此 I= 【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用21 【正确答案】 先验算 在 D 上是否恒成立则,(x,y) D因 D 是单连通区域,则

26、存在原函数现用求不定积分的方法求原函数:由 (恒等变形,便于积分)对 x 积分,得 则所以 C(y)=0, C(y)=C因此,原函数 u(x,y)= +C【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用22 【正确答案】 记 A=P(x,y)i+Q(x,y)j,先由(P,Q)为某二元函数 u 的梯度(即du=Pdx+Qdy)的必要条件 定出参数 =2x(x4+y2)+4xy2(x4+y2)1 , =2x(x 4+y2)4x 5(x4+y2)1 4x(x4+y2)+4x(x4+y2)=0(=1()由于 D=(x,y)y0是单连通,=1 是存在 u(x,y)使 du=Pdx+Qdy 的充要条件,因

27、此仅当 =1 时存在 u(x,y)使(P ,Q) 为 u 的梯度现求 u(x,y) ,使得 du(x,y)= dy凑微分法(*)则 u(x,y)=arctan +C()D=(x , y)x 2+y20是非单连通区域, (x,y) D)不足以保证 Pdx+Qdy 存在原函数我们再取环绕(0,0)的闭曲线 C:x 4+y2=1,逆时针方向,求出其中D0 是 C 围成的区域,它关于 y 轴对称于是 LPdx+Qdy 在 D 与路径无关,即Pdx+Qdy,在 D 存在原函数因此,仅当 =1 时 A(x,y)=(P,Q) 在 D 为某二元函数 u(x,y)的梯度【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及

28、其应用23 【正确答案】 设 C 是从点 A(a,0)经上半圆 x2+y2=a2(y0)到点 B(a,0)的弧段(图 10 15)因在上半平面(含 x 轴但不含原点) 积分与路径无关,于是得对右端的线积分,可直接用 C的参数方程 x=acost , y=asint (t0),来计算:I= (costsint)( sint)+(cost+sint)costdt=【试题解析】 记 ,易算 在上半平面(含 x 轴但不含原点为单连通区域)曲线积分与路径无关,因此求沿椭圆的曲线积分可以转化为求沿半圆周的曲线积分【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用24 【正确答案】 首先由单连通区域上曲线与路

29、径无关的充要条件得 (2xy)=2x对 x 积分得 Q(x,y)=x 2+(y),下面由(*) 定出 (y),为此就要求(*)中的曲线积分,得到 (y)满足的关系式,再求 (y)通过求原函数计算积分:2xydx+x2+(y)dy=dx2y+ (s)ds由(*)式,得x 2y+即 t2+ 求导得 2t=1+(t) ( t),即 (t)=2t1,易验证它满足上式因此 Q(x ,y)=z 2+(y)=x2+2y1【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用25 【正确答案】 () 由假设条件,该曲线积分与路径无关,将曲线积分记为LPdx+Qdy,由单连通区域上曲线积分与路径无关的充要条件知,(y

30、),(y)满足,即 2xt(y)+(y)=2x(y)+2y22(y) 由此得 x(y)(y)=y 2(y)(y) 由于 x,y 是独立变量,若令 x=0,则 y2(y)(y)=0将之代回上式又得 (y)(y)=0 因此,(y),(y)满足 将第一个方程 (y)=(y)代入第二个方程得 (y)+(y)=y2这是二阶线性常系数非齐次方程,它的通解是 (y)=c1cosy+c2siny+y22由条件 (0)=2, (0)=(0)=1,得 c1=0,c 2=1,于是求得 (y)=siny+y22,(y)=(y)=cosy+2y ()求 u 使得 du=Pdx+Qdy把, 的关系式代入并整理得 Pdx+

31、Qdy=(y)dx2+x2d(y)+(y)d(2x)+2xy2(y)dy=dx2(y)+(y)d(2x)+2xd(y)=dx2(y)+2x(y)因此【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用26 【正确答案】 由梯度,散度及旋度的计算公式得到:()()()【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用27 【正确答案】 即求 u()由高斯公式得由 的任意性得=0 (z0) (*)注意 u 只依赖于 =表示由复合函数求导法得同理于是,(*)化成这是可降价的二阶线性方程,两边乘 2 得 =2e积分得 再积分得 其中C1,C 2 为任意常数因此 w=【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及

32、其应用28 【正确答案】 () 将格林公式 dxdy=CPdx+Qdy 中 Q 换成 P,P 换成Q,得 dxdy=CPdyQdx由第一、二类曲线积分的关系得CPdyQdx= CPcosT,jQcos T,jds,其中 T 是 C 的单位切向量且沿C 的方向注意T,j=n,i, T,i=n,j 于是 CPdyQdx= CPcos+Qcosds=C(Pcos+Qcos)ds因此证得结论()由方向导数计算公式得 再由格林公式的另一种形式(即题()的结论)得 再移项即得证()因 u(x, y) C=0,要证 u(x,y)0(x ,y) D),只需证 =0(x,y)D)在(107)式中取 v(x,y)

33、=u(x,y),得【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用29 【正确答案】 I= Ly2dx+Lydcos(x2)+cos(x2)dy ,如图 101,则【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用30 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用31 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用32 【正确答案】 将 I 表成 I=LPdx+Qdy,则不能在 L 围成的区域上用格林公式,取圆周(如图 104) C:x 2+y2=2 (0 充分小),逆时针方向,在 L与 C 围成的区域 D 上可用格林公式得【知识模块】 多元函数积分学中的基本公

34、式及其应用33 【正确答案】 将积分 I 分解成 I=I1+I2,其中 I1=Lsinydex+exd(siny)m(ydx+xdy),I2=LydxI 1 易通过求原函数而求得, I2 容易直接计算:因此 I=I1+I2=easin2a 一 2ma2 一 a2【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用34 【正确答案】 围成区域 ,直接用高斯公式得 I= dV作柱坐标变换 D(y): 0r ,02 ,【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用35 【正确答案】 12 不封闭,添加辅助面后用高斯公式 3:z=1,x 2+y2a2, x0,法向量朝上 4:x=0,一 aya,0z1,

35、法向量与 x 轴正向相反 4 垂直 xy 平面与 zx 平面 (z+1)dxdy+xydzdx=0 3 垂直 zx平面 1, 2, 3, 4 围成区域 ,用高斯公式【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用36 【正确答案】 用高斯公式来计算曲面不封闭,添加辅助面S 1:z=0,1,取下侧S 与 S1 围成 () 记 I1= Pdydx+Qdzdx+Rdxdy,因为 S1 与yz 平面及 zx 平面垂直,且 S1 上 z=0,所以()在 上用高斯公式注意 关于 yz 平面与 zx 平面对称,()I=ab(2c2 一 a2)【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用37 【正确答案】

36、 用斯托克斯公式把平面 3yz+1=0 被柱面 x2+y2=4 所截邵分记为其边界为 L,按右手法则, 曲上侧,单位法向量 n= 由斯托克斯公式有=2.cos.的面积=2.2 2=8,其中在 xy 平面的投影区域是圆域:x 2+(y 一 2)222【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用38 【正确答案】 把积分表成 I=Pdx+Qdy+Rdz考察 F=(P,Q ,R)的旋度若 是闭曲线,以 为边界的曲面S,定向按右手法则,由斯托克斯公式 Pdx+Qdy+Rdz= rotF.nds=0这里 不封闭,添加辅助线 ,构成了封闭曲线,于是【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用39

37、【正确答案】 ()f(x 2+y2)(xdx+ydy)=f(x2+y2)d (x2+y2)即被积表达式 f(x2+y2)(xdx+ydy) 原函数,因此该线积分在全平面与路径无关()如图 109,L= LPdx+Qdy,则 ,(x,y)DD 为单连通区域,因此积分在 D 与路径无关【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用40 【正确答案】 记 I= Pdx+Qdy,在单连通区域 D:x0 上该积分与路径无关两边乘 (x)=x(x)=cosx+C 由 ()=1 得 C= 一 1因此(x)= 下求积分值 I注意 =(x),代入得【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用41 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用42 【正确答案】 先确定 a,b,使 ,(x,y) D因 D 不是单连通的, 在 D 成立不足以保证 Pdx+Qdy 原函数进一步讨论是否可直接求出原函数取特殊路径如图 1011 及(第二个积分中 x 为常量),将代入得

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