1、考研数学一（多元函数积分学中的基本公式及其应用）模拟试卷 1 及答案与解析一、填空题1 设 L 是区域 D：x 2+y22x 的正向边界，则 I=L(x3y)dx+(xy 3)dy=_2 设 L 是平面上从圆周 x2+y2=a2 上 一点到圆周 x2+y2=b2 上 一点的一条光滑曲线(a 0，b0)，r= 则 I=Lr3(xdx+ydy)=_3 设 r= ，常数 使得曲线积分 dy=0 对上半平面的任何光滑闭曲线 L 成立，则 =_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 设 r=(x，y ，z)，r=r， r0 时 f(r)有连续的导数，求下列各量：()rotf(r)r；()d
2、iv gradf(r)(r0 时 f(r)有二阶连续导数) 5 求 I= dy，其中 C+是以 A(1，1)，B(2，2)和 E(1，3)为顶点的三角形的正向边界线6 设曲线 L：x 2+y2+x+y=0，取逆时针方向，证明：I= Lysinx 2dx+xcosy2dy7 设 (y)有连续导数，L 为半圆周： (yx)，从点 O(0，0)到点 A(，)方向，求曲线积分 I=L(y)cosxydx+(y)sinx1dy8 求 I= dy，其中 L 是以原点为圆心，R 为半径的圆周，取逆时针方向，R19 求曲面积分 I= x2dydz+y2dzdx+z2dxdy，其中 S 是长方体：0xa，0yb
3、，0zC 的表面外侧10 求 I= ，其中为上半球 z=的上侧，a 0 为常数11 求曲线积分 I=L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz，其中 L 是球面 x2+y2+z2=2bx 与柱面 x2+y2=2ax(ba 0)的交线(zO)L 的方向规定为沿 L 的方向运动时，从 z 轴正向往下看，曲线 L 所围球面部分总在左边(如图 109)12 设 D0 是单连通区域，点 M0D0，D=D 0M 0(即 D 是单连通区域 D0 除去一个点 M0)，若 p(x，y) ，Q(x ，y) 在 D 有连续的一阶偏导数且 (x，y)D) ，问：() LPdx+Qdy 是否一定在 D
4、 上与路径无关；()若又存在一条环绕 M0 的分段光滑闭曲线 C0 使得 C0Pdx+Qdy=0， LPdx+Qdy)是否一定在 D 上与路径无关13 判断下列曲线积分在指定区域上是否与路径无关：() ，区域D：y0；() ，区域 D：x 2+y2 014 设(P(x，y)，Q(x ，y)= ，n 为常数，问 LPdx+Qdy 在区域 D=(x，y)(x，y)R 2，(x，y)(0 ，0) 是否与路径无关15 设 Pdx+Qdy= dy，求 u(x，y)，使 du=Pdx+Qdy16 设 f(s)在(，+)内有连续的导数，计算其中 L 为从点 a(3， )到 B(1，2)的直线段17 计算曲线
5、积分 I= ，其中 L 是以点(1，0)为中心，R 为半径的圆周(R1)，取逆时针方向18 求曲面积分 I= xz2dydzsinxdxdy，其中 S 为曲线 (1z2)绕 z 轴旋转而成的旋转面，其法向量与 z 轴正向的夹角为锐角19 求 I= ，其中 S 是椭球面 =1，取外侧20 求曲线积分 I=L2yzdx+(2zz 2)dy+(y2+2xy+3y)dz，其中 L 为闭曲线从原点向 L 看去，L 沿顺时针方向21 下面连续可微的向量函数P(x，y)，Q(x，y)在指定的区域 D 上是否有原函数u(x，y)(du=Pdx+Qdy 或 gradu=P，Q)若有，求出原函数 P，Q=，D=(
6、x，y)yx 22 选择常数 取的值，使得向量 A(x，y)=2xy(x 4+y2)ix 2(x4+y2)j 在如下区域 D为某二元函数 u(x，y) 的梯度： ()D=(x ，y)y 0，并确定函数 u(x，y)的表达式： ( )D=(x，y)x 2+y2023 计算曲线积分 I= dy，其中 L 是从点 A(a，0)经上半椭圆=1(y0)到点 B(a，0)的弧段24 设 Q(x，y)在 Dxy 平面有一阶连续偏导数，积分 L2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关 t 恒有 2xydx+Q(x，y)dy， (*)求 Q(x，y)25 设曲线积分 L2x(y)+(y)dx+x2(y)+2xy
7、22x(y)dy=0，其中 L 为任意一条平面分段光滑闭曲线，(y)，(y)是连续可微的函数()若 (0)=2，(0)=1，试确定函数 (y)与 (y)；()计算沿 L 从点 O(0，0)到 M(， )的曲线积分26 设有数量函数 u(x，y，z) 及向量函数 F(x，y，z)=P(x，y，z)，Q(x ，y，z)，R(x，y，z)，其中 P，Q，R，u 在 上有连续的二阶偏导数，证明：()divgradu= =u；( )div(rotF)=0；()rot(gradu)=027 设 S 是上半空间 z0 中任意光滑闭曲面，S 围成区域 ，函数 u=w()(=在上半空间有连续的二阶偏导数，满足求
8、 w()28 设平面上有界闭区域 D 由光滑曲线 C 围成，C 取正向(如图 1018) ()P(x，y)，Q(x，y) 在 D 有连续的一阶偏导数，证明格林公式的另一种形式： dxdy=C(Pcos+Qcos)ds，其中 n=(cos，cos)是 C 的单位外法向量()设 u(x，y)，v(x ，y)在 D 有连续的二阶偏导数，求证：(107)()设 u(x，y)在 D 有连续的二阶偏导数且满足 求证：u(x，y)=0(x，y)D)29 I=Ly22xysin(x 2)dx+cos(x2)dy，其中 L 为椭圆 =1 的右半部分，从A(0， b)到 B(0，b)30 I= ，其中 A(0，1
9、)，B(1，0)， 为单位圆在第四象限部分31 I= ，其中 是沿椭圆 =1 正向从 A(a，0)到(0，b)的一段弧，a1 32 I= dy，其中 L 是椭圆周 =1取逆时针方向33 I=L(exsinymyy)dx+(e xcosymx)dy，其中 L： t 从 0 到，a 034 I= dzdx，其中 为由曲面 y=x2+z2 与平面 y=1，y=2 所围立体表面的外侧35 I= (z+1)dxdy+xydzdx，其中 1 为圆柱面 x2+y2=a2 上 x0，0z1 部分，法向量与 x 轴正向成锐角， 2 为 Oxy 平面上半圆域 x2+y2a2，x0 部分，法向量与 z 轴正向相反3
10、6 I= (x2y 2)dydz+(y2 z2)dzdx+(z2x 2)dxdy，S 是 =1(z0)的上侧37 I=Lyzdx+3zxdyxydz，其中 L 是曲线 且顺着 x 轴的正向看是沿逆时针方向38 I=(x2yz)dx+(y 2xz)dy+(z 2xy)dz，其中 是沿螺线 x=acos，y=asin，z=，从 A(a，0，0)到 B(a，0，h)的有向曲线39 判断下列曲线积分在指定区域 D 是否与路径无关，为什么 ?() Lf(x2+y2)(xdx+ydy)，其中 f(u)为连续函数，D：全平面() ，D=(x，y)全平面除去x0，y=040 设 (x)在(0，+)有连续导数，
11、()=1试确定 (x)，使积分 I=dx+(x)dy 在 x0 与路径无关，并求当 A，B 分别为(1，1)，(，)时的积分值41 求 Pdx+Qdy 在指定区域 D 上的原函数，其中P，Q=，D=(x，y)x042 选择 a，b ，使 Pdx+Qdy 在区域 D=(x，y)x 2+y20内为某函数 u(x，y)的全微分，其中 P= (x2+2xy+by2)43 已知 E= ，其中 r=x，y，z，r= r，q 为常数，求 divE 与 rotE考研数学一（多元函数积分学中的基本公式及其应用）模拟试卷 1 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 2【试题解析】 把线积分表成 LPdx+Qdy，则
12、 =1 一(一 1)=2，D 是圆域：(x+1)2+y21，于是由格林公式 I= 2dxdy=2【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用2 【正确答案】 【试题解析】 r 3(xdx+ydy)= I=(b5 一 a5)【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用3 【正确答案】 1【试题解析】 把线积分表成 LPdx+Qdy=0 ，(上半平面是单连通区域)，即 一 2r2 一 x2=r 2+y2 r 2=r2= 1【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 ()()直接由梯度与散度的计算公式得【知识模块】 多元
13、函数积分学中的基本公式及其应用5 【正确答案】 记 I= Pdx+Qdy，则 记 D为三角形区域 ABE，则直接由格林公式得 用先 y后 x 的积分顺序，D=(x ，y)J 1x2，xy x+4，则【试题解析】 直接用格林公式 求左端的曲线积分转化为求右端的二重积分，若这个二重积分容易计算则达目的D 是闭曲线 C 所围成的区域(见图 104) 【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用6 【正确答案】 L 是圆周： 它围成区域 D用格林公式其中 D 关于直线y=x 对称 cosx2d【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用7 【正确答案】 若要用格林公式求非闭曲线 L 上的线积分
14、 LPdx+Qdy 时，先要添加定向辅助线 L1 使 LL1 构成闭曲线，所围区域为 D，若是正向边界，则dxdy若是负向边界，则求 LPdx+Qdy 转化为求 L1 上的线积分和一个二重积分，如果它们都容易计算的话，则达目的 如图 105 所示，L 是非闭曲线，再加直线段 ，使它们构成沿顺时针方向的闭曲线，并把它们围成的区域记为 DL 与 构成 D 的负向边界记 P(x，y)=(y)cosx y，Q(x，y)=(y)sinx1，则 又因此，在 D 上用格林公式得 于是【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用8 【正确答案】 令 P= ，易计算得若R1(见图 106)，在 L 所围的有
15、界闭区域 D 上，P ，Q 有连续的一阶偏导数且，则 I=LPdx+Qdy= dxdy=0 若 R1(见图 107)，在 L 所围的有界闭区域 D 内含点(1，0)，P，Q 在此点无定义，不能在 D 上用格林公式若以(1，0)为圆心，0 充分小为半径作圆周 C(x+1)2+y2=2)，使得 C 在 L 所围的圆内在 L 与 C 所围的区域 D 上利用格林公式得其中 L 与 C 均是逆时针方向因此【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用9 【正确答案】 直接用高斯公式I= (x+y+z)dxdydz化三重积分为累次积分：记长方体分别在 yz 平面， zx 平面与 xy 平面上的投影区域为
16、 Dyz，D zx，D xy，则【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用10 【正确答案】 添加一块有向曲面 S：z=0 (x2+y2a2)，法向量朝下，S 与所围区域为 (见图 108)，则由高斯公式得(这里 边界取外法向，S 在xy 平面上投影区域 D：x 2+y2a2=0，S 与 yz 平面，zx 平面均垂直，Qdzdx=0)因所以 I= a4【试题解析】 首先(x，y，z) ，x 2+y2+z2=a2，被积函数简化为于是 I= Pdydz+Qdzdx+Rdxdy直接化第二类曲面积分为二重积分，再化为定积分的公式稍微复杂些这里 相对于半球域来说较简单，若用高斯公式求曲面积分，则较
17、为简单因为不是封闭曲面，所以要添加辅助曲面【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用11 【正确答案】 若写出 L 的参数方程直接计算比较复杂，可考虑用斯托克斯公式来计算记 L 所围的球面部分为 ，按 L 的方向与右手法则，取的法向量朝上，先利用曲线方程简化被积函数，然后用斯托克斯公式，得 I=L(2bxx 2)dx+(2bxy 2)dy+2axdz 注意，关于 zx 平面对称，被积函数 1 对 y 为偶函数，于是 dzdx=0记 在 xy 平面的投影区域为 Dxy：(xa)2+y2a2因此 I=2b dxdy=2ba2【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用12 【正确答案】
18、() 这里 D 不是单连通区域，所以不能肯定积分 LPdX+Qdy 在 D上与路径无关例如：积分 ，由于 P(x，y)=则即在全平面除原点外 P(x，y)，Q(x，y) 均有连续的一阶偏导数，且 但若取 L 为 C+即逆时针方向的以原点为圆心的单位圆周，则 sin(cos)+cos(sin)d=20，因此，该积分不是与路径无关()能肯定积分在 D 上与路径无关按挖去奇点的思路，我们作以 M0 为心， 0 为半径的圆周 C，使 C 在C0 所围区域内C 和 C 所围区域记为 D(见图 1010)在 D 上用格林公式得其中 C0，C 均是逆时针方向所以 因此，0 充分小，只要C 在 C0 所围区域
19、内，均有 Pdx+Qdy=0 现在我们可证：对 D 内任意分段光滑闭曲线 C，均有 CPdx+Qdy=o 若 C 不包围 M0，在 C 所围的区域上用格林公式，立即可得式成立若 C 包围 M0 点，则可作以 M0 为心， 0 为半径的小圆周 C，使得 C 在 C 所围区域内且 成立在 C 与 C 所围的区域上用格林公式同理可证 CPdx+Qdy= Pdx+Qdy=0【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用13 【正确答案】 () 这是单连通区域，只需验证 是否成立依题设有又则该积分在 D 上与路径无关() 这里 D：R 2(0，0)是非单连通区域，由 (x，y)(0，0)得不出积分与路
20、径无关但可以计算xdx+ydy=0 (在 x2+y21 上用格林公式)【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用14 【正确答案】 先验证 是否成立因此，当 n1 时积分不是与路径无关当 n=1 时虽有 (x，y) D)，但 D 不是单连通区域，还需进一步讨论取 C 为以(0，0)为心的单位圆周，逆时针方向，则所以积分也不是与路径无关【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用15 【正确答案】 不定积分法由 ，对 y 积分，得 u= +C(x) (注意代替积分常数是 x 的任意函数 C(x)由，进而 C(x)= +C因此，原函数 u(x，y)= +C【知识模块】 多元函数积分学中的
21、基本公式及其应用16 【正确答案】 先验算积分是否与路径无关若是，便可选择适当的积分路径，使积分化简令 P(x，y)= y2f(xy)1，易验证：这是单连通区域，故积分与路径无关，可以选择从 A 到 B 的任何一条位于戈轴上方的曲线作为积分路径为了简化计算，我们选择积分路径为折线 ACB，其中 C(1， )，见图 1012注意到， ：y= ，x 从 3 到 1，dy=0； x=1，y 从23 到 2，dx=0则【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用17 【正确答案】 设 R1，则 I=LPdx+Qdy= dxdy=0设 R1，取0 充分小使椭圆 C(取逆时针方向 )4x2+y2=2
22、含于 L 所围区域 D 内，记 L 与 C围成区域为 D，在 D 上用格林公式得【试题解析】 记 P= ，当 x2+y20 时，记 L 围成的区域为 D，若 D 不含原点(R1)，则可在 D 上用格林公式若 D 含原点(R1)，则不能在 D 上用格林公式，要在 D 内挖去含原点的某区域后再用格林公式(见图 1013)【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用18 【正确答案】 在 SS1S2 围成的区域 上应用高斯公式，因边界取内法向，故其中 为z2+1=x2+y2 与 z=1，z=2 所围，圆 D(z)的半径为 又xz2dydzsinxdxdy= sinxdxdy= sinxdxdy=
23、0(i=1 时公式取“-”，i=2 时公式取“+”)，其中 Si 与 yz 平面垂直(i=1，2)，D i 为 Si 在 xy 平面上的投影区域分别是圆域 x2+y25， x2+y22因此 I=【试题解析】 首先求出曲面 S 的方程：x 2+y2=1+z2(1z2)，法向量朝上记P=xz2，Q=O，R=sinx，则 =z2 较简单，但 S 不是封闭曲面，为了用高斯公式，添加辅助面 S1：z=2(x 2+y25)，法向量朝下；S 2：z=1(x 2+y22)，法向量朝上在 SS1S2 围成的区域 上可用高斯公式来计算【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用19 【正确答案】 作以原点为心
24、，0 为半径的小球面 S，0 充分小使 S 位于S 所围的椭球内记 S 与 S 所围的区域为 ，S 取 的内法向(即小球的外法向)，见示意图 1014(用平面图示意立体图)，在 上用高斯公式得Pdydz+Qdzdx+Rdxdy由于在 上，P，Q，R 有连续的一阶偏导数且 =0，于是【试题解析】 直接计算较复杂，若把积分记为 I= Pdydz+Qdzdx+Rdxdy，容易验证 因此想到应用高斯公式若椭球面S 围成的区域记为 ，它含原点 (0，0，0) ，而 P， Q，R 在(0，0，0) 无定义，因而不能在 上直接应用高斯公式如果我们作以原点为心的小球面 S位于 内，在S 与 S所围的区域 上就
25、可用高斯公式，把求 S 上的曲面积分转化为 S上的曲面积分【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用20 【正确答案】 用斯托克斯公式平面 x+y+z= 上 L 围成的平面区域记为，按右手法则，法向量 n 朝上且 n= (1，1，1)=(cos，cos，cos)，于是其中 是的面积这里把坐标轴的名称互换，的方程不变，于是L 是平面(x+y+z= )与球面(x2+y2+z2=1)的交线，它是圆周现求它的半径 r，原点 O 到平面 x+y+z=因此 I= 【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用21 【正确答案】 先验算 在 D 上是否恒成立则，(x，y) D因 D 是单连通区域，则
26、存在原函数现用求不定积分的方法求原函数：由 (恒等变形，便于积分)对 x 积分，得 则所以 C(y)=0， C(y)=C因此，原函数 u(x，y)= +C【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用22 【正确答案】 记 A=P(x，y)i+Q(x，y)j，先由(P，Q)为某二元函数 u 的梯度(即du=Pdx+Qdy)的必要条件 定出参数 =2x(x4+y2)+4xy2(x4+y2)1 ， =2x(x 4+y2)4x 5(x4+y2)1 4x(x4+y2)+4x(x4+y2)=0(=1()由于 D=(x，y)y0是单连通，=1 是存在 u(x，y)使 du=Pdx+Qdy 的充要条件，因
27、此仅当 =1 时存在 u(x，y)使(P ，Q) 为 u 的梯度现求 u(x，y) ，使得 du(x，y)= dy凑微分法(*)则 u(x，y)=arctan +C()D=(x ， y)x 2+y20是非单连通区域， (x，y) D)不足以保证 Pdx+Qdy 存在原函数我们再取环绕(0，0)的闭曲线 C：x 4+y2=1，逆时针方向，求出其中D0 是 C 围成的区域，它关于 y 轴对称于是 LPdx+Qdy 在 D 与路径无关，即Pdx+Qdy，在 D 存在原函数因此，仅当 =1 时 A(x，y)=(P，Q) 在 D 为某二元函数 u(x，y)的梯度【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及
28、其应用23 【正确答案】 设 C 是从点 A(a，0)经上半圆 x2+y2=a2(y0)到点 B(a，0)的弧段(图 10 15)因在上半平面(含 x 轴但不含原点) 积分与路径无关，于是得对右端的线积分，可直接用 C的参数方程 x=acost ， y=asint (t0)，来计算：I= (costsint)( sint)+(cost+sint)costdt=【试题解析】 记 ，易算 在上半平面(含 x 轴但不含原点为单连通区域)曲线积分与路径无关，因此求沿椭圆的曲线积分可以转化为求沿半圆周的曲线积分【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用24 【正确答案】 首先由单连通区域上曲线与路
29、径无关的充要条件得 (2xy)=2x对 x 积分得 Q(x，y)=x 2+(y)，下面由(*) 定出 (y)，为此就要求(*)中的曲线积分，得到 (y)满足的关系式，再求 (y)通过求原函数计算积分：2xydx+x2+(y)dy=dx2y+ (s)ds由(*)式，得x 2y+即 t2+ 求导得 2t=1+(t) ( t)，即 (t)=2t1，易验证它满足上式因此 Q(x ，y)=z 2+(y)=x2+2y1【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用25 【正确答案】 () 由假设条件，该曲线积分与路径无关，将曲线积分记为LPdx+Qdy，由单连通区域上曲线积分与路径无关的充要条件知，(y
30、)，(y)满足，即 2xt(y)+(y)=2x(y)+2y22(y) 由此得 x(y)(y)=y 2(y)(y) 由于 x，y 是独立变量，若令 x=0，则 y2(y)(y)=0将之代回上式又得 (y)(y)=0 因此，(y)，(y)满足 将第一个方程 (y)=(y)代入第二个方程得 (y)+(y)=y2这是二阶线性常系数非齐次方程，它的通解是 (y)=c1cosy+c2siny+y22由条件 (0)=2， (0)=(0)=1，得 c1=0，c 2=1，于是求得 (y)=siny+y22，(y)=(y)=cosy+2y ()求 u 使得 du=Pdx+Qdy把， 的关系式代入并整理得 Pdx+
31、Qdy=(y)dx2+x2d(y)+(y)d(2x)+2xy2(y)dy=dx2(y)+(y)d(2x)+2xd(y)=dx2(y)+2x(y)因此【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用26 【正确答案】 由梯度，散度及旋度的计算公式得到：()()()【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用27 【正确答案】 即求 u()由高斯公式得由 的任意性得=0 (z0) (*)注意 u 只依赖于 =表示由复合函数求导法得同理于是，(*)化成这是可降价的二阶线性方程，两边乘 2 得 =2e积分得 再积分得 其中C1，C 2 为任意常数因此 w=【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及
32、其应用28 【正确答案】 () 将格林公式 dxdy=CPdx+Qdy 中 Q 换成 P，P 换成Q，得 dxdy=CPdyQdx由第一、二类曲线积分的关系得CPdyQdx= CPcosT，jQcos T，jds，其中 T 是 C 的单位切向量且沿C 的方向注意T，j=n，i， T，i=n，j 于是 CPdyQdx= CPcos+Qcosds=C(Pcos+Qcos)ds因此证得结论()由方向导数计算公式得 再由格林公式的另一种形式(即题()的结论)得 再移项即得证()因 u(x， y) C=0，要证 u(x，y)0(x ，y) D)，只需证 =0(x，y)D)在(107)式中取 v(x，y)
33、=u(x，y)，得【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用29 【正确答案】 I= Ly2dx+Lydcos(x2)+cos(x2)dy ，如图 101，则【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用30 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用31 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用32 【正确答案】 将 I 表成 I=LPdx+Qdy，则不能在 L 围成的区域上用格林公式，取圆周(如图 104) C：x 2+y2=2 (0 充分小)，逆时针方向，在 L与 C 围成的区域 D 上可用格林公式得【知识模块】 多元函数积分学中的基本公
34、式及其应用33 【正确答案】 将积分 I 分解成 I=I1+I2，其中 I1=Lsinydex+exd(siny)m(ydx+xdy)，I2=LydxI 1 易通过求原函数而求得， I2 容易直接计算：因此 I=I1+I2=easin2a 一 2ma2 一 a2【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用34 【正确答案】 围成区域 ，直接用高斯公式得 I= dV作柱坐标变换 D(y)： 0r ，02 ，【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用35 【正确答案】 12 不封闭，添加辅助面后用高斯公式 3：z=1，x 2+y2a2， x0，法向量朝上 4：x=0，一 aya，0z1，
35、法向量与 x 轴正向相反 4 垂直 xy 平面与 zx 平面 (z+1)dxdy+xydzdx=0 3 垂直 zx平面 1， 2， 3， 4 围成区域 ，用高斯公式【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用36 【正确答案】 用高斯公式来计算曲面不封闭，添加辅助面S 1：z=0，1，取下侧S 与 S1 围成 () 记 I1= Pdydx+Qdzdx+Rdxdy，因为 S1 与yz 平面及 zx 平面垂直，且 S1 上 z=0，所以()在 上用高斯公式注意 关于 yz 平面与 zx 平面对称，()I=ab(2c2 一 a2)【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用37 【正确答案】
36、 用斯托克斯公式把平面 3yz+1=0 被柱面 x2+y2=4 所截邵分记为其边界为 L，按右手法则， 曲上侧，单位法向量 n= 由斯托克斯公式有=2.cos.的面积=2.2 2=8，其中在 xy 平面的投影区域是圆域：x 2+(y 一 2)222【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用38 【正确答案】 把积分表成 I=Pdx+Qdy+Rdz考察 F=(P，Q ，R)的旋度若 是闭曲线，以 为边界的曲面S，定向按右手法则，由斯托克斯公式 Pdx+Qdy+Rdz= rotF.nds=0这里 不封闭，添加辅助线 ，构成了封闭曲线，于是【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用39
37、【正确答案】 ()f(x 2+y2)(xdx+ydy)=f(x2+y2)d (x2+y2)即被积表达式 f(x2+y2)(xdx+ydy) 原函数，因此该线积分在全平面与路径无关()如图 109，L= LPdx+Qdy，则 ，(x，y)DD 为单连通区域，因此积分在 D 与路径无关【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用40 【正确答案】 记 I= Pdx+Qdy，在单连通区域 D：x0 上该积分与路径无关两边乘 (x)=x(x)=cosx+C 由 ()=1 得 C= 一 1因此(x)= 下求积分值 I注意 =(x)，代入得【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用41 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学中的基本公式及其应用42 【正确答案】 先确定 a，b，使 ，(x，y) D因 D 不是单连通的， 在 D 成立不足以保证 Pdx+Qdy 原函数进一步讨论是否可直接求出原函数取特殊路径如图 1011 及(第二个积分中 x 为常量)，将代入得
