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[考研类试卷]考研数学一(常微分方程)模拟试卷1及答案与解析.doc

1、考研数学一(常微分方程)模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 在下列微分方程中,以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1,C 2,C 3 为任意常数)为通解的是(A)y“+y“-4y-4y=0(B) y“+y“+4y+4y=0(C) y“-y“-4y+4y=0 (D)y“-y“+4y-4y=02 具有特解 y1=e-x,y 2=2xe-x,y 3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是(A)y“-y“-y+y=0(B) y“+y“-y-y=0(C) y“-6y“+11y-6y=0(D)y“-2y“-y+2y=03 已知函数 y

2、=y(x)在任意点 x 处的增量y=y/(1+x 2)x+,且当x0 时, 是x的高阶无穷小,y(0)=,则 y(1)等于(A)2(B) (C) e4(D)e 44 微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为(A)y *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)(B) y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)(C) y*=ax2+bx+c+Asinx(D)y *=ax2+bx+c+Acosx5 设 A 与 B 均为 n,阶矩阵,且 A 与 B 合同,则( )(A)A 与 B 有相同的特征值(B) det A=det(C) A 与 B 相似(D)r(A)=r(B)

3、二、填空题6 设 1=(2,-1,0,5), 2=(-4,-2,3,0), 3=(-1,0,1,k), 4=(-1,0,2,1),则 k=_时, 1, 2, 3, 4 线性相关7 用欧拉方程 x2(d2y/dx2)+4x(dy/dx)+2y=0(x0)的通解为_.8 微分方程 xy+2y=xlnx 满足 y(1)=-1/9 的解为_.9 微分方程 y=y(1-x)/x 的通解是_.10 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_.11 微分方程 y+y=e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y=_.12 若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)-2f(x)=

4、0 及 f“(x)+f(x)=2ex,则 f(x)=_.13 微分方程 xy“+3y=0 的通解为 _.14 设 y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1,C 2 为任意常数) 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_.15 微分方程 y“-4y=e2x 的通解为_.16 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-4y+3y=2e2x 的通解为 y=_.17 差分方程 yt+1-yt=t2t 的通解为_.18 差分方程 2yt+1+10yt-5t=0 的通解为_.19 某公司每年的工资总额在比上一年增加 20的基础上再追加 2 百万元若以W1 表示第 t 年的工资总额(单位:百万元)

5、,则 Wt 满足的差分方程是_20 当 k=_时,向量 =(1,k,5)能由向量 1=(1,-3,2), 2=(2,-1,1)线性表示三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 求微分方程(3x 2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0 的通解考研数学一(常微分方程)模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (-1)(+2i)(-2i)=(-1)( 2+4)=3-2+4-4=0 从而可知微分方程是y“-y“+4y-4y=0选(D) 【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 B【试题解析】 首先,由

6、已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r1=r2=-1,r 3=1,从而特征方程为 (r+1) 2(r-1)=0,即 r3+r2-r-1=0,由此,微分方程为 y“+y“-y-y=0应选 (B)【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 A【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程二、填空题6 【正确答案】 -5/13【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 y=C 1/x+C2/x2.【试题解析】 作自变量替换 x=et(t=lnx),将它化成常系数的情形。 d 2y/dt2+(4-1)dy/dt+2y=0 d2y/dt2+

7、3dy/dt+2y=0. 相应的特征方程为 2+3+2=0 特征根 1=-1 2=-2 通解为 y=C 1e-t+C2e-2t 所以通解为 y=C1/x+C2/x2.【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 y=1/3xlnx-1/9x.【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 y=Cxe -x【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 1/x.【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 e -xsinx.【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 e x【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 y=C 1+C2/x2【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 y“-2y+2y=0【试题解析

8、】 一:由通解的形式可知特征方程的两个根是 r1,r 2=1i,从而得知特征方程为 (r-r 1)(r-r2)=r2-(r1+r2)r+r1r2=r2-2r+2=0 由此,所求微分方程为 y“-2y+2y=0 二:根本不去管它所求微分方程是什么类型(只要是二阶),由通解y=ex(C1sinx+C2cosx),求得 y=e x(C1-C2)sinx+(C1+C2)cosx, y“=e x(-2C2sinx+2C1cosx),这三个式子消去 C1 与 C2,得 y“-2y+2y=0【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 C 1e2x+C2e-2x+x/4e2x【知识模块】 常微分方程16 【正

9、确答案】 C 1ex+C2e3x+2e2x【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 C+(t-2)2 t【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 C(-5) t+5/12(t-1/6)【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 W t=12 t-1+2【试题解析】 第 t 年的工资总额 W1(百万元)是两部分之和,其中一部分是同定追加额 2(百万元) ,另一部分比前一年的工资总额 Wt-1 多 20,即是 Wt-1 的 1:2倍于是可得 Wt 满足的差分方程是 W t=1.2t-1+2【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 -8【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 用凑全微分的方法求解由于 (3x 2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy =3x2dx+yd(x2)+x2dy-y2dx+xd(y2) =d(x3)+d(x2y)-d(xy2) =d(x3+x2y-xy【知识模块】 常微分方程

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